Funktionen und Gleichungen

Aufgabe 2

Löse die Gleichung.

$(x-3)(1+x)-(x-4)^2=x(x-3)-1$

(3 P)

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2)}\quad&3y&=&\dfrac{x-5}{2} \end{array}$

(3 P)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Ausschnitt einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel $p.$

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel $p.$ Entnimm dazu geeignete Werte aus der Zeichnung.

Eine Gerade $g$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $T(0\mid 2)$ und hat die Steigung $m=-2$ .

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $B$ der Parabel und der Geraden.

(3 P)

Aufgabe 5

Löse die Gleichung.

$(x+2)(x-4)-x=2(x-3)^{2}-12$

(3 P)

Aufgabe 6

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer verschobenen Normalparabel $p.$

realschule baden-württemberg mathe pflichtteil a2

Bestimme die Funktionsgleichung von $p.$

Die Wertetabelle gehört zur Parabel $p.$

$x$	-3	-2	-1	0
$y$

Ergänze die fehlenden $y$ -Werte in der Wertetabelle.

Die Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $y=-2x+2$ schneidet die Parabel $p$ in den Punkten $A$ und $B.$

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte $A$ und $B.$

(3,5 P)

Aufgabe 7

Die Parabel $p$ hat die Funktionsgleichung $y=x^2-6x+10.$
Eine Gerade $g$ besitzt die Steigung $m=-2.$
Sie geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Parabel $p.$

Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $Q$ der Parabel $p$ mit der Geraden $g.$

Die Gerade $h$ verläuft senkrecht zur Geraden $g$ und geht durch den Punkt $Q.$

Berechne die Funktionsgleichung der Geraden $h.$

(3 P)

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 8

Eine Parabel $p$ ist mit der Funktionsgleichung $p:y=x^2-6x+5$ gegeben.

Bestimme den Scheitelpunkt und zeichne die Parabel in ein Koordinatensystem.

Die beiden Schnittpunkte der Parabel mit der $x$ -Achse und der Scheitelpunkt bilden ein Dreieck.

Berechne den Umfang des Dreiecks.

(3 P)

Musterprüfung 1

Aufgabe 9

Eine nach oben geöffnete Normalparabel $p$ hat die Funktionsgleichung $p:y=x^2-8x+4$ mit dem Scheitelpunkt $S.$ Der Punkt $A(2\mid y_p)$ liegt auf der Parabel $p.$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{AS}.$

(3 P)

Musterprüfung 2

Aufgabe 10

Löse die Gleichung:

$(2x+1)^2 -3(x+4)$ $=(x-1)(2x+1)+2$

(3,5 P)

Aufgabe 11

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen und drei Graphen.

(1) $y=\dfrac{1}{2}x+3$

(2) $y=x^{2}+4x+3$

(3) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+3$

(4) $y=x^{2}-4x+3$

(5) $y=-\dfrac{1}{2}x+3$

Graph mit mehreren Funktionen, einschließlich einer Parabel und einer Geraden auf einem Koordinatensystem.

Ordne jedem Graphen die zugehörige Funktionsgleichung zu.
Begründe deine Entscheidung.

Zeichne die beiden fehlenden Graphen in das Koordinatensystem ein.

(4 P)

Aufgabe 12

Löse das Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} (1)\quad&\dfrac{x+2}{4} -y &=& 6 \\ (2)\quad& 7-(x-2y) &=& y \\ \end{array}$

(3,5 P)

Aufgabe 13

Gegeben sind eine Wertetabelle, die Graphen von zwei verschobenen Normalparabeln und drei Funktionsgleichungen.

$x$	$y$
$0$	$5$
$1$	$0$
$2$	$-3$
$3$	$-4$

$\begin{array}{lrll} (A)\quad&y&=& x^2-6x +5 \\ (B)\quad&y&=& x^2-2x +5 \\ (C)\quad&y&=& x^2+4x+5 \\ \end{array}$

Grafik mit zwei Funktionen in einem Koordinatensystem, dargestellt durch grüne und schwarze Kurven.

Zur Wertetabelle gehören einer der beiden Graphen sowie eine der drei Funktionsgleichungen.

Ordne der Wertetabelle ihren Graphen und ihre Funktionsgleichung zu. Begünde deine Entscheidung.

Im Schaubild fehlt der Graph $p_3$ der dritten Parabel. Zeichne den fehlenden Graphen $p_{3}$ in das Koordinatensystem ein.

