Geometrie in der Ebene

Aufgabe 1

Im Rechteck $ABCD$ liegt das Drachenviereck $EGCF.$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB} & =& 9,4 \,\text{cm} \\ \overline{BE} & =& 5,6 \,\text{cm} \\ \varepsilon & =& 20,0^{\circ} \end{array}$

Berechne den Winkel $\varphi.$
Berechne den Umfang des Vierecks $AEFD.$

baden württemberg realschule abschlussprüfung 2024

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2024

Aufgabe 2

Das gleichschenklige Dreieck $ABC$ und das rechtwinklige Trapez $FBDE$ überdecken sich teilweise.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&11,4\,\text{cm}\\ \overline{BD}&=&8,2\,\text{cm}\\ \gamma_1&=&37,6^\circ\\ \delta&=&39,2^\circ\\ \overline{AC}&=&\overline{BC} \end{array}$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $FBGE.$

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2023

Aufgabe 3

Im Quadrat $ABCD$ liegen die beiden gleichschenkligen Dreiecke $ABF$ und $DEF.$

Es gilt:

$\begin{aligned} &\overline{AB}=14,0 \,\text{cm} \\ &\overline{AF}=12,0 \,\text{cm}\\ &\overline{AF}=\overline{BF} \\ &\overline{EF}=\overline{DF} \end{aligned}$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $AFE.$
Berechne den Winkel $\epsilon.$

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 4

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Das regelmäßige Sechseck und das gleichschenklige Dreieck $ABC$ haben die Seite $\overline{AB}$ gemeinsam.

Es gilt: $\overline{AB}=12,4 \,\text{cm}$

Berechne den Umfang des Dreiecks $ABC.$

Tom behauptet: „Der Flächeninhalt des Sechsecks ist dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C.$ "

Hat Tom Recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.

(5 P)

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 5

Gegeben sind das rechtwinklige Dreieck $ABC$ und das gleichschenklige Dreieck $ADE.$

Es gilt:

$\overline{AB}=13,2\,\text{cm}$
$\alpha=55,0^\circ$
$\overline{CE}=8,0\,\text{cm}$
$\overline{AE}=\overline{DE}$

Berechne die Länge von $\overline{DF}.$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABFE.$

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 6

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Ein DIN-A4-Blatt hat die Eckpunkte $A$ , $B$ , $C$ und $D.$

Grafik eines Rechtecks mit den Maßen 29,7 cm x 21,0 cm und beschrifteten Ecken A, B, C, D.

Diagramm mit zwei Formen und Pfeilen, die Drehungen anzeigen, beschriftet mit Buchstaben und Punkten.

Die Punkte $M_1$ und $M_2$ halbieren die Seitenlängen des DIN-A4-Blatts.
Das DIN-A4-Blatt wird wie abgebildet gefaltet. Der Punkt $A$ wird zu $\(A$ und liegt nach dem Falten auf $M_1.$
Der Punkt $C$ wird zum Punkt $\(C$ Die beiden Papierkanten stoßen entlang von $\overline{M_1F}$ aneinander.

Berechne die Flächeninhalte des Dreiecks $EM_1D$ und des Vierecks $\(FBM_2C$ .

(5 P)

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 7

Gegeben ist das Trapez $ABCD,$ für das gilt:

Schematische Darstellung eines Trapezes mit den Winkeln α und β.

(Skizze nicht maßstäblich)

$\overline{AB}=6,0\,\text{cm}$

$\overline{BC}=4,8\,\text{cm}$

$\beta=60^\circ$

$\alpha=70^\circ$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{CD}.$

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Musterprüfung 1

Aufgabe 8

Zwei Quadrate mit den Seitenlängen 8,0 cm und 6,0 cm werden aneinandergelegt. $R$ und $T$ sind Mittelpunkte der Diagonalen, $S$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}.$

(Skizze nicht maßstäblich)

Berechne die Länge des Streckenzuges $\overline{ARSTB}$ und die Größe des Winkels $\alpha.$

(5 P)

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Musterprüfung 2

Aufgabe 9

lm Fünfeck $ABCDE$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=& 9,5\,\text{cm} \\[5pt] \varepsilon_{1}&=& 64,0^{\circ}\\[5pt] \gamma&=& 95,0^{\circ}\\[5pt] \overline{AB} &\parallel& \overline{CE} \end{array}$

Der Abstand des Punktes $D$ zu $\overline{AB}$ beträgt $12,9\,\text{cm}.$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $ABCE.$

(5,5 P)

lm Rechteck $ABCD$ liegen die gleichseitigen Dreiecke $EBF$ und $AGD.$

Es gilt:

$\overline{BE}= 4\mathrm{e} \sqrt{3}$

Weise ohne Verwendung gerundeter Werte nach, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks $ABCD$ gilt:

$A= 36\mathrm{e}^2 \sqrt{3}$

Rechteck - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2020

Aufgabe 10

Das Fünfeck $ABCDE$ besteht aus dem gleichseitigen Dreieck $ABF,$ den beiden gleichschenkligen Dreiecken $AFE$ und $FBC$ sowie dem Drachenviereck $DEFC.$

Geometrische Figur mit den Punkten A, B, C, D, E und F, dargestellt in einem einfachen Diagramm.

Es gilt:

$\overline{AB} = 3,4\,\text{cm}$

$\overline{BC} = 7,0\,\text{cm}$

$\delta = 118,0^{\circ}$

Berechne den Abstand des Punktes $D$ zur Strecke $\overline{AB}.$

(5,5 P)

Ein DIN-A4-Blatt mit den Eckpunkten $A$ , $B,$ $C$ und $D$ wird entlang von $\overline{FG}$ gefaltet. Dadurch entsteht der Punkt $\(A$ auf $\overline{CD}.$

Schematische Darstellung eines Rechtecks mit den Maßen 29,7 cm x 21,0 cm und einer diagonalen Linie.

Geometrische Darstellung eines Vierecks mit Markierungen und Beschriftungen der Punkte.

Es gilt:

$\overline{AF}=13,3\,\text{cm}$

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks $\(GBCA$

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2019

Aufgabe 11

Gegeben ist das Dreieck $ABC.$

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit Punkten und einem Winkel.

Es gilt:

$\overline{AB} = 12,0\,\text{cm}$

$\overline{BC} = 11,6\,\text{cm}$

$A_{ABC} = 54,0\,\text{cm}^2$

Berechne den Winkel $\alpha$ sowie den Abstand des Punktes $D$ zur Strecke $\overline{AB}.$

(5,5 P)

Im rechtwinkligen Dreieck $ABC$ liegt das gleichseitige Dreieck $DBC.$

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit Beschriftungen und einer Markierung für einen Winkel.

Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass die beiden Dreiecke $ADC$ und $DBC$ flächengleich sind.
Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ soll $200\,\text{cm}^2$ betragen. Für welchen Wert von $e$ trifft dies zu?

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2018

Aufgabe 12

Das rechtwinklige Dreieck $ABD$ und das gleichschenklige Dreieck $ABC$ haben die Seite $\overline{AB}$ gemeinsam.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&=&7,2 \text{ cm} & \\[5pt] \overline{DE}&=&3,0 \text{ cm} & \\[5pt] \alpha&=&42,0^{\circ} & \\[5pt] \overline{AC}&=&\overline{BC} \end{array}$

Berechne den Abstand des Punktes $E$ von $\overline{AB}$ sowie den Winkel $\gamma$ .

(5,5 P)

Gegeben sind ein rechtwinkliges Trapez $ABCD$ und ein regelmäßiges Sechseck.

Wahlbereich Sechseck Trapez Eckpunkte Flächeninhalt

Die Eckpunkte des Sechsecks liegen auf den Seiten des Trapezes.

Zeige ohne Verwendung gerundeter Werte, dass für den Flächeninhalt des Trapezes $ABCD$ gilt:

$A=8e^2\sqrt{3}$

Gib die Länge der Diagonale $\overline{AC}$ ohne Verwendung gerundeter Werte an.

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2017

Aufgabe 13

Die Eckpunkte des Vierecks $ABCD$ liegen auf den Parallelen $g$ und $h$ .

Geometrische Darstellung mit Linien, Punkten und Winkeln. Elemente: A, B, C, D, h, β.

Die Parallelen haben einen Abstand von $9,0\,\text{cm}$ .

Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AD}&=& 10,4\,\text{cm} &\\[5pt] \beta&=& 70,0^{\circ}&\\[5pt] \overline{AB}&=&\overline{AC} &\\[5pt] \end{array}$

Berechne den Umfang des Vierecks $ABCD.$

(5,5 P)

Geometrische Darstellung eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beschriftungen der Punkte A, B, C, D, E und dem Winkel Y.

Für das Papierdreieck $ABC$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& 50,0^{\circ} \quad \\[5pt] \overline{AC}&=& 11,4\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AD}&=& 5,0\,\text{cm} &\\[5pt] \end{array}$

Das Dreieck wird entlang der Strecke $\overline{DE}$ gefaltet (siehe Skizze).

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit beschrifteten Punkten und Winkeln.

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes $ADEF.$

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2016

Aufgabe 14

Geometrische Darstellung eines Dreiecks und Rechtecks mit beschrifteten Winkeln.

Im Trapez $ABCD$ gilt:

$\overline{AD}=8,4\,\text{cm}$

$\overline{AE}=7,8\,\text{cm}$

$\quad \alpha=50,0^{\circ}$

$\overline{BE}=\overline{DE}$

Berechne den Winkel $\delta_1$ .
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $EBD$ .

(5,5 P)

Von einem rechteckigen Blatt Papier wird entlang der gestrichelten Linie ein Stück abgeschnitten und an einer anderen Stelle angelegt (siehe Skizze).

Diagramm eines geometrischen Problems mit einem Winkel von 60° und einer gestrichelten Linie.

Es gilt:
$\overline{AB}=6\mathrm{e}$
$\overline{BC}=3\mathrm{e}$
$M$ ist Mittelpunkt von $\overline{CD}.$

Bea behauptet:
„Das Viereck $AEFG$ hat den gleichen Umfang wie das Rechteck $ABCD$ “.

Hat Bea recht?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2015

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung 1

Winkel $\boldsymbol{\varphi}$ berechnen

Aufgrund des Symmetrie des Drachenvierecks hat der Winkel $\varphi$ die gleiche Größe wie der Winkel $\sphericalangle BGE.$ Daher gilt:

$\varphi=\sphericalangle BGE=180,0°-90,0°-20,0°$ $=\underline{\underline{70,0°}}$

Umfang des Vierecks $\boldsymbol{AEFD}$ berechnen

1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{AD}}$ bestimmen

Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt $\overline{AD}=\overline{BE}=\underline{5,6\,\text{cm}}.$

2. Schritt: $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

$\overline{AE}=\overline{AB}-\overline{BE}=9,4\,\text{cm}-5,6\,\text{cm}=$ $\underline{3,8\,\text{cm}}$

3. Schritt: $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

Aufgrund der Symmetrie des Drachenvierecks gilt $\overline{EF}=\overline{EG}.$ Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos \varepsilon&=& \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EG}} \\[5pt] \cos \varepsilon&=& \dfrac{\overline{BE}}{\overline{EF}} \\[5pt] \cos 20,0°&=& \dfrac{5,6\,\text{cm}}{\overline{EF}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{EF} \\[5pt] \cos 20,0°\cdot \overline{EF}&=& 5,6\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\cos 20,0°\\[5pt] \overline{EF}&=& \dfrac{5,6\,\text{cm}}{\cos 20,0°} \\[5pt] \overline{EF}&=& \underline{5,96\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Zunächst muss die Länge der Strecke $\overline{BG}$ berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$\overline{BG}=2,04\,\text{cm}$

Damit folgt für die Länge der Strecke $\overline{CF}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}&=& \overline{CG} \\[5pt] &=& \overline{AD}-\overline{BG} \\[5pt] &=& 5,6\,\text{cm}-2,04\,\text{cm} \\[5pt] &=& 3,56\,\text{cm} \end{array}$

Insgesamt gilt dann für die Strecke $\overline{DF}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=& \overline{AB}-\overline{CF} \\[5pt] &=& 9,4\,\text{cm}-3,56\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{5,84\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Umfang berechnen

Rechenweg anzeigen

$u= \underline{\underline{21,2\,\text{cm}}}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2024

Lösung 2

Hilfsskizze:

1. Schritt: Länge von $\overline{BF}=\overline{AF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\gamma_1&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \sin\gamma_1\cdot \overline{AC}&=&\overline{AF}\\[5pt] \overline{AF}&=&\sin\gamma_1\cdot \overline{AC}\\[5pt] &=&\sin 37,6^\circ\cdot 11,4\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AF}&=&\underline{6,96\,\text{cm}}=\overline{BF} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\overline{EF}=\overline{BH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\delta&=&\dfrac{\overline{BH}}{\overline{BD}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BD} \\[5pt] \sin\delta\cdot \overline{BD}&=&\overline{BH}\\[5pt] \overline{BH}&=&\sin\delta\cdot \overline{BD}\\[5pt] &=&\sin 39,2^\circ\cdot 8,2\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BH}&=&\underline{5,18\,\text{cm}}=\overline{EF} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $\overline{EG}$ berechnen

