Wahrscheinlichkeiten

Aufgabe 1

Beim Schulfest bietet die Klasse 10a ein Angelspiel an. Dabei dürfen die Spieler zweimal nacheinander einen Gegenstand aus einem Gefäß angeln. Die Gegenstände werden nicht zurückgelegt. In dem Gefäß liegen fünf Fische, drei Seesterne und zwei Muscheln.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „zweimal Muschel“.

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Für ein Glückspiel wird der gegebene Gewinnplan eingesetzt.

Ereignis	Gewinn
zweimal Muschel	9,00 €
zweimal Seestern	4,00 €
Muschel und Seestern	2,50 €
Einsatz 1,00 €

Berechne den Erwartungswert.

Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dazu soll der Gewinn von „zweimal Muschel“ verändert werden, während alles andere unverändert bleibt.

Wie hoch muss der Gewinn für „zweimal Muschel“ sein?

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2024

Aufgabe 2

Die Klasse 10a verkauft Rubbellose.
Auf jedem Los befinden sich zwei Streifen.
Jeder Streifen enthält die folgenden Ziffern:

Die Ziffern sind in zufälliger Reihenfolge angeordnet. Der linke Streifen zeigt die Zehnerziffern, der rechte die Einerziffern.

Auf jedem Streifen wird genau ein Feld freigerubbelt, wodurch eine zweistellige Zahl entsteht.
Die obenstehende Abbildung zeigt die Zahl $61.$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zu erhalten, die größer als $60$ ist?

Die Rubbellose werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird unten stehender Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
Zahl größer als $60$	$3,00\,€$
Zahl $33$	$6,00\,€$
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn
Einsatz: $2,00\,€$

Berechne den Erwartungswert.

Die Klasse 10a überlegt, auf jedem Streifen der Lose eine $3$ durch eine $6$ zu ersetzen.

Erhöht sich dadurch der Gewinn für die Klasse?
Begründe deine Entscheidung durch Rechnung.

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2023

Aufgabe 3

In einem Gefäß liegen acht Kugeln, die rot, blau und grün gefärbt sind.

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Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen?

Die Kugeln werden für ein Gewinnspiel eingesetzt. Dazu wird folgender Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
zwei gleichfarbige Kugeln	4,00 €
eine grüne und eine blaue Kugel	10,00 €
Einsatz: 2,50 € pro Spiel

Berechne den Erwartungswert.

Der Veranstalter des Gewinnspiels möchte seinen Gewinn pro Spiel auf lange Sicht verdoppeln.

Wie hoch müsste dann der Gewinn für „eine grüne und eine blaue Kugel" sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 4

Zehn gleich große Karten sind mit vier verschiedenen Symbolen (Handball, Radfahren, Laufen, Fußball) bedruckt.

Bilder von Sport-Icons, die verschiedene Aktivitäten wie Laufen, Radfahren und Fußball darstellen.

Sie sind nach den vier Symbolen in Stapeln sortiert (siehe Abbildung).
Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt.
Sie werden für ein Glücksspiel eingesetzt.
Dabei werden zwei Karten gleichzeitig gezogen.
Für das Spiel wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
zweimal	9,00 €
und	6,00 €
und	3,00 €
andere Ereignisse	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: 1,00 €

Berechne den Erwartungswert.

Der Veranstalter möchte langfristig pro Spiel einen Erlös von $0,50$ $\text{€}$ erzielen.

Wie hoch muss dann der Gewinn für " und " sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 5

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Ein Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Abschnitten. Diese sind beschriftet mit den Buchstaben A, B, B, B, C und C. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Ereignis	Gewinn
zweimal B	6,00 €
ein A und ein C	4,50 €
Sonstiges	0 €
Einsatz pro Spiel: 3,00 €

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zweimal den Buchstaben C?

Das Glücksrad soll für ein Glücksspiel verwendet werden. Berechne für den angegebenen Gewinnplan den Erwartungswert.
Wie groß müsste der Gewinn für "zweimal B" sein, damit das Spiel fair ist, während die anderen Gewinnbeiträge gleich bleiben?