(4 P)

Aufgabe 14

Gib die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung an:

$\dfrac{4}{x} + \dfrac{2x-2}{x+2} = \dfrac{3x^2}{x^2+2x}$

(3,5 P)

Aufgabe 15

Zu einer verschobenen, nach oben geöffneten Normalparabel $p$ gehört die teilweise ausgefüllte Wertetabelle.

$x$	$y$
$0$	$5$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$	$5$

Gib die Funktionsgleichung der Parabel $p$ an.
Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.
Durch den Schnittpunkt $R$ der Parabel $p$ mit der $y$ -Achse und den Scheitelpunkt $S$ verläuft die Gerade $g.$
Berechne die Steigung $m$ der Geraden $g.$

(4 P)

Aufgabe 16

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer verschobenen Normalparapel $p$ .

Graph einer Funktion mit x- und y-Achse, zeigt eine parabolische Kurve und eine Linie.

Die Gerade $g$ mit der Gleichung $y= 3x + b$ geht durch den Scheitelpunkt $S$ der Parabel $p$ .

Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes $Q$ von $p$ und $g$ .

(3,5 P)

Aufgabe 17

Löse die Gleichung:

$(2x-1)(2x+1)-x(x-2)=(x-5)^2+6$

(3,5 P)

Aufgabe 18

Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der Gleichung an:

$\hspace{.5cm}\dfrac{x+3}{x}$ $=\dfrac{9}{x^2-3x}-\dfrac{3}{x-3}$

(3,5 P)

Aufgabe 19

Die Parabel $p$ hat die Gleichung $y = x^2 - 6x + 10,5.$
Eine Gerade $g$ mit der Steigung $m = 2$ geht durch den Scheitelpunkt der Parabel $p$ .

Berechne die Koordianten des zweiten Schnittpunkts $Q$ der Parabel $p$ und der Geraden $g$ .

(3,5 P)

Aufgabe 20

Das Schaubild zeigt die Ausschnitte von vier Parabeln.

$x$	0	1	2	3
$y$	1	0	-3	-8

Welcher Graph gehört zur angegebenen Wertetabelle?
Begründe deine Entscheidung.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes $Q$ der beiden verschobenen Normalparabeln $p_1$ und $p_2$ .

Wie heißt die Gleichung der Parabel $p_4$ ?
Entnimm dazu erforderliche Werte dem Schaubild.

(4 P)

Aufgabe 21

Löse das Gleichungssystem:

(1)	$\quad \dfrac{x-4y}{3}=4$
(2)	$3(2x+y)-17=\dfrac{x-2}{2}$

(3 P)

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Lösung 1

Graphen zu Funktionsgleichungen zuordnen

$(A)\rightarrow p_3:$
Der Graph der Funktion ist nach unten geöffnet.

$(B)\rightarrow p_2:$
Der Graph der Funktion ist um drei Einheiten nach rechts und um vier nach unten verschoben. Für $e=-4$ lässt sich der Scheitelpunkt direkt aus der Scheitelpunktform ablesen.

$(C)\rightarrow p_1:$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+4x+5 \\[5pt] &=& x^2+4x+4-4+5 \\[5pt] &=& (x+2)^2+1 \end{array}$

Es lässt sich der zur Parabel $p_1$ passende Scheitelpunkt $S(-2\mid 1)$ ablesen.

Wert $\boldsymbol{e}$ bestimmen

Die Parabel ist um vier Einheiten nach unten verschoben. Daher gilt $\underline{\underline{e=-4}}.$

Funktionsgleichung der Geraden bestimmen

$S_2(3\mid -4)\quad P(0\mid 2)$

Steigung $m$ berechnen:

$m=\dfrac{-4-2}{3-0}=-2$

Aus den Koordinaten des Punktes $P(0\mid 2)$ lässt sich direkt der $y$ -Achsenabschnitt $c=2$ ablesen.

Damit ergibt sich insgesamt:

$\underline{\underline{g:y=-2x+2}}$

Lösung 2

Rechenweg anzeigen

$0= x^2-9x+18$

Mit der pq-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-18} \\[5pt] &=& 4,5\pm 1,5 \end{array}$

$\underline{\underline{x_1=6}}\quad \underline{\underline{x_2=3}}$

Lösung 3

Einsetzungsverfahren

$\(\begin{array}{lrll} \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2)}\quad&3y&=&\dfrac{x-5}{2}\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2\\ \hline \text{(1)}\quad&3(x-y)&=&y+8\\ \text{(2$

Einsetzen von (2'') in (1):