3.1. Schritt: Länge von $\overline{CF}$ berechnen

Es gilt: $\gamma_2=\gamma_1$ und $\overline{BC}=\overline{AC}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos\gamma_2&=&\dfrac{\overline{CF}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BC}\\[5pt] \cos\gamma_2\cdot \overline{BC}&=&\overline{CF}\\[5pt] \overline{CF}&=&\cos\gamma_2\cdot \overline{BC}\\[5pt] &=&\cos 37,6^\circ\cdot 11,4\,\text{cm}\\[5pt] \overline{CF}&=&9,03\,\text{cm} \end{array}$

3.2. Schritt: Länge von $\overline{CE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CE}&=&\overline{CF}-\overline{EF}\\[5pt] \overline{CE}&=&9,03\,\text{cm}-5,18\,\text{cm}\\[5pt] \overline{CE}&=&3,85\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

3.3. Schritt: Länge von $\overline{EG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\gamma_2&=&\dfrac{\overline{EG}}{\overline{CE}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{CE} \\[5pt] \tan\gamma_2\cdot \overline{CE}&=&\overline{EG}\\[5pt] \overline{EG}&=&\tan\gamma_2\cdot \overline{CE}\\[5pt] &=&\tan37,6^\circ\cdot 3,85\,\text{cm}\\[5pt] \overline{EG}&=&\underline{2,96\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{\overline{BF}+\overline{EG}}{2}\cdot\overline{EF}\\[5pt] &=&\dfrac{6,96\,\text{cm}+2,96\,\text{cm}}{2}\cdot 5,18\,\text{cm}\\[5pt] A&=&\underline{\underline{25,7\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2023

Lösung 3

Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

1. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overline{GF}}$ berechnen

$\overline{GF}=\dfrac{1}{2}\overline{AB}=\dfrac{1}{2}\cdot 14,0\,\text{cm}=\underline{ 7,0\,\text{cm}}$

2. Schritt: Länge von $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

$(\overline{AG})^2=(\overline{AF})^2-(\overline{GF})^2$

$\overline{AG}=\sqrt{(\overline{AF})^2-(\overline{GF})^2}$

$=\sqrt{(12,0\,\text{cm})^2-(7,0\,\text{cm})^2}$

$\overline{AG}= 9,75\,\text{cm}$

$\overline{GD}=\overline{EG}=\overline{AD}-\overline{AG}$ $=\overline{AB}-\overline{AG}$

$=14,0\,\text{cm}-9,75\,\text{cm}$ $=4,25\,\text{cm}$

$\overline{AE}=\overline{AD}-2\cdot\overline{GD}$ $=\overline{AB}-2\cdot\overline{GD}$

$=14,0\,\text{cm}-2\cdot 4,25\,\text{cm}$ $=\underline{ 5,5\,\text{cm}}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AE}\cdot \overline{GF}$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 5,5\,\text{cm}\cdot 7,0\,\text{cm}$ $= \underline{\underline{ 19,3\,\text{cm}^2}}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\epsilon}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

$\tan{(\gamma)}=\dfrac{\overline{EG}}{\overline{GF}}$

$\tan{(\gamma)}=\dfrac{4,25\,\text{cm}}{7,0\,\text{cm}}$

$\gamma= \underline{ 31,3^\circ}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\sphericalangle GFA}$ berechnen

$\tan{(\sphericalangle GFA)}=\dfrac{\overline{AG}}{\overline{GF}}$

$\tan{(\sphericalangle GFA)}=\dfrac{9,75\,\text{cm}}{7,0\,\text{cm}}$

$\sphericalangle GFA= \underline{ 54,3^\circ}$

3. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\epsilon}$ berechnen

$\epsilon=\sphericalangle GFA-\gamma$

$\epsilon=54,3^\circ-31,3^\circ$ $=\underline{\underline{ 23^\circ}}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2022

Lösung 4

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Umfang des Dreiecks berechnen

Die Innenwinkel eines Sechsecks sind 120° groß. Daher beträgt der Winkel im Dreiecks rechts 60°.

Die Länge der Strecke $s$ entspricht der Länge der Strecke $\overline{AB}.$

Damit kann die halbe Höhe $\dfrac{h}{2}$ von $h$ berechnet werden, mit der dann die Seitenlänge $\overline{BC}$ berechnet werden kann.

1. Schritt: $h$ berechnen

$\sin(60^\circ)=\dfrac{\frac{h}{2}}{s}\quad\scriptsize\mid \cdot s$

$\dfrac{h}{2}=\sin(60^\circ)\cdot s$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot s$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot \overline{AB}$

$h=2\cdot \sin(60^\circ)\cdot 12,4\,\text{cm}= \underline{ 21,48\,\text{cm}}$

2. Schritt: $\overline{BC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{\left(\frac{1}{2}\overline{AB}\right)^2+h^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\left(6,2\,\text{cm}\right)^2+(21,48\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{BC}&=&\underline{ 22,36\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Umfang berechnen

$U=12,4\,\text{cm}+2\cdot 22,36\,\text{cm}$ $= 57,12\,\text{cm}$

$U=\underline{\underline{ 57,1\,\text{cm}}}$

Beurteilen, ob Tom Recht hat und begründen

Argumentativ:

Das regelmäßige Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken mit der Grundseite $a$ und der Höhe $h_{a}$ . Das Dreieck $ABC$ hat ebenfalls die Grundseite $a$ und die Höhe $h _{\overline{A B}}=2 \cdot h_{a}$ .

Dadurch ist der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ doppelt so groß wie der eines der sechs gleichseitigen Dreiecke.

Damit ist der Flächeninhalt des Sechsecks dreimal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ .

Rechnerisch:

$A_{ABC}=133\,\text{cm}^2;$ $A_{\text{Sechseck}}$ $=399\,\text{cm}^{2},$ was dem Dreifachen entspricht.

Weitere mögliche Lösung:

$\dfrac{A_{ABC}}{A_{\text{Sechseck}}}$ $=\dfrac{\frac{a^2}{2}\sqrt{3}}{\frac{3a^2}{2}\sqrt{3}}$ $=\dfrac{1}{3}$

Abschlussprüfung 2022

Lösung 5

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

Dazu wird zunächst die Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnet:
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{AC}\;\\[5pt] \cos(\alpha)\cdot \overline{AC}&=&\overline{AB} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(\alpha) \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\overline{AB}}{\cos(\alpha)}\\[5pt] \overline{AC} &=&\dfrac{13,2\,\text{cm}}{\cos(55^\circ)}\\[5pt] \overline{AC} &=& 23,01\,\text{cm} \end{array}$

Damit kann nun die Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{AC}-\overline{CE} \\[5pt] &=& 23,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 15,01\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Das Dreieck $ECF$ ist gleichschenklig.

