Daten

Aufgabe 7

Mias Schwester hat Ende Januar an der Börse 1000 € in eine Aktie eines Elektroautobauers investiert. Das Schaubild zeigt den Wert dieser Aktie jeweils am Monatsende.

Diagramm mit monatlichen Werten von Januar bis Juni, zeigt Trends in Euro.

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von Ende Februar bis Ende Juni gestiegen?
Wie hoch ist der Wert des investierten Kapitals Ende Juni?
Angenommen, Mias Schwester hätte das Geld bei einer Bank angelegt, welchen gleichbleibenden Zinssatz hätte die Bank anbieten müssen, damit in 2 Jahren der Wertzuwachs genauso hoch gewesen wäre? Ist das realistisch?

(4 P)

Aufgabe 8

Die Diagramme zeigen den Verbrauch von Getränkeverpackungen.

Grafik zu Einweg-Getränkeverpackungen in Tonnen von 2004 bis 2014.

Kreisdiagramm zu Getränkeverpackungen 2014: Einweg 54 %, Mehrweg 46 %.

Um wie viel Prozent ist der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen von 2004 bis 2014 insgesamt gestiegen?

Wie viele Tonnen Getränkeverpackungen (Einweg und Mehrweg) wurden im Jahr 2014 insgesamt verbraucht?

Der Verbrauch von Einweg-Getränkeverpackungen soll in den zehn Jahren von 2014 bis 2024 jährlich um jeweils $5\,\%$ gegenüber dem Vorjahr sinken.
Wie viele Tonnen Einweg-Getränkeverpackungen wären es dann im Jahr 2024?

(3 P)

Aufgabe 9

lm Rahmen einer Untersuchung wurden die Wartezeiten beim Anruf zweier Hotlines notiert.
Das Diagramm zeigt die Wartezeiten von 41 Anrufern der Hotline QUICK-TEL.

Balkendiagramm zeigt die Wartezeiten bei QUICK-TEL in Minuten und Anzahl der Anrufer.

Welcher der beiden Boxplots stellt die Verteilung der Wartezeiten aus dem Diagramm dar?
Begründe mit Hilfe der Kennwerte.

Boxplot-Diagramm zur Darstellung von Wartezeiten in Minuten für zwei Gruppen, A und B.

Der andere Boxplot zeigt die Verteilung der Wartezeiten der Hotline FAST-PHONE.
Hier wurden ebenfalls 41 Wartezeiten erfasst.

ln der Strichliste fehlen die Werte für 8, 9 und 11 Minuten.
Ergänze diese drei Felder mit möglichen Werten.

Minuten	Anzahl der Anrufer
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

(3,5 P)

Aufgabe 10

In Deutschland boomt der Verkauf von E-Bikes.

Balkendiagramm zeigt Verkaufszahlen von E-Bikes von 2013 bis 2017.

Balkendiagramm zur Verteilung der Fahrradverkäufe 2017 nach Typen.

Um wie viel Prozent ist der Verkauf von E-Bikes von 2013 bis 2017 insgesamt angestiegen?

Berechne die Anzahl aller Fahrräder, die im Jahr 2017 verkauft wurden.

In einer Fachzeitschrift war zu lesen, dass 22 % der im Jahr 2017 verkauften Mountainbikes eine Vollfederung hatten. Wie viele Mountainbikes hatten eine Vollfederung?

(3 P)

Aufgabe 11

Die beiden Ranglisten zeigen die monatlichen Vergütungen von zwei Berufsgruppen im ersten Ausbildungsjahr.
17 Jugendliche machen eine Ausbildung in einem technischen Beruf und 13 Jugendliche in einem kaufmännischen Beruf.

Ausbildungsvergütung in technischen Berufen (in Euro)
760
780
800
820
820
840
840
860
890
910
910
920
920
920
950
960
970

Ausbildungsvergütung in kaufmännischen Berufen (in Euro)
760
770
820
820
840
880
890
910
920
940
940
950
970

Diagramm mit einer Preisspanne von 750 bis 950 Euro, zeigt einen Mittelwert und Werte darunter und darüber.

Zu welcher Rangliste gehört der dargestellte Boxplot? Begründe.

Zeichne den Boxplot der anderen Berufsgruppe ein.

Vier Jugendliche, die eine kaufmännische Ausbildung machen, wurden nachträglich befragt.
Sie verdienen monatlich $800 \,€$ , $850 \,€$ , $900 \,€$ und $950 \,€$ .
Wie verändert sich der zugehörige Boxplot, wenn diese Werte hinzukommen? Begründe.

(3,5 P)

Aufgabe 12

Die Grafik zeigt den täglichen Wasserverbrauch pro Kopf in Deutschland.

Entwicklung des Pro-Kopf-Wasserverbrauchs
Angaben in Litern pro Einwohner und Tag in Deutschland

Balkendiagramm zeigt Daten von 1980 bis 2015 mit variierenden Werten.

Täglicher Wasserverbrauch pro Einwohner
in Deutschland in Prozent im Jahr 2015

Kreisdiagramm mit verschiedenen Kategorien und Prozentanteilen für Haushaltsaufgaben.

Um wie viel Prozent hat der Wasserverbrauch pro Kopf im Zeitraum von 1990 bis 2010 abgenommen?

Berechne, wie viele Liter Wasser im Jahr 2015 täglich für die Körperpflege pro Einwohner verbraucht wurden.

Einer Studie zufolge nimmt der Wasserverbrauch pro Kopf in den fünf Jahren von 2015 bis 2020 ab. Man geht davon aus, dass sich der Wasserverbrauch um $1\,\%$ pro Jahr, bezogen auf das Vorjahr, verringert.

Mit welchem täglichen Wasserverbrauch pro Kopf ist 2020 zu rechnen?

(3,5 P)

Aufgabe 13

Die Jungen der Klassen 7a und 7b werfen im Sportunterricht mit einem 200 - g - Ball.
Die Wurfweiten werden in ganzen Metern erfasst.
Die Verteilungen der Wurfweiten der $17$ Jungen der Klasse 7a und der $13$ Jungen der Klasse 7b sind in den beiden Boxplots dargestellt.