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot (6y+5-y)&=&y+8 \\[5pt] 15y+15&=&y+8 &\quad \scriptsize \mid\;-y-15\\[5pt] 14y&=&-7&\quad \scriptsize \mid\;:14\\[5pt] y&=&\underline{\underline{-\dfrac{1}{2}}} \end{array}$

Einsetzen von $y=-\dfrac{1}{2}$ in (2''):

$x=6\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)+5=\underline{\underline{2}}$

$L=\left\{\left(2;-\dfrac{1}{2}\right)\right\}$

Lösung 4

Funktionsgleichung bestimmen

Aus der Zeichnung lassen sich die Schnittpunkte von $p$ mit der $x$ -Achse ablesen: $S_1(1\mid 0),$ $S_2(7\mid 0).$ Daraus folgt für den Scheitelpunkt:

Die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei $x=4.$

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts liegt bei $y=-3^2=-9.$

$p:y=(x-4)^2-9$

Koordinaten berechnen

Geradengleichung aufstellen:

$g:y=-2x+c$

$T(0\mid 2)$ in $g:$

$2=-2\cdot 0+c,$ also $c=2$

$g:y=-2x+2$

Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} (x-4)^2-9&=&-2x+2\\[5pt] x^2-8x+16-9&=&-2x+2 \quad \scriptsize \mid\;+2x-2 \\[5pt] x^2-6x+5&=&0\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3 \pm 2 \\[5pt] \end{array}$

$x_1=5,$ $x_2=1$

$x_1=5$ in $g:$

$y=-2\cdot 5+2=-8$

$x_2=1$ in $g:$

$y=-2\cdot 1+2=0$

$\underline{\underline{A(5\mid -8)}},$ $\underline{\underline{B(1\mid 0)}}$

Lösung 5

Rechenweg anzeigen

$x^2-9x+14=0$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-14}\\[5pt] x_{1,2}&=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{9}{2}+\dfrac{5}{2}=7 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{9}{2}-\dfrac{5}{2}=2 \end{array}$

$\underline{\underline{ L=\{7;2\}}}$

Lösung 6

Funktionsgleichung von $p$ bestimmen

Graphische Lösung mit der Symmetrieachse

Durch Abzählen ergeben sich $3 \,\text{LE}$ bis zur Symmetrieachse
Somit gilt: $3^2=9 \,\text{LE}$ bis zum Scheitelpunkt

Für den Scheitelpunkt gilt also: $S(4|-9)$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p: y=(x-4)^2-9}}$ in Scheitelpunktform

Rechnerische Lösung mit einem LGS

1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen

Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel: $p: y=x^2+bx+c$

2. Schritt: LGS mit $N_1(1|0)$ und $N_2(7|0)$ aufstellen

$\begin{array}{lrll} (1)&0&=& 1^2 + b\cdot 1+c \\ (2)&0&=& 7^2+b\cdot 7+c \\ \hline (2)-(1) &0&=& 48+6b \quad \mid\; -6b\\ &-6b&=& 48 \quad \mid\; :(-6b)\\ &b&=& -8 \\ \end{array}$

3. Schritt: $b=-8$ in (1) einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 1+(-8)\cdot 1+c \\[5pt] 0&=&-7+c&\quad \mid\;+7 \\[5pt] c&=&7 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{\underline{ p: y=x^2-8x+7}}$ in Normalform

Fehlende $\boldsymbol{y}$ -Werte in der Wertetabelle ergänzen

1. Rechnung: $x=-3$ in $p$ einsetzen

$y=(-3)^2-8\cdot (-3)+7=40$

2. Rechnung: $x=-2$ in $p$ einsetzen

$y=(-2)^2-8\cdot (-2)+7=27$

3. Rechnung: $x=-1$ in $p$ einsetzen

$y=(-1)^2-8\cdot (-1)+7=16$

4. Rechnung: $x=0$ in $p$ einsetzen

$y=0^2-8\cdot 0+7=7$

$x$	-3	-2	-1	0
$y$	40	27	16	7

Koordinaten der Schnittpunkte berechnen

1. Schritt: $x$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} (x-4)^2-9&=&-2x+2 \\[5pt] x^2-8x+16-9&=&-2x+2 \\[5pt] x^2-6x+5&=&0& \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5}& \\[5pt] x_{1,2}&=&3\pm\sqrt{4}& \\[5pt] x_1&=&3+2=5& \\[5pt] x_2&=&3-2=1& \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&-2\cdot 5+2 \\[5pt] y_1&=&-8 \end{array}$

$\underline{\underline{ A(5|-8)}}$

$\begin{array}[t]{rll} y_2&=&-2\cdot 1+2 \\[5pt] y_2&=&0 \end{array}$

$\underline{\underline{ B(1|0)}}$

Lösung 7

Koordinaten des zweiten Schnittpunkts $\boldsymbol{Q}$ der Parabel $\boldsymbol{p}$ mit der Geraden $\boldsymbol{g}$ berechnen.