Begründung:
1. $\sphericalangle ECF=\sphericalangle ACB=180^\circ-90^\circ-55^\circ$ $=35^\circ$
2. $\sphericalangle AED=180^\circ-55^\circ-55^\circ=70^\circ$
3. $\sphericalangle FEC=180^\circ-70^\circ=110^\circ$
4. $\sphericalangle CFE=180^\circ-110^\circ-35^\circ=35^\circ$

Daraus folgt: $\overline{EF}=\overline{CE}=8,0\,\text{cm}$

Da das Dreieck $ADE$ gleichschenklig ist, gilt: $\overline{DE}=\overline{AE}=15,01\,\text{cm}$

Damit kann nun die Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=& \overline{DE}-\overline{EF} \\[5pt] &=& \overline{AE}-\overline{EF} \\[5pt] &=& 15,01\,\text{cm}-8,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,01\,\text{cm}\\[5pt] &=& \underline{\underline{ 7\,\text{cm}}} \end{array}$

Umfang des Vierecks $\boldsymbol{ABFE}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BF}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DF} \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot\overline{DF} &=& \overline{BF}\\[5pt] \sin(55^\circ)\cdot 7\,\text{cm} &=& \overline{BF}\\[5pt] 5,73\,\text{cm} &\approx& \overline{BF}\\ \overline{BF} &\approx&\underline{ 5,73\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Umfang berechnen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{EF}+\overline{AE} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 41,9\,\text{cm} }}\end{array}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Abschlussprüfung 2021

Lösung 6

Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Flächeninhalt des Dreicks $\boldsymbol{EM_1D}$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A_{EM_1D}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_1D}\cdot \overline{DE}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{M_1D}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{M_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{CD} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 29,7\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 14,85\,\text{cm} } \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{M_2C}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 21\,\text{cm} \\[5pt] &=& 10,5\,\text{cm} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CM_1}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CM_1}&=& \overline{M_1D}\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,85\,\text{cm} \end{array}$

Größe des Winkels $\alpha_1$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_1)&=& \dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{\overline{M_2C}}{\overline{CM_1}}\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha_1&=& \tan^{-1}\left(\dfrac{10,5}{14,85}\right) &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha_1&=& 35,26^{\circ} \end{array}$

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 2\cdot \alpha_1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\cdot 35,26^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 70,52^{\circ} \end{array}$

Größe des Winkels $\beta$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& 180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 180^{\circ}-90^{\circ}- 70,52^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 19,48^{\circ} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{DE}$ berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\underline{ \overline{DE} = 5,25\,\text{cm}}$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{EM_1D}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_1D}\cdot \overline{DE} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 14,85\,\text{cm} \cdot 5,25\,\text{cm} \\[5pt] &=& 38,98\,\text{cm} ^2 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 39\,\text{cm} ^2 }} \end{array}$

Flächeninhalt des Vierecks $\(\boldsymbol{FBM_2C$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $\(A_{FBM_2C$

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $M_1M_2C$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{M_1M_2C}&=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{M_2C}\cdot \overline{CM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 10,5\,\text{cm} \cdot 14,85\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &= & \underline{ 77,96 \,\text{cm}^2} \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt des Trapezes $A_{FBCM_1}$ berechnen

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A_{FBCM_1}=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{CM_1}+\overline{BF})\cdot \overline{BC}$

Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha) &=&\dfrac{\overline{FR}}{\overline{RM_1}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{RM_1} \\[5pt] \tan(\alpha)\cdot \overline{RM_1} &=& \overline{FR} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt] \overline{RM_1} &=& \dfrac{\overline{FR} }{\tan(\alpha)} \quad \scriptsize \\[5pt] \overline{RM_1} &=& \dfrac{21\,\text{cm} }{\tan(70,52^{\circ} )} \quad \scriptsize \\[5pt] \overline{RM_1}&=& 7,43\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CR}&=&\overline{CM_1}-\overline{RM_1} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 14,85\,\text{cm} - 7,43\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 7,42\,\text{cm} = \overline{BF} \end{array}$

Es gilt also:

$A_{FBCM_1}=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{CM_1}+\overline{BF})\cdot \overline{BC}$

Rechenweg anzeigen

$A_{FBCM_1} = \underline{ 233,84\,\text{cm}^2 }$

3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks $\(\boldsymbol{FBM_2C$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\( A_{FBM_2C$

Abschlussprüfung 2021

Lösung 7

Geometrische Darstellung eines Trapezes mit den Punkten A, B, C, D, E, F und den Winkeln α und β.

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{BF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BF}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BC}\\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{BF}\\[5pt] \overline{BF}&=&\cos(60^\circ)\cdot 4,8\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BF}&=&\underline{ 2,4\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CF}^2+\overline{BF}^2&=&\overline{BC}^2 \quad\quad\quad\quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\; -\overline{BF}^2\\[5pt] \overline{CF}^2&=&\overline{BC}^2-\overline{BF}^2 \quad \quad \quad \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{CF}&=&\sqrt{\overline{BC}^2-\overline{BF}^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(4,8\,\text{cm})^2-(2,4\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{CF}&=&\underline{ 4,16\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\overline{DE}=\overline{CF}=4,16\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{AE}\quad \scriptsize \mid\; :\tan(\alpha)\\[5pt] \overline{AE}&=&\dfrac{\overline{DE}}{\tan(\alpha)}\\[5pt] \overline{AE} &=&\dfrac{4,16\,\text{cm}}{\tan(70^\circ)}\\[5pt] \overline{AE}&=&\underline{ 1,51\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=&\overline{AB}-\overline{BF}-\overline{AE}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6,0\,\text{cm}-2,4\,\text{cm}-1,51\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 2,09\,\text{cm}}} \end{array}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Funktionen und Gleichungen" eingeordnet.