(5 P)

Musterprüfung 1

Aufgabe 6

Das abgebildete Glücksrad mit den Mittelpunktswinkeln 60 $^\circ$ , 180 $^\circ$ und 120 $^\circ$ ist mit den Zahlen 50, 30 und 7 beschriftet und wird zweimal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man Zahlen, die zusammen genau 80 ergeben?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe kleiner als 80 ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe größer als 14 ist?

Kreisdiagramm mit den Zahlen 7, 30 und 50, gekennzeichnet durch einen Zeiger.

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Musterprüfung 2

Aufgabe 7

Die beiden Glücksräder werden gedreht. Nachdem sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine Kombination zweier Symbole.

Grafische Darstellung mit geometrischen Formen in zwei Kreisen, die grüne und graue Elemente zeigt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole im Sichtfenster zu sehen?

Die Glücksräder werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird der abgebildete Gewinnplan geprüft.

Ereignis	Gewinn
gleiche Symbole	$2,00\,€$
Kreis und Dreieck	$4,00\,€$
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,50 \,€$

Berechne den Erwartungswert.

Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird.

Wie hoch muss dann der Gewinn für das Ereignis „Kreis und Dreieck“ sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5,5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2020

Aufgabe 8

Beim Würfelspiel „Augensumme 4 gewinnt“ wird gleichzeitig mit zwei Spielwürfeln geworfen. Die Augenzahlen werden addiert (Augensumme).
Dieses Spiel soll als Glücksspiel eingesetzt werden. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan verwendet.

Ereignisse	Gewinn
„Augensumme gleich 4“	$4,00\,€$
„Augensumme kleiner 4“	$2,00\,€$
„Augensumme größer 4“	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,00 \,€$

Berechne den Erwartungswert.

Der Betreiber bekommt die Vorgabe, das Glücksspiel zu verändern. Er soll auf einem der beiden Spielwürfel die Vier, die Fünf und die Sechs entweder durch drei Einsen oder durch drei Dreien ersetzen.

Domino-Steine in verschiedenen Anordnungen und mit unterschiedlichen Punktzahlen.

Wofür sollte sich der Betreiber entscheiden?
Begründe deine Entscheidung durch Rechnung oder Argumentation.

(6 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2019

Aufgabe 9

Im Technikunterricht wurde für ein Schulfest ein Zufallsgerät gebaut, bei dem sich zwei Walzen unabhängig voneinander drehen. Die Walzen sind mit Symbolen beklebt. Auf jeder Walze sind vier Zitronen, zwei Glocken und eine Sieben abgebildet.

Wahlbereich Stochastik Zufallsgerät Glocke

Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster zwei Symbole nebeneinander.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "zweimal Glocke"?

Ereignis	Gewinn
zweimal Glocke	$4,00\,€$
zweimal Sieben	$10,00\,€$
sonstige	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,00\,€$

Das Zufallsgerät wird für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan geprüft.

Berechne den Erwartungswert. Was bedeutet das für den Spieler?

Der Einsatz soll auf $1,20\,€$ erhöht werden. Der Gewinn für "zweimal Glocke" sowie der Erwartungswert bleiben gleich.

Merle behauptet: "Der Gewinn für ‚zweimal Sieben‘ beträgt dann etwa 20€."

Hat Merle recht? Begründe rechnerisch.

(5,5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2018

Aufgabe 10

Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung wird ein Glücksrad eingesetzt.

Kreisdiagramm mit Emojis, die verschiedene Emotionen darstellen: glücklich, neutral und traurig.

Die Mittelpunktswinkel betragen $60^{\circ}\text{, } 90^{\circ} \text{und } 210^{\circ}$ .

Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man höchstens einmal das Symbol 😊 ?

Das Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet.
Berechne den Erwartungswert unter Berücksichtigung des untenstehenden Gewinnplans.

Ereignisse	Gewinn
zweimal 😊	4,00€
zweimal 😐	2,00€
sonstige	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: 0,50€

Der Gewinnplan soll so verändert werden, dass das Spiel fair wird.
Wie hoch muss der Gewinn für das Ereignis „ zweimal 😊 “ sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

(5,5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2017

Aufgabe 11

Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung werden zwei Glücksräder eingesetzt.

Beide Glücksräder werden gedreht.
Wenn sie stehen bleiben, erkennt man im Sichtfenster eine zweistellige Zahl.
Die Abbildung zeigt die Zahl $13$ .