1. Schritt: Scheitelpunkt mit der quadratischen Ergänzung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+10 \\[5pt] &=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+10 \\[5pt] &=& (x-3)^2-9+10\\[5pt] &=& (x-3)^2+1 \end{array}$

Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen mit $\underline{ S(3\mid 1)}.$

2. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol g$ aufstellen

$g:y=-2x+c$

$S$ in $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 1&=& -2\cdot 3+c &\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=& -6+c \quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 7&=& c \\ c&=& 7 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{ g:y=-2x+7}$

3. Schritt: Schnittpunkte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} -2x+7&=&x^2-6x+10 \quad \scriptsize \mid\;+2x-7 \\[5pt] 0&=&x^2-4x+3 \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2 \pm \sqrt{(-2)^2-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5pt] x_{1/2}&=& 2\pm 1 \\[5pt] x_1&=& 2+1=3 \\[5pt] x_2&=& 2-1=1 \end{array}$

$x_2=1$ in $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -2\cdot 1+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Somit folgt für den zweiten Schnittpunkt: $\underline{\underline{ Q(1\mid 5)}}.$

Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{h}$ berechnen

1. Schritt: Steigung $\boldsymbol{m_h}$ der Geraden $\boldsymbol h$ bestimmen

$m_h=-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{-2}=\dfrac{1}{2}$

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$h:y=\dfrac{1}{2}x+c$

$Q$ in $h$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1+c \quad \scriptsize \\[5pt] 5&=& 0,5+c \quad \scriptsize \mid\; -0,5\\[5pt] 4,5&=& c\\ c&=& 4,5 \end{array}$

Somit lautet die Funktionsgleichung $\underline{\underline{ h:y=\dfrac{1}{2}x+4,5}}.$

Abschlussprüfung 2021

Lösung 8

Scheitelpunkt mit der quadratischen Ergänzung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x-3)^2-4 \end{array}$

$\underline{\underline{ S(3\mid -4)}}$

Parabel zeichnen

realschulprüfung musterprüfung baden-württemberg

Umfang des Dreiecks berechnen

Schnittpunkte von $p$ mit der $x$ -Achse berechnen

$x^2-6x+5=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] x_{1,2}&=& 3\pm 2 \\[5pt] x_1&=& 1 \Rightarrow A(1\mid 0)\\[5pt] x_2&=& 5 \Rightarrow B(5\mid 0) \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AS}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AS}^2&=& (2\,\text{LE})^2+(4\,\text{LE})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AS}&=& \sqrt{(4\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \overline{AS}&=& 4,47\,\text{LE} \end{array}$

Umfang des Dreiecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& 4\,\text{cm}+2\cdot 4,47\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] u&=& \underline{\underline{ 12,94\,\text{cm}}} \end{array}$

Musterprüfung 1

Lösung 9

1. Schritt: Scheitelpunkt über die Scheitelpunktform ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-8x+4& \\[5pt] y&=&x^2-8\cdot x+4\quad \scriptsize \mid\ \,\text{quadr. Ergänzung} \\[5pt] y&=&x^2-8\cdot x+16-16+4 \\[5pt] y&=&(x-4)^2-16+4 \\[5pt] y&=&(x-4)^2-12 \\[5pt] \end{array}$

$\underline{ {S}(4\mid-12)}$

2. Schritt: Fehlende $y$ -Koordinate von Punkt $A$ berechnen

$A$ in $p$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2^2-8\cdot 2+4 \\[5pt] y&=&4-16+4 \\[5pt] y&=&-8 \\[5pt] \end{array}$

$\underline{ {A}(2\mid-8)}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ berechnen

$S(x\mid y)$ und $A(x_p\mid y_p)$

$\begin{array}[t]{rll} {\overline{AS}}&=&\sqrt{(x-x_p)^2+(y-y_p)^2} & \\[5pt] &=&\sqrt{(4-2)^2+(-12-(-8))^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2^2+(-4)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{4+16} \\[5pt] &=&\sqrt{20} \\[5pt] {\overline{AS}}&=&\underline{\underline{ 4,5}} \\[5pt] \end{array}$

Der Abstand beträgt $4,5\,\text{LE}.$

Musterprüfung 2

Lösung 10

Rechenweg anzeigen

$\underline{\underline{ \mathbb{L}={\{-3;2\}}}}$

Lösung 11

Graphen zuordnen

(1)

$y=\dfrac{1}{2}x+3$ $\rightarrow$ kein passender Graph

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Gerade mit positiver Steigung $m=\frac{1}{2}$ und dem $y$ -Achsenabschnitt $3.$

Da es keine steigende Gerade gibt, kann die Funktionsgleichung keinem Graphen zugeordnet werden. Der Graph muss neu eingezeichnet werden.