Musterprüfung 1

Lösung 8

Länge des Streckenzugs $\overline{ARSTB}$ berechnen

Streckenzug Realschule Baden-Württemberg Musterprüfung

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AS}$ berechnen

$\overline{AS}=\dfrac{8\,\text{cm}+6\,\text{cm}}{2}=\dfrac{14\,\text{cm}}{2}=\underline{ 7\,\text{cm}}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AR}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AR}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AR}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5,66 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{RS}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{RS}^2&=& (4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{RS}&=& \sqrt{(4 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{ST}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{ST}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{ST}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (4 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 5 \,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\overline{TB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{TB}^2&=& (3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] \overline{TB}&=& \sqrt{(3 \,\text{cm})^2 + (3 \,\text{cm})^2 } \\[5pt] &=& \underline{ 4,24 \,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Gesamten Streckenzug $\overline{ARSTB}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{\text{ARSTB}} = 19,9 \,\text{cm}$

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

wahlteil b streckenzug loesung 2 strecke

1. Schritt: Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=& \dfrac{3\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt] \gamma&=& \underline{ 36,9^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Größe des Winkels $\beta$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{4\,\text{cm}}{5\,\text{cm}}\\[5pt] \beta&=& \underline{ 53,1^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=& 180^{\circ} -\gamma - \beta &\quad \scriptsize \\[5pt] \alpha&=& 180^{\circ} -36,9^{\circ} - 53,1^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 90^{\circ}}} \end{array}$

Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Anwendungsaufgaben" eingeordnet.

Musterprüfung 2

Lösung 9

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A=\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{AB}+\overline{EC})\cdot \overline{AE}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon_1 )&=&\dfrac{\overline{CD}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \sin(64^{\circ} )&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\overline{EC}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EC} \\[5pt] \sin(64^{\circ} )\cdot \overline{EC} &=& 9,5\,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \sin(64^{\circ} ) \\[5pt] \overline{EC}&=&\dfrac{9,5\,\text{cm}}{\sin(64^{\circ})} \\[5pt] \overline{EC}&= &\underline{ 10,57\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma_1}$ berechnen

$\gamma_1 = 180^{\circ}-64^{\circ}- 90^{\circ} = \underline{ 26 ^{\circ}}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{FD}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma_1)&=&\dfrac{\overline{FD}}{\overline{CD}} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin(26 ^{\circ} )&=&\dfrac{\overline{FD}}{9,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 9,5\,\text{cm} \\[5pt] \sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} &=& \overline{FD} & \\[5pt] \overline{FD} &=& \sin(26 ^{\circ} )\cdot 9,5\,\text{cm} & \\[5pt] \overline{FD} &= &\underline{ 4,16\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{HD}-\overline{FD} \\ &=& 12,9\,\text{cm}-4,16\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 8,74\,\text{cm} } \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma_2&=& \gamma-\gamma_1 \\[5pt] &=& 95^{\circ}-26^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{ 69^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{\overline{CG}}$ berechnen

$\overline{BG} = \overline{AE} = 8,74\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma_2)&=&\dfrac{\overline{BG}}{\overline{CG}} \\[5pt] \tan(69^{\circ} )&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\overline{CG}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{CG} \\[5pt] \tan(69^{\circ} ) \cdot \overline{CG} &=&8,74 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; : \tan(69^{\circ} ) \\[5pt] \overline{CG}&=&\dfrac{8,74\,\text{cm}}{\tan(69^{\circ})} \\[5pt] \overline{CG}&= &\underline{ 3,35\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{EC}-\overline{CG}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 10,57\,\text{cm}-3,35\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{ 7,22\,\text{cm}} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{AB}+\overline{EC})\cdot \overline{AE}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,22\,\text{cm}+10,57\,\text{cm}) \cdot 8,74\,\text{cm} \\[5pt] &=& 77,74\,\text{cm}^2 \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 77,7\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts: $A=\overline{AD}\cdot \overline{DC}$

In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel $60^{\circ}$ groß:

Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020 Wahlteil

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ berechnen

$\overline{AD} = \overline{HF}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(60^{\circ})&=&\dfrac{\overline{HF}}{2\mathrm{e}\sqrt{3}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] \tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3} &=& \overline{HF}\\[5pt] \overline{HF} &=&\tan(60^{\circ}) \cdot 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt] \overline{HF}&=&\underline{ 6\mathrm{e}} \quad = \overline{AD} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Da in einem gleichseitigen Dreieck alle Seiten gleich lang sind, gilt $\overline{DG} = \overline{AD} = 6\mathrm{e}.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{\overline{DG}}{\overline{DF}} \\[5pt] \cos(30^{\circ}) &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\overline{DF}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DF}\\[5pt] \cos(30^{\circ}) \cdot \overline{DF} &=& 6\mathrm{e} \quad \scriptsize \mid\; :\cos(30^{\circ}) \\[5pt] \overline{DF} &=& \dfrac{6\mathrm{e}}{\cos(30^{\circ})} \\[5pt] \overline{DF} &=& \underline{ 4 \mathrm{e}\sqrt{3}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DC}}$ berechnen

$\overline{FC} = \overline{HB} = 2\mathrm{e}\sqrt{3}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&=& \overline{DF} + \overline{FC}\\[5pt] &=& 4 \mathrm{e}\sqrt{3} + 2 \mathrm{e}\sqrt{3}\\[5pt] &=& \underline{ 6\mathrm{e}\sqrt{3}} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \overline{AD} \cdot \overline{DC} \\[5pt] &=& 6\mathrm{e} \cdot 6\mathrm{e}\sqrt{3} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 36\mathrm{e}^2\sqrt{3}}} \end{array}$

Damit ist die Aussage bewiesen.

Abschlussprüfung 2020

Lösung 10

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FG}}$ berechnen

Diagramm eines geometrischen Problems mit einem Viereck und einem eingezeichneten Winkel.

Satz des Pythagoras anwenden

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AF}^2&=& \overline{AG}^2+\overline{FG}^2\quad \scriptsize \mid\;-\overline{AG}^2 \\[5pt] \overline{FG}^2&=&\overline{AF}^2-\overline{AG}^2\\[5pt] \overline{FG}^2&=&(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{FG}&=& \sqrt{(3,4\,\text{cm})^2-(1,7\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{FG}&=& \underline{ 2,94\,\text{cm} } \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DF}}$ berechnen

Größe des Winkels $\beta$ berechnen

Da das Dreieck $FBC$ gleichschenklig ist, gilt $\overline{BC}=\overline{CF}=7,0 \,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{FI}}{\overline{CF}} &\quad \\[5pt] \cos(\beta)&=&\dfrac{1,7\,\text{cm} }{7,0\,\text{cm} } \\[5pt] \beta&=&\underline{ 75,94^{\circ}} \\[5pt] \end{array}$

Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=&180^{\circ}-\beta-\dfrac{\alpha}{2} \\[5pt] \gamma&=&180^{\circ}-75,94^{\circ}-\dfrac{60^{\circ}}{2} \\[5pt] \gamma&=&\underline{ 74,06^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{HF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\gamma)&=&\dfrac{\overline{HF}}{\overline{CF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt] \overline{HF}&=&\overline{CF}\cdot \cos(\gamma) \\[5pt] \overline{HF}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \cos(74,06^{\circ}) \\[5pt] \overline{HF}&=&\underline{ 1,92\,\text{cm}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\gamma)&=&\dfrac{\overline{CH}}{CF} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{CF} \\[5pt] \overline{CH}&=&\overline{CF}\cdot \sin(\gamma) \\[5pt] \overline{CH}&=&7,0\,\text{cm}\cdot \sin(74,06^{\circ}) \\[5pt] \overline{CH}&=&\underline{ 6,73\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{DH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)&=&\dfrac{\overline{CH}}{\overline{DH}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DH} \\[5pt] \overline{DH}\cdot \tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) &=& \overline{CH}&\quad\scriptsize \mid\;:\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right) \\[5pt] \overline{DH}&=&\dfrac{\overline{CH}}{\tan\left(\dfrac{\delta}{2}\right)} \\[5pt] \overline{DH}&=&\dfrac{6,73\,\text{cm}}{\tan(59^{\circ})} \\[5pt] \overline{DH}&=&\underline{ 4,04\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Abstand des Punktes $\boldsymbol{D}$ zur Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DG}&=&\overline{DH}+\overline{HF}+\overline{FG} & \\[5pt] \overline{DG}&=&4,04\,\text{cm}+1,92\,\text{cm}+2,94\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DG}&=&\underline{\underline{ 8,9\,\text{cm}}} \end{array}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\(\boldsymbol{\overline{CA$ berechnen

Länge der Strecke $\overline{DF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DF}&=&\overline{DA}-\overline{AF} & \\[5pt] \overline{DF}&=&21,0\,\text{cm}-13,3\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DF}&=&\underline{ 7,70\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Srecke $\(\overline{A$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{A$

Länge der Strecke $\(\overline{CA$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{CA$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ berechnen

Größe des Winkels $\epsilon$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\epsilon)&=&\dfrac{\overline{A$

Größe des Winkels $\varphi$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&2\cdot \varphi+\epsilon &\quad \scriptsize \mid\;-\epsilon \\[5pt] 2\cdot \varphi&=&180^{\circ}-\epsilon &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \varphi&=&(180^{\circ}-\epsilon):2 \\[5pt] \varphi&=&(180^{\circ}-54,61^{\circ}):2 \\[5pt] \varphi&=&\underline{ 62,70^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{\overline{AG}}{\overline{AF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AF} \\[5pt] \overline{AG}&=&\overline{AF}\cdot \tan(\varphi) \\[5pt] \overline{AG}&=&13,3\,\text{cm}\cdot \tan(62,70^{\circ}) \\[5pt] \overline{AG}&=&\underline{ 25,77\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{GB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{GB}&=&\overline{AB}-\overline{AG} & \\[5pt] \overline{GB}&=&29,7\,\text{cm}-25,77\,\text{cm} \\[5pt] \overline{GB}&=&\underline{ 3,93\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Flächeninhalt des Vierecks berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} A&=&\frac{1}{2}\cdot (\overline{GB}+\overline{CA$

Abschlussprüfung 2019

Lösung 11

Hilfsskizze

Winkel $\alpha$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AD}$ berechnen

Die Strecke $\overline{AD}$ ist die Höhe des Dreiecks $ABC$ zur Grundseite $\overline{BC}.$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\[5pt] A_{ABC}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{AD}\\[5pt] 54\,\text{cm}^2 &=& \dfrac{1}{2} \cdot 11,6\,\text{cm} \cdot \overline{AD} \\[5pt] 54\,\text{cm}^2 &=& 5,8\,\text{cm} \cdot \overline{AD} \quad\scriptsize \mid\; :5,8\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AD} &=& \underline{ 9,31 \,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Winkel $\alpha_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha_1)&=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha_1) &=& \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \cos(\alpha_1) &=& \dfrac{9,31\,\text{cm}}{12,0\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha_1&=& \underline{ 39,12^{\circ}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{BD}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{BD} = \underline{ 7,57 \,\text{cm}}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD} &=& \overline{BC} - \overline{BD} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 11,6 \,\text{cm} - 7,57 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{CD} &=& \underline{ 4,03 \,\text{cm}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Winkel $\alpha_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_2)&=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\alpha_2) &=& \dfrac{\overline{CD}}{\overline{AD}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\alpha_2) &=& \dfrac{4,03\,\text{cm}}{9,31\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha_2&=& \underline{ 23,41^{\circ}} \end{array}$

6. Schritt: Winkel $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \alpha_1 + \alpha_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 39,12^{\circ} + 23,41^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 62,53^{\circ} \\[5pt] \alpha&=&\underline{\underline{ 62,5^{\circ}}} \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} &=& \sin(\alpha_1)&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} &=& \sin(\alpha_1)\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD}\\[5pt] \overline{DE} &=& \sin(\alpha_1)\cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize\\[5pt] &=& \sin(39,12^{\circ}) \cdot 9,31\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5,87\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE} &=& \underline{\underline{ 5,9\,\text{cm}}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Nachweis, dass die Dreiecke flächengleich sind

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $DBC$ berechnen

Länge von $\overline{BC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\overline{BC}\\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{BC}&=&\overline{AC}\quad \scriptsize \mid\;:\tan(\beta)\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\tan(\beta)}\quad \scriptsize \mid\;:\tan(\beta) \end{array}$

Da das Dreieck $DBC$ gleichseitig ist, gilt: $\beta=60^\circ$

$\overline{BC}=\dfrac{4e\sqrt{3}}{\tan(60^\circ)}$ $=\dfrac{4e\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4e$

Flächeninhalt $A_{DBC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{DBC}&=&\dfrac{\overline{BC}^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt] &=&\dfrac{(4e)^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt] &=&\dfrac{16e^2}{4}\sqrt{3}\\[5pt] A_{DBC}&=&\underline{ 4e^2\sqrt{3}}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks $ADC$ berechnen

Flächeninhalt $A_{ABC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}\cdot \overline{AC}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot4e\cdot 4e\sqrt{3}\\[5pt] A_{ABC}&=&8e^2\sqrt{3}\\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt $A_{ADC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{ADC}&=&A_{ABC}-A_{DBC}\\[5pt] &=&8e^2\sqrt{3}-4e^2\sqrt{3}\\[5pt] A_{ADC}&=&\underline{ 4e^2\sqrt{3}} \end{array}$

Damit ist gezeigt, dass beide Dreiecke flächengleich sind.

Wert von $e$ berechnen

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ lautet (s.o.) $A_{ABC}=8e^2\sqrt{3}.$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& 200 \\[5pt] 8e^2\sqrt{3}&=& 200 \quad \scriptsize \mid\;:(8\sqrt{3}) \\[5pt] e^2&=&\dfrac{25}{\sqrt{3}}\\[5pt] &=&\dfrac{25\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}\\[5pt] e^2&=&\dfrac{25\cdot \sqrt{3}}{3}\\[5pt] e_1&=&5\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \\[5pt] e_2&=&-5\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \end{array}$

$e_2$ ist negativ und scheidet somit als Ergebnis aus.