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?

Die Glücksräder werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Dazu wird nebenstehender Gewinnplan geprüft.

Gewinnplan
Ergebnisse	Gewinn
zwei gleiche Ziffern	3,00 €
Zahl größer als 40	5,00€
restliche Möglichkeiten	kein Gewinn
Einsatz 2,00 €

Berechne den Erwartungswert.

Bei der Wohltätigkeitsveranstaltung soll ein höherer Erlös erzielt werden. Dazu soll beim rechten Glücksrad eine der beiden Dreien durch eine Fünf ersetzt werden.
Der Gewinnplan bleibt gleich.

Wäre dies vorteilhaft? Begründe durch Rechnung oder Argumentation.

(5,5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2016

Aufgabe 12

In einem Kartenstapel liegen zwölf Karten. Die Verteilung ist in der Tabelle dargestellt.

Tabelle mit Kartensymbolen und deren Häufigkeit in schwarz und rot.

Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt. Zwei Karten werden gleichzeitig gezogen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote und eine schwarze Karte zu erhalten?

Die zwölf Karten werden für ein Glücksspiel eingesetzt. Es sollen ebenfalls zwei Karten gleichzeitig gezogen werden.

Dazu wird nebenstehender Gewinnplan geprüft.

Ergebnisse	Gewinn
zweimal Karo	$10,00\,€$
zweimal Herz	$5,00\,€$
sonstige	kein Gewinn
Einsatz pro Spiel: $1,00\,€$

Berechne den Erwartungswert.

Sophia macht den Vorschlag, den Gewinn für „zweimal Karo“ auf $20,00\,€$ hochzusetzen und alles andere zu belassen.
Der Betreiber des Glücksspiels protestiert und behauptet, er würde dann Verlust machen.

Hat der Betreiber recht? Begründe durch Rechnung.

(5,5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2015

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Lösung 1

Wahrscheinlichkeit für Ereignis berechnen

Es sind insgesamt $5+3+2$ Gegenstände.

Rechenweg anzeigen

$P(\text{zweimal Muschel})=\underline{\underline{2,2\,\%}}$

Erwartungswert berechnen

$P(\text{zweimal Muschel})=\underline{\dfrac{1}{45}}$

$P(\text{zweimal Seestern})=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{90}$ $=\underline{\dfrac{1}{15}}$

Rechenweg anzeigen

$P(\text{Muschel und Seestern})=\underline{\dfrac{2}{15}}$

Rechenweg anzeigen

$E=\underline{\underline{-0,20\,\text{€}}}$

Gewinn für „zweimal Muschel“ berechnen

Neuen Preis $x$ für Gewinn für „zweimal Muschel“ bei fairem Spiel berechnen:

Rechenweg anzeigen

$18,00 \,\text{€}= x$

Für ein faires Spiel muss der Gewinn für „zweimal Muschel“ $\underline{\underline{18,00 \,\text{€}}}$ betragen.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2024

Lösung 2

Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(\gt 60)$ $=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}$ $=\dfrac{5}{25}$ $=\underline{\underline{\dfrac{1}{5}}}$ bzw. $20\,\%$

Erwartungswert berechnen

$E=\dfrac{1}{5}\cdot 3,00\,€+\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot 6,00\,€-2,00\,€$ $=\underline{\underline{-0,44\,€}}$

Entscheidung treffen und begründen

Ja, der Gewinn erhöht sich dadurch auf lange Sicht.

$E_\text{neu}=\dfrac{2}{5}\cdot 3,00\,€+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot 6,00\,€-2,00\,€$ $=\underline{\underline{-0,56\,€}}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2023

Lösung 3

Wahrscheinlichkeit bestimmen

$P(\text{zwei gleichfarbige Kugeln)}$ $=P(rr)+P(bb)$ $=\dfrac{4}{8}\cdot\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{2}{7}$ $=\dfrac{12}{56}+\dfrac{6}{56}$ $=\dfrac{9}{28}= \underline{\underline{ 32,1\,\%}}$

Erwartungswert berechnen

$P(\text{grün, blau})=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{1}{7}$ $=\dfrac{6}{56}$ $=\dfrac{3}{28}$