(2)

$y=x^2+4x+3$ $\rightarrow$ kein passender Graph

Umformung mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+4x+3 \\[5pt] y&=&x^2+2\cdot 2x+3 \\[5pt] y &=&x^2+2\cdot 2x+2^2-2^2+3 \\[5pt] y &=&(x+2)^2-1 \end{array}$

Der zugehörige Graph besitzt den Scheitelpunkt $S(-2\mid-1).$

Da es keinen Graphen mit diesem Scheitelpunkt gibt, muss der Graph dieser Funktion neu eingezeichnet werden.

(3)

$y=\dfrac{1}{2}x^2+3$ $\rightarrow$ $p_2$

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Parabel, die durch ihren $y$ -Achsenabschnitt um $3$ Einheiten nach oben verschoben ist, mit dem Faktor $a=\frac{1}{2}$ gestaucht wurde und den Scheitelpunkt $S(0\mid3)$ besitzt.

Diese Eigenschaften treffen auf den Graphen $p_2$ zu.

(4)

$y=x^2-4x+3$ $\rightarrow$ $p_1$

Umformung mit quadratischer Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-4x+3 \\[5pt] y &=&x^2-2\cdot 2x+3 \\[5pt] y &=&x^2-2\cdot 2x+2^2-2^2+3 \\[5pt] y &=&(x-2)^2-1 \end{array}$

Der Graph besitzt den Scheitelpunkt $S(2\mid-1)$ .

Deshalb kann die Funktionsgleichung dem Graphen $p_1$ zugeordnet werden.

(5)

$y=-\dfrac{1}{2}x+3$ $\rightarrow$ $g_1$

Die Funktionsgleichung beschreibt eine Gerade mit negativer Steigung $m=-\frac{1}{2}$ und mit dem $y$ -Achsenabschnitt $3$ .

Dies trifft auf den Graphen $g_1$ zu.

Fehlende Graphen einzeichnen

Grafische Darstellung von Funktionen in einem Koordinatensystem mit Achsen und verschiedenen Kurven.

Lösung 12

1. Schritt: $(1)$ nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x+2}{4}-y&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\,4 \\[5pt] x+2-4y&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \mid\; +4y \\[5pt] x&=& 22 + 4y \end{array}$

2. Schritt: $(2)$ nach $\boldsymbol{y}$ auflösen

$\begin{array}[t]{rll} 7-(x-2y)&=& y \\[5pt] 7-x+2y&=& y &\quad \scriptsize \mid\; -2y \\[5pt] 7-x&=& -y&\quad \scriptsize \mid\; \cdot\,(-1)\\[5pt] y&=& -7+x \end{array}$

3. Schritt: $(1)$ in $(2)$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -7+(22+4y) \\[5pt] y&=& 15 + 4y &\quad \scriptsize \mid\;\, -4y \\[5pt] -3y&=&15 &\quad \scriptsize \mid\; \,\cdot\,(-1)\\[5pt] 3y&=&-15 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] y&=& -5 \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{y=-5}$ in $\boldsymbol{(2)}$ einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} -5&=& -7+x&\quad \scriptsize \mid\;+7 \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

$\underline{\underline{ \mathbb L=\{2;-5\}}}$

Lösung 13

Wertetabelle, Graph und Funktionsgleichung zuordnen

In der Wertetabelle ist das Wertepaar $(1|0)$ angegeben. Der Punkt $(1|0)$ liegt auf dem Graphen $p_2.$ Also gehört die Wertetabelle zum Graphen $p_2.$

Punkt $(1|0)$ in die drei Gleichungen einsetzen:

$\begin{array}[t]{rrl} (A)& 0 &=& 1^2-6\cdot 1+5 \\[5pt] & 0 &=& 1-6+5 \\[5pt] &0&=& 0 \\[5pt] (B)&0&=& 1^2-2\cdot 1+5 \\[5pt] &0&=& 1-2+5 \\[5pt] &0&\neq& 4 \\[5pt] (C)& 0 &=& 1^2+4\cdot 1+5 \\[5pt] & 0 &=& 1+4+5 \\[5pt] &0&\neq& 10 \\[5pt] \end{array}$

Die Funktionsgleichung $(A)$ gehört somit zur Wertetabelle und zu $p_2.$

Fehlenden Graph $\boldsymbol{p_3}$ einzeichnen

Gehört Funktionsgleichung $(B)$ oder Funktionsgleichung $(C)$ zu $p_3$ ?