Für $\underline{\underline{ e=5\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\,\text{cm}}}$ beträgt der Flächeninhalt $A_{ABC}=200\,\text{cm}^2.$

Abschlussprüfung 2018

Lösung 12

Abstand von $\boldsymbol{E}$ zu $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Skizze - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017 Wahlteil

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AD}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AD}} \\[5pt] \sin(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD}\\[5pt] \sin(42,0^{\circ})\cdot \overline{AD}&=& 7,2 \,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \sin(42,0^{\circ}) \\[5pt] \overline{AD}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\sin(42,0^{\circ})} \\[5pt] \overline{AD}&=& \underline{10, 76 \,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=& \overline{AD}-\overline{DE} \\[5pt] &=& 10,76 \,\text{cm} - 3,0 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{7,76 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Abstand bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\overline{ES} = \underline{\underline{5,2 \,\text{cm}}}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \tan(42,0^{\circ})&=& \dfrac{7,2\,\text{cm}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \tan(42,0^{\circ})\cdot \overline{AB} &=& 7,2\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; : \tan(\alpha) \\[5pt] \overline{AB}&=& \dfrac{7,2 \,\text{cm}}{\tan(42,0^{\circ})} \\[5pt] \overline{AB}&=& 8,00 \,\text{cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{8\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\overline{AS}= \underline{5,77 \,\text{cm}}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BS}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BS}&=& \overline{AB} - \overline{AS} \\[5pt] &=& 8 \,\text{cm} - 5,77 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{2,23 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\beta)&=&\dfrac{\overline{ES}}{\overline{BS}} \\[5pt] \tan (\beta)&=&\dfrac{5,19\text{ cm}}{2,23 \,\text{cm} } &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \beta&=& \underline{66,75^{\circ}} \end{array}$

5. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\gamma}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& 180^{\circ}-2\cdot \beta \\[5pt] &=& 180^{\circ}-2\cdot 66,75^{\circ} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 46,5^{\circ}}} \end{array}$

Skizze Trapez - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2017

1. Schritt: Innenwinkel des Sechsecks berechnen

Winkelsumme in einem Sechseck:

$(6-2)\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}$

In einem regelmäßigen Vieleck sind alle Innenwinkel gleich groß.

$\alpha = 720^{\circ} : 6 = 120^{\circ}$

2. Schritt: Höhe des Trapezes berechnen

$\overline{AD}=2\cdot \overline{AE}$

$\beta = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} -120^{\circ} = 60^{\circ}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{EF}} \\[5pt] \sin (60^{\circ})&=& \dfrac{\overline{AE}}{2e} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2e \\[5pt] \sin (60^{\circ}) \cdot 2e &=& \overline{AE}\\[5pt] \overline{AE}&=& \sin (60^{\circ}) \cdot 2e\\[5pt] \overline{AE}&=& \sqrt{3}e \\[5pt] \end{array}$

$\overline{AD} =2 \cdot \overline{AE} = \underline{ 2\cdot \sqrt{3}e}$

3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{EF}^2 \\[5pt] \left(\sqrt{3}e\right)^2+\overline{AF}^2 &=& (2e)^2\\[5pt] 3e^2+\overline{AF}^2 &=& 4e^2 &\quad \scriptsize \mid \; -3e^2\\[5pt] \overline{AF}^2 &=& e^2&\quad\scriptsize\mid \;\sqrt{\;}\\[5pt] \overline{AF} &=& \underline{ e} \end{array}$

4. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{GB}}$ bestimmen

Im Dreieck $GBH$ sind zwei der Innenwinkel Nebenwinkel zu jeweils einem der Innenwinkel des Sechsecks und somit genau wie $\beta$ $60^{\circ}$ groß.
Somit sind alle Innenwinkel von $GBH$ gleich groß und es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $2e.$

$\overline{GB} = \underline{ 2e}$

5. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\overline{DI} = \overline{AF} = e$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&=&\overline{DI} + \overline{IC} \\[5pt] &=& e + 2e \\[5pt] &=& \underline{ 3e} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \overline{AF} + \overline{FG}+ \overline{GB} \\[5pt] &=& e + 2e + 2e \\[5pt] &=& \underline{ 5e} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABCD}&=&\frac{1}{2}\cdot \left(\overline{AB} + \overline{DC} \right) \cdot \overline{AD} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(5e + 3e \right) \cdot 2\cdot \sqrt{3}e \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 8 e^2\sqrt{3}}} \end{array}$

Länge der Diagonale $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& \overline{AD}^2 +\overline{DC}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=& \left( 2\cdot \sqrt{3}e\right)^2 + \left( 3e\right)^2\\[5pt] \overline{AC}^2 &=& 21e^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AC} &=& \underline{\underline{ \sqrt{21}e}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2017

Lösung 13

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \text{sin}(\beta)&=&\dfrac{CE}{BC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \, \overline{BC}\;\mid\; : \text{sin}(\beta)\\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\beta)} \\[5pt] \overline{BC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{BC} &=& \underline{ 9,58\text{ cm}}\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=&\alpha+\beta+\gamma \quad \scriptsize \mid\;-\,\beta\, -\,\gamma \\[5pt] \alpha&=&180^{\circ}-\beta-\gamma \\[5pt] \alpha&=&180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ} \\[5pt] \alpha&=&\underline{ 40^{\circ}} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{CE}}{AC} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\,\overline{AC}\; \mid\;:\,\sin(\alpha) \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{\overline{CE}}{\sin(\alpha)} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{9,0\,\text{cm}}{\sin(40^{\circ})} \\[5pt] \overline{AC}&=&\underline{ 14,00\,\text{cm}} \end{array}$

Es gilt: $\overline{AB}=\overline{AC}$ $\Rightarrow\overline{AB}=14,00\,\text{cm}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FD}^2+\overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2 \quad\scriptsize \mid\;-\,\overline{FD}^2 \\[5pt] \overline{AF}^2&=&\overline{AD}^2-\overline{FD}^2 \;\quad\scriptsize \mid\;\,\sqrt{\,\,\,}\\[5pt] \overline{AF}&=&\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{FD}^2} \\[5pt] \overline{AF}&=&\sqrt{(10,4\,\text{cm})^2-(9\,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AF}&=&\underline{ 5,21\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=& \dfrac{\overline{CE}}{\overline{BE}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot\,\overline{BE}\, \mid\; :\tan(\beta) \\[5pt] \overline{BE} &=& \dfrac{\overline{CE}}{\tan(\beta)} \\[5pt] \overline{BE} &=& \dfrac{9,0\,\text{cm}}{\tan(70^{\circ})} \\[5pt] \overline{BE} &=& \underline{ 3,28\text{ cm}}\\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FE}}$ ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FE}&=& \overline{AB} - \overline{AF} - \overline{BE} \\[5pt] &=& 14,00\,\text{cm} - 5,21\,\text{cm} - 3,28\,\text{cm}\\[5pt] \overline{FE}&=& \underline{ 5,51\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Es gilt: $\overline{FE}=\overline{CD}$ $\Rightarrow\overline{CD}=5,51$