$E=\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+\dfrac{3}{28}\cdot 10,00\,€$ $-2,50\,€=\underline{\underline{ -0,14\,€}}$

Gewinn berechnen

$\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+\dfrac{3}{28}\cdot x-2,50\,€$ $=-0,28\,€$

$\dfrac{3}{28}\cdot x$ $=-0,28\,€-\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+2,50\,€$

$x=\left(-0,28\,€-\dfrac{9}{28}\cdot 4,00\,€+2,50\,€\right)$ $\cdot \dfrac{28}{3}$

$x=\underline{\underline{ 8,72\,€}}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2022

Lösung 4

Erwartungswert berechnen

$P(\text{zweimal}$ $)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}$
$P($ und $)$ $=\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{45}$
$P($ und $)$ $=\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{15}$

Rechenweg anzeigen

$\underline{\underline{ E=-0,33\,€}}$

Wie hoch muss der Gewinn für " und " sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

Rechenweg anzeigen

$x=\underline{\underline{ 2,25\,€ }}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2021

Lösung 5

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

wahlteil b stochastik wahrscheinlichkeit baumdiagramm

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man zweimal den Buchstaben C?

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{zweimal C}) &=& \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,1 \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{ 10\,\%}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für den angegebenen Gewinnplan den Erwartungswert berechnen

Ereignis	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
zweimal B	6,00 €	$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$
ein A und ein C	4,50 €	$\left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}\right)+ \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}\right)= \frac{1}{9}$
Sonstiges	0 €	$1-\frac{1}{9}-\frac{1}{4}= \frac{23}{36}$

$E = \dfrac{1}{4}\cdot 6\,€ + \dfrac{1}{9}\cdot 4,50\,€ + \dfrac{23}{36} \cdot 0\,€ -3 \,€ = \underline{\underline{ -1\,€}}$

Mit dem Einsatz von 3 € hat der Spieler auf lange Sicht einen Verlust von 1 € pro Spiel.

Wie groß müsste der Gewinn für „zweimal B“ sein, damit das Spiel fair ist?

Damit das Spiel fair wird, muss der Erwartungswert 0 sein und der Gewinn $x$ für „zweimal B“ angepasst werden:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& \dfrac{1}{4}\cdot x +\dfrac{1}{9}\cdot 4,50\,€ + \dfrac{23}{36}\cdot 0\,€ -3\,€ & \\[5pt] 0 &=&\dfrac{1}{4}\cdot x +\dfrac{1}{2}\,€ -3\,€\quad \scriptsize \mid\; +3\,€ \\[5pt] 3\,€ &=& \dfrac{1}{4}\cdot x+\dfrac{1}{2}\,€ \quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}\,€ \\[5pt] 2,5\,€ &=& \dfrac{1}{4}\cdot x \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] x &=& 10\,€ \end{array}$

Der Gewinn für „zweimal B“ muss auf $\underline{\underline{ 10 \,€}}$ erhöht werden, damit das Spiel fair wird.

Musterprüfung 1

Lösung 6

$P(30)= \dfrac{180^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{2}$

$P(7)= \dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{3}$

$P(50)= \dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{2}{3} =\dfrac{1}{6}$

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man Zahlen, die zusammen genau 80 ergeben?

$\begin{array}[t]{rll} P(80)&=& \left(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\right)+\left(\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{2} \right) &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} = \underline{\underline{ 16,7\,\%}} \end{array}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe kleiner als 80 ist?

Rechenweg anzeigen

$P (\,\text{kleiner als }80) = \underline{\underline{ \dfrac{29}{36}}}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe größer als 14 ist?

Rechenweg anzeigen

$P (\,\text{größer als }14) =\dfrac{8}{9}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Musterprüfung 2

Lösung 7

$K:$ Kreis

$Q:$ Quadrat

$D:$ Dreieck

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Symbole im Sichtfenster zu sehen?