Rangplatz	Klasse 7a
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$	$23$
$7$	$25$
$8$	$28$
$9$	$28$
$10$	$35$
$11$	$36$
$12$	$38$
$13$	$40$
$14$
$15$
$16$
$17$

Rangplatz	Klasse 7b
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$	$24$
$6$	$25$
$7$	$28$
$8$	$28$
$9$	$29$
$10$	$36$
$11$	$38$
$12$	$40$
$13$

Ordne die Boxplots den unvollständigen Ranglisten der Klassen 7a und 7b zu.
Begründe deine Entscheidung mithilfe geeigneter Kennwerte.
Ergänze die Ranglisten mit möglichen Werten.

Tom und Marc aus der Klasse 7a wurden im Nachhinein aus der Wertung genommen, da sie übertreten hatten. Tom hatte den Ball $23\,\text{m}$ und Marc $36\,\text{m}$ weit geworfen.
Alex behauptet: „Der Zentralwert ändert sich nicht, wenn Tom und Marc aus der Wertung genommen werden.“
Hat Alex recht? Begründe deine Antwort.

(3,5 P)

Aufgabe 14

Bei dem Reiseveranstalter Holiday wurden im Jahr 2015 insgesamt 54 000 Reisen gebucht.
Das Balkendiagramm zeigt die Verteilung der Reisen.

Balkendiagramm zeigt die beliebtesten Urlaubsziele 2015 in Prozent. Deutschland führt mit 37,5 %.

Im Kreisdiagramm sind die Reisen innerhalb Deutschlands dargestellt.

Tortendiagramm zeigt den Anteil der Reisen innerhalb Deutschlands nach Bundesländern.

Wie viele Reisen nach Österreich wurden gebucht?

Innerhalb Deutschlands ist Bayern das beliebteste Urlaubsziel.
Wie viele Reisen gingen nach Bayern?

Es wurden 704 Reisen in die USA gebucht.
Wie hoch ist der prozentuale Anteil der Reisen in die USA an den „sonstigen“ Urlaubszielen?

(3,5 P)

Aufgabe 15

Die Klasse 10a der Mörike-Realschule hat eine Klassenarbeit geschrieben.

Säulendiagramm zeigt die Ergebnisse der Schüler in der Klasse 10 a nach Punkten. Anzahl der Schüler auf der Y-Achse.

Boxplot-Diagramm mit zwei Boxen und einer Punkteskala von 0 bis 14.

Welcher der beiden folgenden Boxplots zeigt die Verteilung der Ergebnisse der Klasse 10a?

Begründe deine Entscheidung mit Hilfe geeigneter Kennwerte.

Die Klasse 10b mit 29 Schülerinnen und Schülern hat die gleiche Klassenarbeit geschrieben.
Das andere Boxplot zeigt die Verteilung der Ergebnisse dieser Klasse.

Für die Punktzahlen 9 und 10 fehlen im Diagramm die Säulen.

Balkendiagramm zeigt die Ergebnisse der Schüler der Klasse 10 b in Punkten.

Zeichne eine mögliche Lösung in das nebenstehende Diagramm ein.

(3,5 P)

Aufgabe 16

Bei einer Umfrage wurden Frauen und Männer getrennt befragt.
„Wie viele Euro haben Sie für Ihr zuletzt gekauftes Paar Schuhe bezahlt?“

Preise der Frauenschuhe in Euro (gerundet):

30
30
50
60
70
80
90
90
100
120
140
150
160
180
200

Vervollständige den zugehörigen Boxplot.

Grafik mit zwei horizontalen Linien für Frauen und Männer, die Werte bis 200 € darstellen.

Zum Boxplot der Preise der Männerschuhe gehört die unvollständig ausgefüllte Rangliste. Ergänze passende Werte.

Preise der Männerschuhe in Euro (gerundet):

Rang	Preis (€)
1
2	30
3
4
5	50
6	50
7
8
9
10
11	120
12	140
13

(4 P)

Aufgabe 17

In der abgebildeten Weltkarte sind die Bevölkerungszahlen der Kontinente für das Jahr 2014 und die voraussichtlichen Werte für das Jahr 2050 dargestellt.

Weltkarte mit Bevölkerungszahlen für 2014 und Prognosen für 2050 in verschiedenen Regionen.

Um wie viel Prozent wird die Bevölkerungszahl von Europa im Zeitraum von 2014 bis 2050 voraussichtlich sinken?

In Afrika steigt die Bevölkerungszahl.
In den drei Jahren von 2014 bis 2017 nimmt sie jährlich durchschnittlich um 2,5 % zu.
Wie hoch ist die zu erwartende Bevölkerungszahl in Afrika im Jahr 2017?

Eine Zeitungsmeldung lautet: „Im Jahr 2050 ist etwa jeder vierte Mensch ein Afrikaner.“

Stimmt die Aussage? Begründe deine Antwort.

(3 P)

Aufgabe 18

Das Diagramm zeigt den Wert der Aktie „Motelo“ jeweils am Jahresende.

Liniendiagramm zeigt den Anstieg der Euro-Werte für Motelo von 2009 bis 2014.

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von 2010 bis 2013 insgesamt angestiegen?
Am Ende des Jahres 2014 lag der Wert der Aktie $15,4\,$ % über dem Wert am Ende des Jahres 2013.
Zeichne im Diagramm den Jahresendwert von 2014 ein.

Welchen jährlich gleichbleibenden Zinssatz hätte eine Bank bieten müssen, um von 2009 bis 2013 den gleichen Wertzuwachs zu erzielen?

(3,5 P)

Aufgabe 19

Die Klassen 10a und 10b machen einen gemeinsamen Ausflug und spielen Minigolf.
Beim Minigolf zählt jeder Schlag als Punkt.
Hat der Ball nach sechs Punkten das Ziel nicht erreicht, ist ein Zusatzpunkt anzurechnen.
Die Höchstpunktzahl an einer Bahn beträgt also sieben Punkte.

Die Diagramme und die Boxplots zeigen die Ergebnisse der beiden Klassen nach der ersten Bahn.