$(B)$ mit quadratischer Ergänzung überprüfen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2 -2x + 5 \\[5pt] &=& x^2-2x+\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{2}{2}\right)^2+5 \\[5pt] &=& x^2-2x+1^2-1^2+5 \\[5pt] y&=& (x-1)^2+4\\[5pt] \end{array}$

$(B)$ mit Scheitelpunkt $S_B(1|4)$ passt also nicht zu $p_1$ mit Scheitelpunkt $S_{p_1}(-2|1).$

Also gilt:
Die Funktionsgleichung $(B)$ gehört zum fehlenden Graphen $p_3.$

Infos zum Einzeichnen von Graph $p_3:$

$y=(x-1)^2+4$
Verschobene Normalparabel
Nach oben geöffnet
Scheitelpunkt $S_B(1|4)$

Graph mit drei Kurven und Achsenbeschriftungen in einem Koordinatensystem.

Lösung 14

Definitionsmenge bestimmen

Einschränkung: Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein.

Der erste Nenner $x$ ist für $x=0$ gleich Null
Der zweite Nenner $x+2$ ist für $x=-2$ gleich Null
Für den dritten Nenner gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x&=& 0\\[5pt] x\cdot (x+2)&=& 0 \end{array}$
Daraus folgt: $x=0$ und $(x+2)=0$
$\begin{array}[t]{rll} x+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&=& -2 \end{array}$

Für $x=0$ und $x=-2$ wird mindestens einer der Nenner gleich Null.

Daraus folgt also $\underline{\underline{ \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \{-2;0\}}}.$

Lösungsmenge bestimmen

Gemeinsamen Hauptnenner für alle Brüche bestimmen:
Es gilt $x^2+2x = x\cdot (x+2).$ Ein möglicher Hauptnenner ist also $x\cdot(x+2).$

Multiplikation mit dem Hauptnenner:

Rechenweg anzeigen

$x_1=-2 \quad x_2=4$

Da $x=-2$ aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist, ist dieser Wert kein Teil der Lösungsmenge.

$\underline{\underline{ \mathbb{L} = \{4\}}}$

Lösung 15

Funktionsgleichung $\boldsymbol{p}$ ermitteln

$x$ -Koordinate des Scheitelpunkts bestimmen

Funktionsform für eine nach oben geöffnete Normalparabel: $y= (x-x_S)^2 + y_S$

Dabei sind $(x_S\mid y_S)$ die Koordinaten des Scheitelpunkts.

Da eine Normalparabel achsensymmetrisch ist, kann man mit den Werten $x=0$ und $x=6,$ die den gleichen Funktionswert besitzen, die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes berechnen. Dieser muss genau in der Mitte der beiden Werte liegen.

Es ist also $x_S=3.$

$y= (x-3)^2 +y_S$

$y$ -Koordinate des Scheitelpunkts berechnen

$R(0\mid 5)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& (x-3)^2 + y_S \\[5pt] 5&=& (0-3)^2 + y_S \\[5pt] 5&=& 9+y_S \quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt] -4&=& y_S \end{array}$

Die Funktionsgleichung der Parabel $p$ lautet also:

$\underline{\underline{ p:y= (x-3)^2 -4}}$

Tabelle ergänzen

Durch Einsetzen der gegebenen $x$ -Werte in die Funktionsgleichung und durch Nutzung der Achsensymmetrie ergibt sich:

$x$	$y$
$0$	$5$
$1$	$0$
$2$	$-3$
$3$	$-4$
$4$	$-3$
$5$	$0$
$6$	$5$

Steigung der Geraden berechnen

Die Parabel $p$ hat an der Stelle $x=0$ den Funktionswert $y=5.$ Sie schneidet die $y$ -Achse also im Punkt $R(0\mid 5).$ Die Koordinaten des Scheitelpunkts sind $S(3\mid -4).$