Rechenweg anzeigen

$P\text{(2 gleiche Symbole)}= 35\,\%$

Erwartungswert berechnen

Rechenweg anzeigen

$P(\,\text{Kreis und Dreieck}) = \dfrac{1}{8}$

$P(\text{Rest}) = 1- \frac{7}{20}- \dfrac{1}{8} = \dfrac{21}{40}$

Rechenweg anzeigen

$E =\underline{\underline{ -0,3\,€ }}$

Für den abgebildeten Gewinnplan beträgt der Erwartungswert $-0,30\,€.$

Faires Spiel erstellen

Bei einem fairen Spiel gilt $E=0.$

$x:$ Neuer Gewinn für "Kreis und Dreieck"

Rechenweg anzeigen

$x= \underline{\underline{ 6,40 \,€}}$

Der Gewinn für das Ereignis ,,Kreis und Dreieck" muss 6,40 € betragen, wenn nur dieser Gewinn geändert werden und das Spiel fair sein soll.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2020

Lösung 8

Erwartungswert berechnen

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

Wahlbereich Erwartungswert Wahrscheinlichkeit Würfel

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{3}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{3}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{30}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{3}{36}+2\,€\cdot \dfrac{3}{36}+0\,€\cdot \dfrac{30}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{12}{36}\,€+\dfrac{6}{36}\,€-1\,€\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\,€-1\,€\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}\,€\\[5pt] E &=& \underline{\underline{ -0,50\,€}} \end{array}$

Wofür sollte sich der Betreiber entscheiden?

Version 1: Würfel mit drei Einsen

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{6}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{9}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{21}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{6}{36}+2\,€\cdot \dfrac{9}{36}+0\,€\cdot \dfrac{21}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{24}{36}\,€+\dfrac{18}{36}\,€-1\,€\\[5pt] E&=& \underline{ 0,17\,€}\\[5pt] \end{array}$

Version 2: Würfel mit drei Dreien

1. Schritt: Tabelle mit allen möglichen Augensummen (A) erstellen

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle bestimmen

$P_1=P(A=4)=\dfrac{6}{36}$
$P_2=P(A\lt4)=\dfrac{3}{36}$
$P_3=P(A\gt4)=\dfrac{27}{36}$

3. Schritt: Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=&4\,€\cdot P_1+2\,€\cdot P_2+0\,€\cdot P_3-1\,€ & \\[5pt] &=&4\,€\cdot \dfrac{6}{36}+2\,€\cdot \dfrac{3}{36}+0\,€\cdot \dfrac{27}{36}-1\,€\\[5pt] &=&\dfrac{24}{36}\,€+\dfrac{6}{36}\,€-1\,€\\[5pt] E&=& \underline{ -0,17\,€}\\[5pt] \end{array}$

Da der zu erwartende Gewinn für die Teilnehmer bei Version 2: Würfel mit drei Dreien kleiner als bei Version 1: Würfel mit drei Einsen ist, macht es für den Betreiber mehr Sinn, sich für den Würfel mit drei Dreien zu entscheiden.
Denn damit kann der Betreiber mit einem durchschnittlichen Gewinn von $0,17\,€$ pro Spiel rechnen.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2019

Lösung 9

wahlbereich baumdiagramm wahrscheinlichkeit

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zweimal Glocke})&=& \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{7} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{49} \\[5pt] &= & 0,082 \\[5pt] P(\text{Zweimal Glocke})&=&\underline{\underline{ 8,2\,\%}} \\[5pt] \end{array}$

Erwartungswert berechnen

Ereignis	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
zweimal Glocke	4 €	$\dfrac{4}{49}$
zweimal Sieben	10 €	$\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{49}$
sonstige	0 €	$1-\dfrac{4}{49}-\dfrac{1}{49}=\dfrac{44}{49}$

Rechenweg anzeigen

$E(G)\approx -0,47\,€$

Der Spieler macht auf lange Zeit ungefähr $0,47\,€$ Verlust pro Spiel.

Neuen Gewinn überprüfen

Neue Informationen:

$E= -0,47\,€$ als Erwartungswert
Gewinn ("zweimal Sieben") als Unbekannte $x$
Alle anderen Werte bleiben gleich

Rechenweg anzeigen

$x= 19,77\,€$

Merle hat recht, da der neue Gewinn nur wenig von 20 € abweicht.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2018

Lösung 10

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man höchstens einmal das Symbol 😊?