Balkendiagramm mit der Anzahl der Schüler in Klasse 10 a nach Punkten von 1 bis 7.

realschulprüfung pflichtbereich diagramm boxplot

Boxplot-Diagramm mit zwei Boxen und einer Skala von 0 bis 7 Punkten.

Zu welcher Klasse gehört der jeweilige Boxplot? Begründe.

Wie viel Prozent der Schüler der Klasse 10a haben fünf oder mehr Punkte?

Überprüfe folgende Aussage:
„Die durchschnittliche Punktzahl der Klasse 10b beträgt genau vier Punkte.“

(4 P)

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Lösung 1

Zuwachs berechnen

$:34$

$\cdot 42$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 340\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 10\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{34}\,\%\\[5pt] 420\,000 & \mathrel{\widehat{=}}& 123,5\,\% \end{array}$

$:34$

$\cdot 42$

Zuwachs: $123,5\,\%-100\,\%=\underline{\underline{23,5\,\%}}$

Säule einzeichnen

$420\,000\cdot1,191=500\,220$

Prozentualen Anteil der Mädchen berechnen

Anzahl der 10- bis 19-jährigen Nutzer bestimmen:

$420\,000\cdot 0,25=\underline{105\,000}$

Anteil der Mädchen berechnen:

$\dfrac{47\,500}{105\,000}=0,452=\underline{\underline{45,2\,\%}}$

Abschlussprüfung 2024

Lösung 2

Zuwachs berechnen

1. Schritt: Berechnung des absoluten Anstiegs

$W=7789-7484=305$

2. Schritt: Berechnung des prozentualen Anstiegs

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] \dfrac{W}{G}&=&p\,\%\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W}{G}\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{305}{7784}\\[5pt] p\,\%&=&\underline{\underline{4,08\,\%}}\\[5pt] \end{array}$

Ausgaben für Bannerwerbung berechnen

$:109,5$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 109,5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 895\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 8,17\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 817 \end{array}$

$:109,5$

$\cdot 100$

Die Ausgaben für Bannerwerbung lagen 2019 bei $817\,\text{Mio.}\,€.$

Ausgaben für Social-Media-Werbung 2026 berechnen

$614\cdot 1,1225^5=1094$

Die Ausgaben für Social-Media-Werbung wären dann bei $1094\,\text{Mio.}\,€,$ also über einer Milliarde €.

Abschlussprüfung 2023

Lösung 3

Um wie viel Prozent haben die Paketzustellungen von 2014 bis 2019 zugenommen?

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p&=&\dfrac{W}{G} \\[5pt] p&=&\dfrac{3,65}{2,78} \\[5pt] p&=&1,313 \end{array}$

Die Paketzustellungen haben also um $\underline{\underline{ 31,3 \,\%}}$ zugenommen.

Wie viele Pakete wurden von DHL im Jahr 2019 zugestellt?

$3,65\cdot 0,57=2,08$

2019 wurden $\underline{\underline{ 2,08\, \text{Milliarden}}}$ Pakete von DHL zugestellt.

Werte für 2020 und 2021 in das Diagramm eintragen

Wert für 2020:
$3,65\cdot 1,097= 4$

Wert für 2021:
$4\cdot 1,125= 4,5$

Abschlussprüfung 2022

Lösung 4

Welcher Boxplot gehört zu Diagramm (1)?

Zu Diagramm (1) gehört der Boxplot der Männer.

Begründung: Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im oberen Quartil. Deswegen genügt es, sich nur diesen Kennwert anzuschauen:
Oberes Quartil der zu Diagramm (1) gehörenden Rangliste:
$q_o=n\cdot 0,75=25\cdot 0,75=18,75$

Aufgerundet ist das obere Quartil also durch den 19. Wert gegeben. Aus dem Diagramm lässt sich ablesen:
$q_o=x_{19}=8 \,\text{Stunden}$

Den Boxplots kann entnommen werden, dass dies dem oberen Quartil des Boxplots der Männer entspricht.

Mögliche Säulen im Diagramm (2) ergänzen

Oberes Quartil:

$\begin{array}[t]{rll} \quad n\cdot 0,75&=& 25 \cdot 0,75&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 18,75 \end{array}$

Dem Boxplot der Frauen kann entnommen werden, dass das obere Quartil $q_0=9 \,\text{Stunden}$ beträgt. Der 19. Wert wird also bei 9 Stunden eingetragen.

Maximum:
Aus dem Boxplot der Frauen kann $x_{\,\text{max}}=25$ abgelesen werden. Der 25. Wert wird also bei 16 Stunden eingetragen.

Eine mögliche Lösung sieht also wie folgt aus:

Balkendiagramm zur Darstellung der Lesezeit in Stunden und der Anzahl der Personen.

Hinweis: Dies ist nur eine mögliche Lösung, es gibt noch weitere. Wichtig ist, dass die Kennwerte des Boxplots korrekt erfüllt sind.

Hat Finn recht?

Finn hat recht.

Die Hälfte aller Männer ist gegeben durch $12,5.$ Dem Diagramm kann entnommen werden, dass $13$ Männer sieben oder mehr Stunden die Woche lesen. Mit $13\gt 12,5$ folgt die Behauptung.

Abschlussprüfung 2021

Lösung 5

Boxplot 1: Klasse 10c
Boxplot 2: Klasse 10b

Begründung über Betrachtung der unteren Quartile

Klasse 10b: $q_{u}=n \cdot 0,25 = 17 \cdot 0,25 = 4,25 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow q_{u}=x_5=18$
Zur Rangliste der 10b passt also Boxlot 2.
Klasse 10c: $q_{u}=n \cdot 0,25 = 19 \cdot 0,25 = 4,75 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow q_{u}=x_5=20$
Zur Rangliste der 10c passt also Boxlot 1.

Kennwerte für die Rangliste der Klasse 10b ermitteln

$x_\text{min}=x_1=8$ (muss noch in die Rangliste eingetragen werden)
$q_{u}=x_5=18$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$z=n \cdot 0,5 = 17 \cdot 0,5 = 8,5 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow z=x_9=26$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$q_{o}=n \cdot 0,75 = 17 \cdot 0,75 = 12,75 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow q_{o}=x_{13}=34$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$x_\text{max}=x_{17}=46$ (muss noch in die Rangliste eingetragen werden)
Die Werte $x_2,x_3,x_4,x_{14},x_{15},x_{16}$ sind belieblig wählbar.