$\begin{array}[t]{rll} m &=& \dfrac{y_S -y_P}{x_S-x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{-4-5}{3-0} \\[5pt] &=& \dfrac{-9}{3} \\[5pt] m&=& -3 \\[5pt] \end{array}$

Die Steigung der Geraden $g$ beträgt $\underline{\underline{ m=-3}}.$

Lösung 16

1. Schritt: Scheitelpunktform der verschobenen Normalparabel $\boldsymbol{p}$ bestimmen

Scheitelpunktform: $p:y=(x-d)^2+b$

Die $x$ -Koordinate des gesuchten Scheitelpunkts lässt sich ablesen, da sie in der Mitte der Punkte $P_1(-3|0)$ und $P_2(1|0)$ liegt.
Somit ist $d=-1.$

Koordinaten des Punktes $P_1$ in die vorläufige Scheitelpunktform einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&(-3+1)^2+b \\[5pt] 0&=&4+b &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] b&=&-4 \\[5pt] \end{array}$

Damit folgt:

Scheitelpunktform: $\underline{p:y=(x+1)^2-4}$
Koordinaten des Scheitelpunkts: $\underline{S(-1|-4)}$

2. Schritt: Geradengleichung $\boldsymbol{g}$ aufstellen

Scheitelpunkt in die Geradengleichung $g:y=3x+b$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -4&=& 3\cdot (-1)+b \\[5pt] -4&=& -3+b &\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] b&=&-1 \end{array}$

$\underline{ g: y=3x-1}$

3. Schritt: Koordinaten des Schnittpunktes berechnen

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1 =& \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 2 \\[5pt] x_2 =&\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} = -1 \end{array}$

Die $x$ -Koordinate $x_2=-1$ gehört zum Scheitelpunkt $S(-1|-4).$ Somit ist $x_1=2$ die $x$ -Koordinate des zweiten Schnittpunkts $Q.$

$x_1$ in die Geradengleichung $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&3\cdot2-1 \\[5pt] y&=&5 \end{array}$

Die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts sind $\underline{\underline{ Q(2|5)}}$ .

Lösung 17

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 2 \\[5pt] x_2&=& -8 \end{array}$

$\underline{\underline{ L=\{2;-8\}}}$

Lösung 18

1. Hauptnenner bestimmen

$\begin{array}{lrll} \text{Nenner 1:}&&& x \\ \text{Nenner 2:}&x^2-3x&=& x(x-3)& \\ \text{Nenner 3:}&&& x-3& \\ \hline \text{Hauptnenner}&&& \underline{ x(x-3)}& \\ \end{array}$

2. Schritt: Definitionsmenge angeben

$\begin{array}{lrll} \text{Nenner 1:}&&x&=&0\quad \\ \text{Nenner 2:}&\text{Faktor 1:}&x&= &0\quad \\ &\text{Faktor 2:}&x-3&= &0\quad \scriptsize\mid\;+3\\ &&x&= &3\quad \\ \text{Nenner 3:}&&x&=&3\quad \\ \end{array}$

$\underline{\underline{ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{0;3 \}}}$

3. Schritt: Lösungsmenge angeben

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-18)} \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+18} \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}} \\[5pt] x_{1/2}&=&-\dfrac{3}{2}\pm \dfrac{9}{2} \\[5pt] x_1&=&-\dfrac{3}{2}+ \dfrac{9}{2}= \dfrac{6}{2}=3\\[5pt] x_2&=&-\dfrac{3}{2}- \dfrac{9}{2}= -\dfrac{12}{2}=-6 \\[5pt] \end{array}$

$\underline{\underline{ \mathbb{L}=\{-6 \}}}$

$x_1=3$ zählt nicht in die Lösungsmenge, da dies in der Definitionsmenge ausgeschlossen wurde.

Lösung 19

1. Schritt: Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel $\boldsymbol{p}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2-6x+10,5 \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot 3x+10,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+10,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x-3)^2-9+10,5 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (x-3)^2+1,5 \end{array}$

Daraus folgt: $\underline{ S(3\mid 1,5)}$

2. Schritt: Geradengleichung von $\boldsymbol{g}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&mx+c \quad \scriptsize \mid\;-mx \\[5pt] c&=& y-mx \quad \scriptsize \mid\;S(3\mid 1,5), m=2 \\[5pt] c&=&1,5-2\cdot 3& \\[5pt] c&=&-4,5 \end{array}$