6. Schritt: Umfang des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{AD} \\[5pt] &=&14\,\text{cm}+9,58\,\text{cm}+5,51\,\text{cm}+10,4\,\text{cm} \\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 39,5\,\text{cm}}} \end{array}$

1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-90^{\circ}-\gamma \\[5pt] &=&180^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ} \\[5pt] \beta&=&\underline{ 40^{\circ}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{AB}&=& \tan(\gamma) \cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{AB}&=& \tan(50^{\circ}) \cdot 11,4\,\text{cm} \\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{ 13,59\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DB}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DB}&=& \overline{AB}-\overline{AD}& \\[5pt] &=& 13,59\,\text{cm}-5,0\,\text{cm}& \\[5pt] \overline{DB}&=& \underline{ 8,59\,\text{cm}}& \\[5pt] \end{array}$

Es gilt: $\(\overline{DB$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{DB}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{DB} \\[5pt] \overline{DE}&=& \tan(\beta)\cdot \overline{DB} \\[5pt] \overline{DE}&=& \tan(40^{\circ})\cdot 8,59\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE}&=& \underline{ 7,21\,\text{cm}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\(\boldsymbol{\overline{AB$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \overline{AB$

6. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AF}}$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta$

7. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (\overline{DE}+\overline{AF})\cdot \overline{AD} & \\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot (7,21\,\text{cm}+3,01\,\text{cm})\cdot 5,0\,\text{cm} & \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 25,6\,\text{cm}^2}} & \\[5pt] \end{array}$

Abschlussprüfung 2016

Lösung 14

Größe des Winkels $\boldsymbol{\delta_1}$ berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DR}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DR}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD} \\[5pt] \overline{DR} &=& \sin(\alpha)\cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{DR} &=& \sin(50^{\circ}) \cdot 8,4 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{DR} &=& \underline{ 6,43 \,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AR}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AR}}{\overline{AD}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AD} \\[5pt] \overline{AR} &=& \cos(\alpha) \cdot \overline{AD} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AR} &=& \cos(50^{\circ}) \cdot 8,4\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AR} &= & \underline{ 5,40\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{ER}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{ER}&=&\overline{AE}-\overline{AR} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{ER}&=& 7,8\,\text{cm}- 5,40\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{ER}&=& \underline{ 2,40 \,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{ER}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\beta)&=&\dfrac{2,4\,\text{cm}}{6,43\,\text{cm} } \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \beta&=& \underline{ 20,5^{\circ}} \end{array}$

5. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{\overline{ER}}{\overline{DE}}\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{DE} \\[5pt] \sin(\beta)\cdot \overline{DE}&=& \overline{ER}\quad \scriptsize \mid\; : \sin(\beta) \\[5pt] \overline{DE}&=&\dfrac{\overline{ER}}{\sin(\beta)} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{DE}&=&\dfrac{2,4\,\text{cm}}{\sin(20,5^{\circ} )} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{DE}&=& \underline{ 6,85\,\text{cm}} \end{array}$

6. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\delta_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\delta_2)&=&\dfrac{\overline{BR}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\delta_2)&=&\dfrac{\overline{BE}+\overline{ER}}{\overline{DR}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \tan(\delta_2)&=& \dfrac{6,85\,\text{cm}+2,4\,\text{cm}}{6,43\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \delta_2&=& \underline{ 55,2^{\circ}} \end{array}$

7. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\delta_1}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \delta_1&=&90^{\circ}-\delta_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&90^{\circ}- 55,2^{\circ} &\quad \scriptsize \\[5pt] \delta_1 &=& \underline{\underline{ 34,8^{\circ}}} \end{array}$

Flächeninhalt des Dreiecks $\boldsymbol{EBD}$ berechnen

wahlbereich trapez dreieck flaecheninhalt

$\begin{array}[t]{rll} A_{\,\text{EBD}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \overline{EB}\cdot \overline{DR} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 6,86 \,\text{cm}\cdot 6,43 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] A_{EBD}&=& \underline{\underline{ 22,1 \,\text{cm}^2}} \end{array}$

Beas Aussage prüfen

$\begin{array}[t]{rll} u_{\,\text{Rechteck}}&=& 2\cdot 6e+2\cdot 3e &\quad \scriptsize \\[5pt] u_{\,\text{Rechteck}}&=& 18e \end{array}$

$U_{AEFG}=\overline{AG}+\overline{FG}+\overline{AE}+\overline{EF}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AG}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AG}&=& 2\cdot \overline{BC}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\cdot 3e &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AG}&=& \underline{ 6e} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{FG}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BE}&=&\dfrac{\overline{CM}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3e}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{BE}&=& \underline{ 1,5e }=\overline{FG} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}&=&\overline{AB}-\overline{BE} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6e-1,5e &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AE}&=&\underline{ 4,5e} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(30^{\circ})&=&\dfrac{\overline{MR}}{\overline{EM}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{EM} \\[5pt] \cos(30^{\circ}) \cdot \overline{EM}&=& \overline{MR}\quad \scriptsize \mid\; :\cos(30^{\circ})\\[5pt] \overline{EM}&=&\dfrac{\overline{MR}}{\cos(30^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{EM}&=&\dfrac{3e}{\cos(30^{\circ})} &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{EM}&=& 2\cdot \sqrt{3}e \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{EF}&=& 2 \cdot \overline{EM} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2 \cdot 2\cdot \sqrt{3}e &\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{EF}&=& \underline{ 4\sqrt{3}e} \end{array}$

5. Schritt: Umfang des Vierecks $\boldsymbol{AEFG}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u_{AEFG}&=& \overline{AG}+\overline{FG}+\overline{AE}+\overline{EF} \quad \scriptsize \\[5pt] &=& 6e+1,5e+4,5e+4\cdot \sqrt{3}e \\[5pt] u_{AEFG}&=& \underline{ 18,93e} \end{array}$

Beas Aussage ist nicht richtig, da $18,93e\gt 18e$ gilt.

Abschlussprüfung 2015

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?