Rangplatz	Kl. 10b
1	8
2	10
3	11
4	16
5	18
6	22
7	25
8	26
9	26
10	28
11	32
12	34
13	34
14	40
15	40
16	44
17	46

Kennwerte für die Rangliste der Klasse 10c ermitteln

$x_\text{min}=x_1=10$ (muss noch in die Rangliste eingetragen werden)
$q_{u}=x_5=20$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$z=n \cdot 0,5 = 19 \cdot 0,5 = 9,5 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow z=x_{10}=26$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$q_{o}=n \cdot 0,75 = 19 \cdot 0,75 = 14,25 \notin \mathbb{Z}$ $\Rightarrow q_{o}=x_{15}=38$ (bereits in der Rangliste eingetragen)
$x_\text{max}=x_{19}=48$ (muss noch in die Rangliste eingetragen werden)
Die Werte $x_2,x_3,x_{16},x_{17},x_{18}$ sind belieblig wählbar.

Rangplatz	Kl. 10c
1	10
2	11
3	14
4	16
5	20
6	21
7	24
8	25
9	25
10	26
11	31
12	32
13	32
14	38
15	38
16	39
17	42
18	42
19	48

Ja, denn dann tauschen Schüler*in Nr.14 und Schüler*in Nr.15 die Plätze. Dadurch ändert sich der Werte $x_{15}$ und damit das obere Quartil.

Musterprüfung 1

Lösung 6

Um wie viel Prozent liegt das arithmetische Mittel der Schuhgrößen der Jungen über dem der Mädchen?

1. Schritt: Arithmetisches Mittel der Schuhgrößen der Mädchen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_M&=&\dfrac{37+3\cdot 36+3\cdot 38+2\cdot 39+37}{10} \\[5pt] \overline{x}_M&=&\underline{ 37,4} \end{array}$

2. Schritt: Arithmetisches Mittel der Schuhgrößen der Jungen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}_J&=&\dfrac{3\cdot 40+3\cdot 39+41+42}{8} & \\[5pt] \overline{x}_J&=&\underline{ 40} \end{array}$

3. Schritt: Prozentanteil berechnen

$:37,4$

$\cdot 40$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 37,4\\[5pt] 2,67\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\\[5pt] 106,8\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 40 \end{array}$

$:37,4$

$\cdot 40$

$\begin{array}[t]{rll} 106,8\,\%-100\,\%&=&6,8\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Das arithmetische Mittel der Jungen liegt $\underline{\underline{ 6,8\,\%}}$ über dem der Mädchen.

Median der Datenreihen angeben

Rangliste für Mädchen und Jungen erstellen

Mädchen	Jungen
36	39
36	39
36	39
37	40
37	40
38	40
38	41
38	42
39
39

Mädchen:
$\begin{array}[t]{rll} m_M&=&\dfrac{37+38}{2} & \\[5pt] m_M&=&\underline{\underline{ 37,5}} \end{array}$

Jungen:
$\begin{array}[t]{rll} m_J&=&\dfrac{40+40}{2} & \\[5pt] m_J&=&\underline{\underline{ 40}} \end{array}$

Ändert sich der Median, wenn bei den Mädchen die Angaben nachträglich geändert wurden?

Nein, der Median ändert sich nicht, da die veränderten Zahlen die Mitte nicht beeinflussen und nur am Rand Auswirkungen haben.

Lösung 7

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von Ende Februar bis Ende Juni gestiegen?

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W}{G} \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{58,03\,€}{37,12\,€} \\[5pt] p\,\%&=&1,563 \end{array}$

Die Aktie ist von Ende Februar bis Ende Juni um $\underline{\underline{ 56,3\,\%}}$ gestiegen.

Wie hoch ist der Wert des investierten Kapitals Ende Juni?

Anzahl der Aktien berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 23,23\,€\cdot x&=&1000\,€ &\quad \scriptsize \mid\;:23,23\,€ \\[5pt] x&=&\dfrac{1000\,€}{23,23\,€} \\[5pt] x&=&43,05 \\[5pt] \end{array}$

Wert der Aktien Ende Juni berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 58,03\,€\cdot 43,05&=&\underline{\underline{ 2498,19\,€}} & \\[5pt] \end{array}$

Welchen gleichbleibenden Zinssatz hätte die Bank anbieten müssen, damit in 2 Jahren der Wertzuwachs genauso hoch gewesen wäre? Ist das realistisch?

Zinseszinssatzformel nach p umformen

$\begin{array}[t]{rll} K_2&=&K_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;:K_0 \\[5pt] \dfrac{K_2}{K_0}&=&\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}&=&1+\dfrac{p}{100}\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}-1&=&\dfrac{p}{100} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 100 \\[5pt] p&=&\left(\sqrt{\dfrac{K_2}{K_0}}-1\right)\cdot 100 \\[5pt] p&=&\left(\sqrt{\dfrac{2498,19}{1000}}-1\right)\cdot 100 \\[5pt] p&=&58,1\,\% \end{array}$

Der Zinssatz der Bank müsste $\underline{\underline{ 58,1\,\%}}$ betragen.
Dieser Wert ist nicht realistisch, da der durchschnittliche Zinssatz bei derzeit ungefähr $1\,\%$ (2023) liegt.

Lösung 8

Um wie viel Prozent ist der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen von 2004 bis 2014 insgesamt gestiegen?

Mathematische Darstellung von Prozent- und Verhältnisberechnungen mit Zahlen.

$129,03\,\%-100,00\,\%=29,03\,\%$ $=\underline{\underline{ 29\,\%}}$

Der Verbrauch der Einweg-Getränkeverpackungen ist also um 29 % gestiegen.

Wie viele Tonnen Getränkeverpackungen wurden 2014 insgesamt verbraucht?

Dreisatz - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

Im Jahr 2014 wurden insgesamt $\underline{\underline{ 1.111.111 \,\text t}}$ Getränkeverpackungen verbraucht.