Es gilt also $\underline{ g: y=2x-4,5}$

3. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts $\boldsymbol{Q}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} p&=&g \\[5pt] x^2-6x+10,5&=& 2x-4,5 \quad \scriptsize \mid\;-\, 2x\, +4,5 \\[5pt] x^2-8x+15&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Weiter mit der $p,q$ -Formel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-15} \\[5pt] x_{1/2} &=&4\pm \sqrt{16-15} \\[5pt] x_{1/2} &=&4\pm 1 \\[5pt] x_1&=&5 \\[5pt] x_2&=&3 \end{array}$

$x_2=3$ ist die $x$ -Koordinate des bekannten Schnittpunkts $S(3|1,5).$ Deswegen wird $x_2=-4$ in $p_1$ eingesetzt:

$x_1$ in $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2\cdot 5 - 4,5 \\[5pt] y&=& 10-4,5 \\[5pt] y&=& 5,5 \\[5pt] \end{array}$

Somit gilt: $\underline{\underline{ Q(5\mid 5,5)}}$

Lösung 20

Welcher Graph gehört zur angegebenen Wertetabelle?

Durch die Punktprobe können die verschiedenen Werte geprüft werden:

Punkt $(0\mid1)$ : Da nur die Parabeln $p_3$ und $p_4$ durch diesen Punkt verlaufen, können die anderen beiden Parabeln ausgeschlossen werden.

Punkt $(1\mid0)$ : Nur Parabel $p_3$ verläuft durch diesen Punkt. Die gegebene Wertetabelle gehört also zur Parabel $\boldsymbol {p_3}$ .

Koordinaten des Schnittpunkts $\boldsymbol{Q}$ berechnen

1. Schritt: Scheitelpunktform von $p_1$ erstellen

Der Scheitelpunkt $S_1(6\mid 4)$ kann direkt von der Abbildung abgelesen werden. Da es sich um eine Normalparabel handelt, kann die Scheitelpunktform erstellt werden:

$\underline{ p_1:y=(x-6)^2+4}$

2. Schritt: Scheitelpunktform von $p_2$ erstellen

Der Scheitelpunkt kann nicht abgelesen werde, jedoch sind die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=6$ bekannt. Die $x$ - Koordinate des Scheitelpunkts von $p_2$ muss also bei $x=4$ liegen.
Es gilt also:

$p_2:y=(x-4)^2+c$

Mit der Punktprobe des Punkts $(2\mid 0)$ kann die Unbekannte $c$ ermittelt werden:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x-4)^2+c &\quad \scriptsize \mid\; (2\mid 0)\\[5pt] 0&=&(2-4)^2+c &\quad \scriptsize \mid\; -(2-4)^2\\[5pt] c&=& -(2-4)^2&\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& -4 \end{array}$

Es gilt also:

$\underline{ p_2:y=(x-4)^2-4}$

3. Schritt: Parabelgleichungen gleichsetzen

Rechenweg anzeigen

$x = 7$

4. Schritt: $x=7$ in $p_1$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&(7-6)^2+4 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 5 \end{array}$

Der Schnittpunkt $Q$ hat also die Koordinaten $\underline{\underline{( 7\mid 5)}}.$

Wie heißt die Gleichung der Parabel $\boldsymbol{p_4?}$

Die Gleichung $p_4$ kann über die Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt $S_4(0\mid 1)$ aufgestellt werden. Da es sich aber um keine Normalparabel handelt, hat sie einen Streckungsfaktor $a$ und die Form

$y=a\cdot x^2+1.$

1. Schritt: Streckungsfaktor $a$ berechnen

Punktprobe mit Punkt $(1\mid 1,5):$

$\begin{array}[t]{rll} 1,5&=& a\cdot 1^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] a&=& 0,5 \end{array}$

Somit entsteht folgende Gleichung für $p_4:$

$\underline{\underline{ p_4:y=\dfrac{1}{2}\cdot x^2+1}}$

Lösung 21

1. Schritt: Gleichung (1) nach $\boldsymbol{x}$ auflösen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x-4y}{3}&=&4 \quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] x-4y&=&12 \quad \scriptsize \mid\;+4y \\[5pt] x&=&12+4y \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{x}$ in Gleichung (2) einsetzen und $\boldsymbol{y}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$y=-2$

3. Schritt: $\boldsymbol{y}$ in Gleichung (1) einsetzen und $\boldsymbol{x}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x&=& 12+4y \quad \scriptsize y=-2 \\[5pt] x&=& 12+4\cdot(-2) \quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 4 \end{array}$

Die Lösung des linearen Gleichungssystems lautet:

$\underline{\underline{ \mathbb{L}=\{(4;-2)\}}}$