Funktionen und Gleichungen
Aufgabe 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Parabeln 
und 
sind zwei nach oben geöffnete verschobene Normalparabeln.
Die Parabel hat den Scheitelpunkt 
Die Parabel schneidet die 
-Achse in den Punkten 
und 
verläuft durch den Scheitelpunkt 
und den Punkt 
ist der Scheitelpunkt der Parabel 
und sowie die Gerade schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt.“
Abschlussprüfung 2024
Die Parabel
Die Parabel
- Bestimme die Funktionsgleichungen von
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Berechne die Entfernung zwischen
- Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort rechnerisch.
(5 P)
Aufgabe 2
a)
Die Gerade hat die Funktionsgleichung 
Sie schneidet die-Achse im Punkt 
und die 
-Achse im Punkt 
und 
verläuft die nach oben geöffnete verschobene Normalparabel 
und 
liegen auf der Parabel
Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt
das Dreieck 
Sie schneidet die
- Bestimme die Koordinaten der Punkte
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
und die Koordinaten ihres Scheitelpunktes
Sie bilden zusammen mit dem Scheitelpunkt
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Aufgabe 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit der Form 
geht durch den Punkt 
.
geht auch durch den Punkt 
.
Sie schneidet die-Achse im Punkt 
.
und bilden das Dreieck ABC.
geht durch den Punkt und hat die Steigung 
.
halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks 
"
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
Sie schneidet die
- Bestimme die Koordinaten der Punkte
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
- Gib die Funktionsgleichung von
- Überprüfe diese Aussage und begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5 P)
Aufgabe 4
a)
Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständige Wertetabelle.
hat die Funktionsgleichung 
und geht durch den Punkt 
.
- Bestimme die Funktionsgleichung von
- Vervollständige die Wertetabelle.
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Zeige rechnerisch, dass
- Gib die Funktionsgleichung einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 5
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte der Parabel und der Geraden 
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
.
hat die Funktionsgleichung 
.
bildet mit und 
das Dreieck 
. Ebenso bildet mit und 
das Dreieck 
.
- Bestimme die Funktionsgleichungen von
Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
- Gib die Koordinaten von
an.
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes
- Um wie viele Flächeneinheiten (FE) unterscheiden sich die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke?
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 6
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Gerade hat die Funktionsgleichung 
Die Parabel
hat die Funktionsgleichung 
Die Parabel schneidet die Gerade in den Punkten 
und 
und 
verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel 
und 
ist rechtwinklig.“
Abschlussprüfung 2022
Die Parabel
Die Parabel
- Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte
- Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts
- Hat Robin Recht? Begründe deine Antwort rechnerisch.
(5 P)
Aufgabe 7
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte der verschobenen Normalparabel und der nach unten geöffneten Parabel
verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und 
verläuft senkrecht zu und geht durch den Punkt 
- Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Parabeln. Entnimm dazu geeignete Werte aus dem Schaubild.
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Berechne die Funktionsgleichung von
- Gib die Funktionsgleichung einer weiteren verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel
an, die keine Punkte mit
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 8
a)
Die Parabel hat die Funktionsgleichung 
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
und 
bilden ein Dreieck.
bewegt sich auf der Parabel 
unterhalb der -Achse. Dadurch entsteht der Punkt 
und somit das Dreieck 
Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts
- Berechne die Koordinaten von
- Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
- Für welche Lage von
wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
- Berechne diesen maximalen Flächeninhalt.
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Aufgabe 9
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Punkte 
und 
liegen auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
mit der -Achse und die Punkte und bilden ein Viereck.
und verlaufen jeweils auf den Diagonalen des Vierecks.
Sie schneiden sich im Punkt
- Gib die Funktionsgleichung der Parabel
an.
- Berechne den Flächeninhalt dieses Vierecks.
Sie schneiden sich im Punkt
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes
Aufgabe 10
a)
Der Punkt 
liegt auf der Parabel mit der Funktionsgleichung 
Die Gerade schneidet die Parabel im Punkt und im Scheitelpunkt 
an der -Achse entsteht der Punkt ist der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel
mit der -Achse ist der Scheitelpunkt 
der Parabel 
Die Parabel der Form 
geht außerdem durch die Scheitelpunkte und
- Berechne die Funktionsgleichungen der Parabel
- Gib die Funktionsgleichung von
- Berechne die Funktionsgleichung der Parabel
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Aufgabe 11
a)
Die Gerade und die verschobene Normalparabel gehen durch die beiden Punkte 
und 
Der Punkt
liegt auf der Parabel
Die Gerade steht senkrecht auf und geht durch 
Die Gerade schneidet die beiden Koordinatenachsen in den Punkten und
Berechne die Koordinaten von und
Der Punkt
Die Gerade
Die Gerade
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Aufgabe 12
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Die Funktionsgleichung einer Parabel lautet 
Eine weitere Parabel ist gegeben mit 
Durch die beiden Scheitelpunkte der Parabeln und verläuft eine Gerade .