Wie viele Tonnen Einweg-Getränkeverpackungen wären es dann im Jahr 2024?

$\begin{array}[t]{rll} G_{2024}&=& G_{2014} \cdot q^n \\[5pt] &=& 600.000\,\text{t} \cdot (1-0,05)^{10} \\[5pt] &=& 600.000\,\text{t} \cdot 0,95^{10} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 359.242,2\,\text{t}}} \end{array}$

Im Jahr 2024 wären es also 359.242,2 t Einweg-Getränkeverpackungen.

Lösung 9

Welcher der beiden Boxplots stellt die Verteilung der Wartezeiten aus dem Diagramm dar?

Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im unteren Quartil.

$q_u=\dfrac{1}{4} \cdot n=\dfrac{1}{4} \cdot 41=10,25$ $\Rightarrow x_{11}=7\,\text{min}$

Anhand des Diagrammes sieht man, dass die Anruferzahl von 11 nach 7 min erreicht ist.

Dies entspricht $\underline{\underline{\text {Boxplot} (B)}}.$

Tabelle ergänzen

1. Schritt: Anzahl fehlender Striche berechnen

$41-2-4-3-5-4-1-1-2-1$ $= \underline{ 18}$

2. Schritt: Kennwerte ermitteln

$q_u=\dfrac{1}{4} \cdot n=\dfrac{1}{4} \cdot 41$ $=10,25\Rightarrow x_{11}=\underline{ 8\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 11 ist nach 8 min erreicht (= unteres Quartil).

$Z=\dfrac{1}{2} \cdot n=\dfrac{1}{2} \cdot 41$ $=20,5\Rightarrow x_{21}=\underline{ 9\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 21 ist nach 9 min erreicht (= Zentralwert).

$q_o=\dfrac{3}{4} \cdot n=\dfrac{3}{4} \cdot 41$ $=30,75\Rightarrow x_{31}=\underline{ 11\,\text{min}}$
Die Anruferzahl von 31 ist nach 11 min erreicht (= oberes Quartil).

Minuten	Anzahl der Anrufer
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Hinweis: Dies ist nur eine mögliche Lösung, es gibt noch weitere. Wichtig ist, dass die Kennwerte des Boxplots korrekt erfüllt sind.

Lösung 10

Um wie viel Prozent ist der Verkauf von E-Bikes von 2013 bis 2017 angestiegen?

$\begin{array}[t]{rll} p\,\% &=& \dfrac{W}{G}\,\cdot\,100 \\[5pt] p\,\% &=&\dfrac{720\,000}{410\,000}\,\cdot\,100 \\[5pt] p\,\% &=& 175,6\,\% \\[5pt] \end{array}$

Der Verkauf von E-Bikes ist in diesem Zeitraum um $\underline{\underline{ 75, 6\,\%}}$ angestiegen.

Anzahl aller Fahrräder, die 2017 verkauft wurden, berechnen

$:19$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 19\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 720\, 000\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 37\,894,74\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 3\,789\,474 \end{array}$

$:19$

$\cdot 100$

Im Jahr 2017 wurden $\underline{\underline{ 3\,789\,474}}$ Fahrräder verkauft.

Wie viele Mountainbikes hatten eine Vollfederung?

1. Schritt: Anzahl aller verkauften Mountainbikes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G\cdot\,p\,\,\%}{100} \\[5pt] W&=&\dfrac{3\,789\,437\cdot7\,\%}{100} \\[5pt] W&= & \underline{ 265\,263} \end{array}$

2. Schritt: Anzahl der Mountainbikes mit Vollfederung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G\cdot\,p\,\%}{100} \\[5pt] W&=&\dfrac{265\,263\cdot22}{100} \\[5pt] W&=& 58\,358\end{array}$

Es wurden $\underline{\underline{ 58\, 358}}$ Mountainbikes mit Vollfederung verkauft.

Lösung 11

Zu welcher Rangliste gehört der dargestellte Boxplot?

Betrachtung der oberen Quartile:

Boxplot: $q_{o_B}=920\,€$
Kaufmännische Berufe: $n\cdot 0,75=13\cdot 0,75=9,75 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{o_K}=x_{10}=940\,€$
Technische Berufe: $n\cdot 0,75=17\cdot 0,75=12,75\notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{o_T}=x_{13}=920\,€$

Somit beschreibt der Boxplot die technischen Berufe.

Boxplot für die kaufmännischen Berufe einzeichnen

1. Schritt: Kennwerte ermitteln

$x_{\text{min}}=760\,€$
$n \cdot 0,25 = 13 \cdot 0,25 = 3,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{u}=x_4=820\,€$
$n \cdot 0,5 = 13 \cdot 0,5 = 6,5 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow z=x_7=890\,€$
$q_{o_K}=940\,€$
$x_{\text{max}}=970\,€$

2. Schritt: Boxplot einzeichnen

Boxplot-Diagramm zur Darstellung von Werten in Euro zwischen 750 und 950.

Wie verändert sich der Boxplot?

1. Schritt: Rangliste um die vier Werte ergänzen

Ausbildungsvergütung in kaufmännischen Berufen (in Euro)
760
770
800
820
820
840
850
880
890
900
910
920
940
940
950
950
970

2. Schritt: Kennwerte für die ergänzte Rangliste ermitteln

$x_{\text{min}}=760\,€$
$n \cdot 0,25 = 17 \cdot 0,25 = 4,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{u}=x_5=820\,€$
$n \cdot 0,5 = 17 \cdot 0,5 = 8,5 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow z=x_9=890\,€$
$n \cdot 0,75 = 17 \cdot 0,75 = 12,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{o}=x_{13}=940\,€$
$x_{\text{max}}=970\,€$

Alle fünf Kennwerte haben sich durch die Änderung nicht verändert. Somit haben die neuen Werte keine Auswirkung auf den Boxplot.