1. Schritt: Anteile der Felder berechnen

😊: $\;\dfrac{60^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{6}$

😐: $\;\dfrac{90^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{1}{4}$

🙁: $\;\dfrac{210^{\circ}}{360^{\circ}}=\dfrac{7}{12}$

2. Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen

Emoji Glücksrad - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

Berechnung des Erwartungswerts

Wie hoch muss der Gewinn für das Ereignis „ zweimal 😊 “ bei einem fairen Spiel sein, wenn alles andere unverändert bleibt?

$x:\;$ neuer Gewinn bei „ zweimal 😊 “

Für ein faires Spiel muss der Gewinn für „ zweimal 😊 “ 13,50 € betragen, wenn alles andere unverändert bleiben soll.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2017

Lösung 11

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern zu sehen?

$P(11)= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
$P(22)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(33)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{18}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gleiche Ziffern})&=&P(11)+P(22)+P(33) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}\\[5pt] &=&\dfrac{5}{18}\\[5pt] P(\text{Gleiche Ziffern})&=& 0,28 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit liegt bei $\underline{\underline{ 28\,\%}}.$

Den Erwartungswert berechnen

Wahrscheinlichkeit berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl größer 40 angezeigt wird

$P(41)= \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(42)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(43)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{18}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Zahl} \gt40)&=&P(41)+P(42)+P(43) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}\\[5pt] &=&\underline{ \dfrac{1}{6}}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Niete angezeigt wird

$\quad P(\text{Niete})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&1-P(\text{Gleiche Ziffern})-P(\text{Zahl} \gt40)\\[5pt] &=&1-\dfrac{5}{18}-\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{5}{9} \end{array}$

Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 3\,€ \cdot \dfrac{5}{18} + 5\,€\cdot \dfrac{1}{6} + 0\,€\cdot \dfrac{5}{9}-2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& \dfrac{15}{18} \,€ + \dfrac{15}{18} \,€ -2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& -\dfrac{1}{3}\,€ \\[5pt] E&\approx & -0,33\,€ \end{array}$

Wäre dies vorteilhaft?

Neues Baumdiagramm zeichnen

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl mit zwei gleichen Ziffern erscheint

$P(11)= \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{6}$
$P(22)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(33)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Gleiche Ziffern})&=&P(11)+P(22)+P(33) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}\\[5pt] P(\text{Gleiche Ziffern})&=&\underline{ \dfrac{1}{4}}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Zahl größer 40 angezeigt wird

$P(41)= \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(42)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(43)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$
$P(45)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}= \dfrac{1}{36}$

$\quad P(\text{Zahl} \gt40)$

$\begin{array}[t]{rll} &=&P(41)+P(42)+P(43)+P(45) \\[5pt] &=&\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{6}\\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlich berechnen, dass im Sichtfenster eine Niete angezeigt wird

$\quad P(\text{Niete})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&1-P(\text{Gleiche Ziffern})-P(\text{Zahl} \gt40) \\[5pt] &=&1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{12} \end{array}$

Neuen Erwartungswert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 3\,€ \cdot \dfrac{1}{4} + 5\,€\cdot \dfrac{1}{6} + 0\,€\cdot \dfrac{7}{12}-2\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] E&=& -\dfrac{5}{12}\,€ \\[5pt] E&\approx & \underline{ -0,42\,€} \end{array}$

Beim rechten Glücksrad eine der beiden Dreien durch eine Fünf zu ersetzen, ist sinnvoll, da der durschnittliche Gewinn für die Wohltätigkeitsveranstaltung mit $0,42\,€$ höher ist.

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2016

Lösung 12

Wahrscheinlichkeit berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(s\,\text{und}\; r)&=& \dfrac{7}{12}\cdot \dfrac{5}{11}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{7}{11}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 0,53 \\[5pt] P(s\,\text{und}\; r) &=& \underline{\underline{ 53\,\%}} \end{array}$

Erwartungswert berechnen

Ergebnisse	Gewinn	Wahrscheinlichkeit
zweimal Karo	$10\,€$	$\dfrac{2}{12}\cdot \dfrac{1}{11}=\dfrac{1}{66}$
zweimal Herz	$5\,€$	$\dfrac{3}{12}\cdot \dfrac{2}{11}=\dfrac{1}{22}$
sonstige	kein Gewinn	$1-\dfrac{1}{66}-\dfrac{1}{22}= \dfrac{31}{33}$