- Bestimme die Gleichung dieser Geraden
- Bestimme die Gleichung der zur Geraden
und gib deren Schnittpunkt mit der
(5 P)
Aufgabe 13
a)
Eine Parabel ist gegeben durch die Gleichung 
Außerdem ist die Gerade mit der Gleichung 
gegeben.
Eine zweite Gerade verläuft parallel zu und durch den Scheitelpunkt der Parabel
Eine zweite Gerade
- Gib die Gleichung der Parabel
- Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden
(5 P)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
Aufgabe 14
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
b)
Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung 
Diese Parabel wird um zwei Einheiten nach links und um vier Einheiten nach oben verschoben. Dabei entsteht die Parabel
- Durch den Schnittpunkt
Gib deren Gleichung an. - Berechne den Abstand von
(5 P)
Aufgabe 15
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
b)
Gegeben sind die Gerade mit 
und die Parabel mit 
- Berechne die Koordinaten der gemeinsamen Punkte
und
der Geraden und der Parabel.
- Der Punkt
liegt auf der Parabel
(5 P)
Aufgabe 16
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel hat mit der -Achse die Schnittpunkte 
und 
Sie schneidet die -Achse im Punkt 
Die Parabel hat die Funktionsgleichung 
und schneidet die -Achse im Punkt
Durch die Scheitelpunkte und der beiden Parabeln verläuft die Gerade
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke 
Die Gerade mit der Steigung 
geht durch
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Geraden und ?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Die Gerade
Unter welchen Winkeln schneiden sich die Geraden
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5,5 P)
b)
Die Parabel mit der Funktionsgleichung 
schneidet die -Achse in den Punkten und 
Die Gerade mit der Funktionsgleichung 
schneidet die Parabel in den Punkten und
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Die Gerade mit der Funktionsgleichung 
schneidet die Parabel in den Punkten und 
Peter behauptet: „Die Steigung der Geraden ist nur halb so groß wie die der Geraden Daher ist der Flächeninhalt des Dreiecks 
auch nur halb so groß wie der des Dreiecks 
Hat Peter Recht? Begründe rechnerisch.
Die Gerade
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Hat Peter Recht? Begründe rechnerisch.
(4,5 P )
Aufgabe 17
a)
Die nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat mit der -Achse die Schnittpunkte 
und 
.
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes
der beiden Parabeln.
Die Gerade mit der Steigung 
schneidet beide Parabeln ebenfalls im Punkt .
Berechne die Gleichung von.
Berechne die Winkel, unter denen sich die Gerade und die -Achse schneiden.
Gib die Gleichung einer Parabel 
an, die weder mit noch mit einen gemeinsamen Punkt hat.
Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punktes
Berechne die Gleichung von
Berechne die Winkel, unter denen sich die Gerade
(5,5 P)
b)
Eine Parabel mit der Gleichung 
hat den Scheitelpunkt 
Eine zweite Parabel hat die Gleichung 
Der Punkt
ist einer der beiden Schnittpunkte von und
Berechne die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts der beiden Parabeln.
Zeige rechnerisch, dass die Punkte und 
auf einer Geraden liegen.
Eine zweite Parabel
Der Punkt
(4,5 P)
Aufgabe 18
a)
Das Schaubild zeigt Ausschnitte einer verschobenen Normalparabel und einer Geraden
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabel und der Geraden
Die verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
Prüfe rechnerisch, ob der Schnittpunkt der beiden Parabeln auf der Geraden liegt.
Die Gerade verläuft durch die beiden Scheitelpunkte und
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabel
Die verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel
Prüfe rechnerisch, ob der Schnittpunkt
Die Gerade
Berechne die Funktionsgleichung der Geraden
(5,5 P)
b)
Die Parabel der Form 
hat den Scheitel 
Sie geht durch den Punkt 
Die Gerade mit der Steigung 
geht durch den Punkt 
Sie schneidet die Parabel in den Punkten und
Die Punkte und sind Eckpunkte des Rechtecks 
Zudem sind die Punkte und Anfangs- und Endpunkt einer Diagonalen dieses Rechtecks.