Lösung 12

Prozentuale Abnahme des Wasserverbrauchs berechnen

Informationen im ersten Diagramm:

Im Jahr 1990 verbrauchte jeder Einwohner pro Tag ca. $147\,\text{Liter}.$
Im Jahr 2010 verbrauchte jeder Einwohner pro Tag ca. $122\,\text{Liter}.$

Differenz im betrachteten Zeitraum: $147\,\text{Liter}-122\,\text{Liter} = 25\,\text{Liter}$
In Prozent entspricht das:

$\dfrac{25\,\text{Liter}}{147\,\text{Liter}} \cdot 100\,\% = \underline{\underline{ 17\,\% }}$

Von 1990 bis 2010 hat der Wasserverbrauch pro Kopf und Tag also um ca. $17\,\%$ abgenommen.

Wasserverbrauch für die Körperpflege berechnen

Information im ersten Diagramm:

Im Jahr 2015 verbrauchte jeder Einwohner pro Tag ca. $122\,\text{Liter}.$

Information im zweiten Diagramm:

Im Jahr 2015 wurde im Schnitt $35\,\%$ des Wassers für Körperpflege benutzt.

$122\,\text{Liter} \cdot \dfrac{35\,\%}{100\,\%} = \underline{\underline{ 42,7\,\text{Liter}}}.$

Im Jahr 2015 wurden täglich $42,7\,\text{Liter}$ Wasser pro Einwohner für die Körperpflege verwendet.

Wasserverbrauch im Jahr 2020 berechnen

Es handelt sich um eine exponentielle Abnahme, daher gilt:

$122\,\text{Liter}\cdot (1-0,01)^5$

$\,\text{n}= 5,$ da $2020-2015=5$

$122\,\text{Liter}\cdot (1-0,01)^5 = \underline{\underline{ 116\,\text{Liter}}}$

Im Jahr 2020 beträgt der durchschnittliche Wasserverbrauch pro Einwohner und pro Kopf voraussichtlich ca. $116\,\text{Liter}$ täglich.

Lösung 13

Boxplots zuordnen

Wichtige Kennwerte bestimmen:

Da der Zentralwert und das untere Quartil gleich sind, helfen sie bei der Zuordnung nicht.
Minimum und Maximum kann nicht auf den Ranglisten abgelesen werden. Das obere Quartil muss also verwendet werden.

Das obere Quartil der ersten Rangliste ist auf Rangplatz 13 und beträgt daher $40.$
Das obere Quartil der zweiten Rangliste ist auf Rangplatz 10 und beträgt daher $36.$

Vergleichen zeigt, dass das obere Quartil von Boxplot (1) dem der ersten Rangliste entspricht und das obere Quartil von Boxplot (2) dem der zweiten Rangliste entspricht.

Ranglisten ergänzen

Kennwerte von Boxplot (1):

Minimum: $12;$ In der ersten Rangliste von Klasse 7a muss Rangplatz 1 also den Wert $12$ haben.
Maximum: $46;$ In der ersten Rangliste von Klasse 7a muss Rangplatz $17$ also den Wert $46$ haben.
Unteres Quartil: $22;$ In der ersten Rangliste von Klasse 7a muss Rangplatz 5 also den Wert $22$ haben.

Kennwerte von Boxplot (2):

Minimum: $6;$ In der zweiten Rangliste von Klasse 7b muss Rangplatz 1 also den Wert $6$ haben.
Maximum: $48;$ In der zweiten Rangliste von Klasse 7b muss Rangplatz $13$ also den Wert $48$ haben.
Unteres Quartil: $22;$ In der zweiten Rangliste von Klasse 7b muss Rangplatz 4 also den Wert $22$ haben.

Die übrigen Werte können mit Zahlen aufgefüllt werden, die in die Reihenfolge passen.
Eine mögliche Lösung:

Rangplatz	Klasse 7a
$1$	$\color{#db2416}{12 }$
$2$	$\color{#87c800}{14}$
$3$	$\color{#87c800}{16}$
$4$	$\color{#87c800}{18}$
$5$	$\color{#db2416}{22}$
$6$	$23$
$7$	$25$
$8$	$28$
$9$	$28$
$10$	$35$
$11$	$36$
$12$	$38$
$13$	$40$
$14$	$\color{#87c800}{41}$
$15$	$\color{#87c800}{42}$
$16$	$\color{#87c800}{43}$
$17$	$\color{#db2416}{46}$

Rangplatz	Klasse 7b
$1$	$\color{#db2416}{6}$
$2$	$\color{#87c800}{10}$
$3$	$\color{#87c800}{16}$
$4$	$\color{#db2416}{22}$
$5$	$24$
$6$	$25$
$7$	$28$
$8$	$28$
$9$	$29$
$10$	$36$
$11$	$38$
$12$	$40$
$13$	$\color{#db2416}{48}$

Rote Werte müssen exakt übereinstimmen. Grüne Werte können verschieden sein.

Aussage überprüfen

Der Zentralwert der Rangliste von Klasse 7a liegt auf Rangplatz 9. Der Wert $23\,\text{m}$ liegt auf Rangplatz 6, der Wert $36\,\text{m}$ liegt auf Rangplatz 11.
Es wird also jeweis unterhalb und oberhalb des Zentralwerts ein Wert entfernt. Es befinden sich nun noch $7$ Werte unterhalb und $7$ Werte oberhalb des ursprünglichen Zentralwerts. Damit bleibt der Zentralwert erhalten und Alex hat recht.

Lösung 14

Wie viele Reisen nach Österreich wurden gebucht?

$\begin{array}[t]{rll} W_1&=& G \cdot p_1\,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 6,1 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,061 = 3 \, 294\\[5pt] \end{array}$

Es wurden insgesamt $\underline{\underline{ 3\, 294}}$ Reisen nach Österreich gebucht.

Wie viele Reisen gingen nach Bayern?

1. Anzahl der Reisen nach Deutschland berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_2&=& G \cdot p_2 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 37,5 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,375 = \underline{ 20 \,250 }\\[5pt] \end{array}$

2. Anzahl der Reisen nach Bayern berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_3&=& W_2 \cdot p_3 \,\% \\[5pt] &=& 20 \,250 \cdot 18,0 \,\% \\[5pt] &=& 20 \,250 \cdot 0,18 = 3 \, 645 \end{array}$

Es wurden insgesamt $\underline{\underline{ 3\, 645}}$ Reisen nach Bayern gebucht.