Die Seiten des Rechtecks verlaufen parallel zur- bzw. -Achse.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
Die Gerade
Die Punkte
Die Seiten des Rechtecks verlaufen parallel zur
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
(4,5 P)
Aufgabe 19
a)
Begründe deine Entscheidung. Vervollständige die Funktionsgleichungen von
Berechne die Funktionsgleichung von
(5 P)
b)
Die Parabel mit 
und die nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel 
haben einen gemeinsamen Punkt 
.
Die Gerade geht durch den Ursprung 
und den Punkt .
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden
Die Schnittpunkte der Parabel mit der -Achse und der Punkt bilden ein Dreieck.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Bastian behauptet:
„Die Gerade halbiert den Flächeninhalt des Dreiecks.“
Hat Bastian recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
Abschlussprüfung 2017
Die Gerade
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Bastian behauptet:
„Die Gerade
Hat Bastian recht?
Begründe deine Antwort durch Rechnung oder Argumentation.
(5 P)
Aufgabe 20
a)
Das Schaubild zeigt einen Ausschnitt der verschobenen Normalparabel .
Die Punkte 
und 
liegen auf .
Bestimme die Gleichung der Parabel.
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
.
Durch die beiden Scheitelpunkte verläuft eine Gerade .
Berechne die Gleichung der Geraden .
Eine Gerade verläuft parallel zu und geht durch einen der beiden Schnittpunkte von und .
Berechne eine mögliche Gleichung der Geraden
Bestimme die Gleichung der Parabel
(5,5 P)
b)
Eine Parabel hat die Gleichung 
und geht durch den Punkt 
.
Eine nach unten geöffnete Normalparabel hat die Gleichung 
.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte und von und .
Die Scheitelpunkte und sowie die Schnittpunkte und der beiden Parabeln bilden das Viereck 
.
Mia behauptet: „Das Viereck hat zwei rechte Winkel.“
Hat Mia recht? Begründe deine Antwort durch Rechnung.
(4,5 P)
Aufgabe 21
a)
Zu einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel gehört die unvollständig ausgefüllte Wertetabelle.
Gib die Gleichung der Parabel an.
Vervollständige die Wertetabelle.
Eine Gerade hat die Steigung und geht durch den Punkt 
.
Weise rechnerisch nach, dass und keine gemeinsamen Punkte haben.
Eine Gerade verläuft parallel zur Geraden und geht durch den Scheitelpunkt von .
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit der -Achse.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
11 | 6 | 3 |
Vervollständige die Wertetabelle.
Eine Gerade
Weise rechnerisch nach, dass
Eine Gerade
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes
(5,5 P)
b)
Eine Parabel der Form mit dem Scheitelpunkt 
schneidet die -Achse in den Punkten 
und 
.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt 
.
Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt.
Berechne die Koordinaten von.
Die Punkte, und bilden ein Dreieck.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
.
Der Punkt bewegt sich auf der Parabel oberhalb der -Achse.
Für welche Lage von wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel
Die beiden Parabeln haben einen gemeinsamen Punkt
Berechne die Koordinaten von
Die Punkte
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Der Punkt
Für welche Lage von
Begründe deine Aussage rechnerisch oder durch Argumentation.
(4,5 P)
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Lösung 1
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichungen von 
und 
bestimmen
Funktionsgleichung von 
berechnen
Steigung 
berechnen:
Die allgemeine Geradengleichung hat die Form 
Einsetzen von und der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=& -2\cdot 1+c \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
3&=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4438ddd3258fc547ba5b82ee74eab010a880a5c309605035eaf36524809daa0e?color=5a5a5a)
Daraus folgt 
Entfernung zwischen 
und 
berechnen
Zunächst müssen die Koordinaten von bestimmt werden. Dazu wird die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform gebracht:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+8x+12 \\[5pt]
&=& x^2+8x+16-16+12 \\[5pt]
&=& (x+4)^2-4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7b514741e6ceabbc6b64d4d86112fda17c6a2770eec817b2578bbaf3dd255f8b?color=5a5a5a)
Es lässt sich direkt der Scheitelpunkt 
ablesen.
Nun lässt sich der Abstand der beiden Scheitelpunkte berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1S_2}&=& \sqrt{(1-(-4))^2+(1-(-4))^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{50} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{7,07\,\text{[LE]}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d91da472eb6de4cf122037d213bed1c09da6b66aab8530b5160613f006e70c88?color=5a5a5a)
Behauptung überprüfen
Schnittpunkt der Parabeln berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-2x+2&=& x^2+8x+12 \quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt]
-2x+2&=& 8x+12 \quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt]
2&=& 10x+12 \quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt]
-10&=& 10x \quad \scriptsize \mid\; :10 \\[5pt]
-1&=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5e037a763df56eb404ba7e9435e96adf735704fac5e51cb7954eeb3d5d6efcb6?color=5a5a5a)
Zugehörigen -Wert berechnen:
Die beiden Parabeln schneiden sich im Punkt 
Mit der Punktprobe kann überprüft werden, ob dieser Punkt auch auf der Geraden liegt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
5&=& -2\cdot (-1)+3 \\[5pt]
5&=& 5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/68c264847b59543cfbb22ccad15e1fc23ed51e2a77495c1300e94bdd4368a0e0?color=5a5a5a)
Die Aussage ist wahr. Somit schneiden sich die drei Graphen in einem gemeinsamen Punkt, die Behauptung stimmt also.