Wie hoch ist der prozentuale Anteil der Reisen in die USA an den „sonstigen“ Urlaubszielen?

1. Anzahl der „sonstigen“ Urlaubsziele berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W_4&=& G \cdot p_4\,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 17,6 \,\% \\[5pt] &=& 54\,000 \cdot 0,176 = \underline{ 9 \, 504}\\[5pt] \end{array}$

2. Prozentualen Anteil der Reisen in die USA berechnen

$:9\, 504$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\cdot 704$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 9\, 504 \\[5pt] 0,0105\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\\[5pt] 7,39\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 704 \end{array}$

$:9\, 504$

$\cdot 704$

Der prozentuale Anteil beträgt also $\underline{\underline{ 7,4\,\%}}$ .

Lösung 15

Welcher der beiden Boxplots zeigt die Verteilung der Ergebnisse der Klasse 10a?

Die beiden Boxplots unterscheiden sich nur im oberen Quartil.

Für $q_{o_1}$ gilt: $n_{o_1} \cdot 0,75 =25 \cdot 0,75 = 18,75 \notin \mathbb{Z}$
$q_{o_1}= x_{19}=9 \,\text{Punkte}$

Das obere Quartil der Klasse 10a liegt also bei 9 Punkten. Somit gehört der erste Boxplot zu den Ergebnissen der 10a.

Eine mögliche Lösung in das untere Diagramm einzeichnen

1. Schritt: Rangliste für die Klasse 10b erstellen

Rangplatz	Punkte
1	2
2	3
3	3
4	4
5	4
6	5
7	6
8	6
9	6
10	6
11	7
12	7
13	7
14	7
15	7

Rangplatz	Punkte
16	8
17	8
18	8
19	9 oder 10
20	9 oder 10
21	9 oder 10
22	10
23	10
24	10
25	10
26	11
27	12
28	12
29	12

2. Schritt: Fehlende Kennwerte ermitteln und in die Rangliste eintragen

$x_{\,\text{min}_2}= 2 \,\text{Punkte}$

$x_{\,\text{max}_2}= 12 \,\text{Punkte}$

$q_{u_2}: n_2 \cdot 0,25 = 29 \cdot 0,25 = 7,25 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $q_{u_2}= 6 \,\text{Punkte}$

$z_2: n_{o_2} \cdot 0,5 = 29 \cdot 0,5 = 14,5 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $z_2=7 \,\text{Punkte}$

$q_{o_2}: n \cdot 0,75 = 29 \cdot 0,75 = 21,75 \notin \mathbb{Z}$
Daraus folgt $q_{o_2}= 10 \,\text{Punkte}$ in (2) Boxplot ablesen und an Rangplatz 22 eintragen

Für die Rangplätze 19, 20 und 21 kann die Punktzahl 9 oder 10 eingetragen werden.

Für die Rangplätze 23, 24 und 25 muss die Punktzahl 10 eingetragen werden.

3. Schritt: Mögliche Lösung in das Diagramm einzeichnen

Lösung 16

Boxplot vervollständigen

1. Schritt: Rangliste der Preise der Frauenschuhe erstellen

Rang	Preis (€)
1	30
2	30
3	50
4	60
5	70
6	70
7	80
8	90
9	90
10	100
11	120
12	140
13	140
14	150
15	160
16	180
17	200

2. Schritt: Kennwerte ermitteln

$x_{\text{min}}=30\,€$
$n \cdot 0,25 = 17 \cdot 0,25 = 4,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{u}=x_5=70\,€$
$n \cdot 0,5 = 17 \cdot 0,5 = 8,5 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow z=x_9=90\,€$
$n \cdot 0,75 = 17 \cdot 0,75 = 12,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{o}=x_{13}=140\,€$
$x_{\text{max}}=200\,€$

3. Schritt: Boxplot vervollständigen

Passende Werte ergänzen

1. Schritt: Kennwerte mithilfe des Boxplots der Männer ermitteln

$x_\text{min}=30\,€$
$q_\text{u}=50\,€$
$z=70\,€$
$q_\text{o}=120\,€$
$x_\text{max}=170\,€$

2. Schritt: Rangplätze der Kennwerte ermitteln

$x_\text{min}=x_1$
$x_\text{max}=x_{13}$
$q_{u}=n \cdot 0,25 = 13 \cdot 0,25 = 3,25 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{u}=x_4$
$z=n \cdot 0,5 = 13 \cdot 0,5 = 6,5 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow z=x_7$
$q_{o}=n \cdot 0,75 = 13 \cdot 0,75 = 9,75 \notin \mathbb{Z}$
$\Rightarrow q_{o}=x_{10}$

3. Schritt: Kennwerte in die Rangliste eintragen

Rang	Preis (€)
1	30
2	30
3
4	50
5	50
6	50
7	70
8
9
10	120
11	120
12	140
13	170

4. Schritt: Rangliste vollständig ergänzen

Für $x_3$ gilt: $30\leq x_3\leq50$
Für $x_8$ und $x_9$ gilt: $70\leq x_8\leq x_9\leq120$

Eine mögliche Lösung:

Rang	Preis (€)
1	30
2	30
3	40
4	50
5	50
6	50
7	70
8	80
9	100
10	120
11	120
12	140
13	170

Lösung 17

Um wie viel Prozent wird die Bevölkerungszahl von Europa im Zeitraum von 2014 bis 2050 voraussichtlich sinken?

Voraussichtlichen Bevölkerungsrückgang als absolute Zahl berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=& 741 \text{ Mio.} - 726 \text{ Mio.}& \\[5pt] W&=& \underline{ 15\text{ Mio.}} \end{array}$

Prozentwert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=&G\cdot p\,\% &\quad \scriptsize \mid\;:G \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W}{G} & \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{15\text{ Mio.}}{741\text{ Mio.}} & \\[5pt] p\,\%&=&\underline{\underline{ 2,0\,\%}} & \\[5pt] \end{array}$

Die Bevölkerungszahl von Europa wird von 2014 bis zum Jahr 2050 um ungefähr $2,0\,\%$ sinken.

Wie hoch ist die zu erwartende Bevölkerungszahl in Afrika im Jahr 2017?

Formel: $A_{2017}=A_{2014}\cdot {q_A}^3$

$q_A$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} q_A&=& 1+\dfrac{p}{100} \\[5pt] &=& 1+\dfrac{2,5}{100} \\[5pt] q_A&=& \underline{ 1,025 } \\[5pt] \end{array}$

In die Formel einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} A_{2017}&=& A_{2014}\cdot {q_A}^3 \\[5pt] &=& 1136\text{ Mio.}\cdot 1,025^3 \\[5pt] &=& 1\,223,35\text{ Mio.}\\[5pt] A_{2017}&=& \underline{\underline{ 1\,223,4\text{ Mio.}}}\\[5pt] \end{array}$

Die zu erwartende Bevölkerungszahl in Afrika im Jahr 2017 liegt bei $1\,223,4\text{ Mio.}$

Stimmt die Aussage?

Alle Bevölkerungszahlen für das Jahr 2050 addieren

$726 +5252+1217+2428+60=9683$

Anteil berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{2428\,\text{Mio.}}{9683\,\text{Mio.}}&\\[5pt] &=& 0,251 &\\[5pt] x&=& \underline{\underline{ 25,1\,\%}} &\\[5pt] \end{array}$

Ja, die Aussage stimmt. Im Jahr 2050 werden ungefähr $25,1\,\%$ der Weltbevölkerung afrikanisch sein.

Lösung 18

Um wie viel Prozent ist der Wert der Aktie von 2010 bis 2013 insgesamt angestiegen?

1. Schritt: Wertveränderung $\boldsymbol{W}$ im gegebenen Zeitraum der Aktie berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=& W_{2013}-W_{2010}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 52,00\,€\,-31,98\,€\,&\quad \scriptsize \\[5pt] W&=& \underline{ 20,02\,€\,} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{W}$ in die Prozentwertformel einsetzen

Rechenweg anzeigen

$a= 0,626$

Dies entspricht einem Wertanstieg der Aktie um $\underline{\underline{ 62,6\,\%}}$ .

Wert der Aktie zum Ende des Jahres 2014 berechnen

Der prozentuale Wertanstieg $r$ der Aktie im Jahr 2014 sowie der Wert $W_{2013}$ der Aktie zum Jahresende 2013 sind bekannt. $W_{2014}$ kann also über die Prozentwertformel berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$W_{2014}= 60,01\,€$

Welchen jährlich gleichbleibenden Zinssatz hätte eine Bank bieten müssen, um von 2009 bis 2013 den gleichen Wertzuwachs zu erzielen?

1. Schritt: Wertveränderung $\boldsymbol{W}$ im gegebenen Zeitraum berechnen

$\begin{array}[t]{rll} W&=& W_{2013}-W_{2009} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 52,00\,€-39,67\,€ &\quad \scriptsize \\[5pt] W&=&\underline{ 12,33\,€} \end{array}$

2. Schritt: Prozentuale Wertveränderung $\boldsymbol{r}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$r = 0,31$

3. Schritt: Bankzins berechnen

Die Wertveränderung $(31\,\% )$ sowie die Dauer von 4 Jahren sind nun bekannt. Damit kann der Bankzins $x$ mit Hilfe des Zinseszins berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} (1+x)^4&=&(1+r) \\[5pt] (1+x)^4&=&1,31 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] 1+x &=& \sqrt[4]{1,31} \quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&= &0,07 \end{array}$

Das heißt, die Bank müsste einen jährlichen Zinssatz von $\underline{\underline{ 7\,\%}}$ festlegen, um von 2009-2013 den gleichen Wertzuwachs wie die Aktie zu erzielen.

Lösung 19

Zu welcher Klasse gehört der jeweilige Boxplot?

Die Boxplots unterscheiden sich nur im unteren Quartil. Zum Berechnen braucht man die Formel des unteren Quartils $q_u=x_{0,25\cdot (n+1)}.$

1. Schritt: $\boldsymbol{q_u}$ der Klasse 10b berechnen

Die Anzahl der Schüler $n$ kann man berechnen, indem man sich eine Liste aller Ergebnisse erstellt und zählt, wie viele es insgesamt gibt.

$1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,$ $4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,7,7,7$

Es gibt in der Klasse 10b also 25 Schüler.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} q_u&=& x_{0,25\cdot (n+1)}\quad \scriptsize \mid\; n=25\\[5pt] q_u&=& x_{0,25\cdot (25+1)}&\quad \scriptsize \\[5pt] q_u&=& x_{6,5} \end{array}$

Da 6,5 keine ganze Zahl ist, muss sie auf 7 aufgerundet werden.

2. Schritt: $\boldsymbol{q_u}$ auf die Liste anwenden

$q_u=x_7$ bedeutet, dass sich das untere Quartil auf der Stelle 7 der Liste befindet. Abzählen zeigt also, dass $q_u=x_7=3$

Der Boxplot (2) gehört zur Klasse 10b und folglich gehört der Boxplot (1) zur Klasse 10a .

Wie viel Prozent der Schüler der Klasse 10a haben fünf oder mehr Punkte?

1. Schritt: Anzahl $\boldsymbol{A}$ der Schüler berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 3+5+6+4+5+3+3&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=& \underline{ 29} \end{array}$

2. Schritt: Anzahl $\boldsymbol{S}$ der Schüler mit 5 oder mehr Punkten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} S&=& 5+3+3 &\quad \scriptsize \\[5pt] S&=& \underline{ 11} \end{array}$

3. Schritt: Prozentualen Anteil $\boldsymbol{p}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$p=0,379$

5 oder mehr Punkte haben also ungefähr $\underline{\underline{ 37,9\,\%}}$ der Schüler der Klasse 10a erreicht.

Durchschnittliche Punktzahl der Klasse 10b berechnen

Mit Hilfe der Formel des arithmetischen Mittels $D$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$D=3,76$

Die Aussage ist also falsch , da es nicht genau 4 Punkte sind.