Abschlussprüfung 2024
Lösung 2
a)
Koordinaten bestimmen
Schnittpunkt mit -Achse bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& -x-3 \quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt]
x&=& -3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f3e49ba0883b0bebfae94aaf4e7e67463621371bd2baf6e655a72c39fa8a5fa3?color=5a5a5a)
Schnittpunkt mit -Achse bestimmen:
Funktionsgleichung und Scheitelpunkt berechnen
Die verschobene Normalparabel ist von der Form 
Einsetzen der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-3&=& 0^2+a\cdot 0+c \\[5pt]
-3&=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7cda547b51546231775d68e620fb96c6861e6b04d467dd092a98afff6af307c2?color=5a5a5a)
Es gilt also 
Einsetzen der Koordinaten des Punktes 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& (-3)^2+a\cdot (-3)-3 \\[5pt]
0&=& 6-3a \quad \scriptsize \mid\; +3a \\[5pt]
3a&=& 6 \quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
a&=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2337f3b4510252a249cbc3d81c57b0ee5f99f604edfa71552ffff1e546480bf0?color=5a5a5a)
Insgesamt gilt also 
Umformen in die Scheitelpunktform liefert schließlich den Scheitelpunkt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+2x-3 \\[5pt]
&=& x^2+2x+1-1-3 \\[5pt]
&=& (x+1)^2-4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/08bb32feeab2ff023e7901812232ad73a3903bae82c25490af69ec28a1fd98bf?color=5a5a5a)
Nun lässt sich der Scheitelpunkt 
ablesen.
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
12&=& x_{P/Q}^2+2x_{P/Q}-3 \quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt]
0&=& x_{P/Q}^2+2x_{P/Q}-15
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1cc0958bbe80a352b6629cc0d7663d2ecb85dcf9c61dd6c4e6c0b1c84824892c?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{P/Q}&=& -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-15)} \\[5pt]
&=& -1\pm 4 \\[5pt]
x_P&=& 3 \\[5pt]
x_Q&=& -5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a861d6c265ae0914594bfff7ba9853fa668402401b69a535d069b036424cb452?color=5a5a5a)
Mithilfe der Skizze lässt sich die Länge der Grundseite 
und die Höhe 
des Dreiecks ablesen. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 16\cdot 8 \\[5pt]
&=& \underline{\underline{64\,\text{[FE]}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e15e770abf200aff95014a6ac3b1706e93184f51ca46fb1c601b1b6bf711fc18?color=5a5a5a)
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2024
Lösung 3
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichung berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1^2+b\cdot 1-2&=& 1 \\[5pt]
-1+b&=& 1 \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt]
b&=& 2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e62a998ca83513d4f2c59dfabf3727424e90dc1be8f08357cd0e2c2e8f1bb9c4?color=5a5a5a)
Koordinaten bestimmen
Flächeninhalt berechnen
Funktionsgleichung angeben
in 
also 
Aussage überprüfen
Julius hat Recht.
Mögliche Begründungen:
rechnerisch:
Schnittpunkt der Geraden mit der Geraden durch und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
-3x-2&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
-3x&=&3&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
x&=&-1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/63d5694e14522afd67c765087a5d8aa6ee559922f86b5307386df41a8a34ec2d?color=5a5a5a)
Flächeninhalte der Teildreiecke vergleichen:
argumentativ:
Die Gerade schneidet die Gerade 
(durch und ) im Punkt 
Dieser Punkt liegt genau zwischen und Da die Gerade zudem durch den Punkt verläuft, halbiert sie also das Dreieck.
Lösung 4
a)
Funktionsgleichung von bestimmen
Punkt 
in einsetzen:
also 
Punkt 
und in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=&4^2+b\cdot 4+1 \\[5pt]
1&=&17+4b &\quad \scriptsize \mid\;-17 \\[5pt]
-16&=&4b &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt]
-4&=&b
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/81695b9b55d6a2e7e66383ebe6282150c6f657b0e7e89782d4857b8785834cb1?color=5a5a5a)
Wertetabelle vervollständigen
Funktionsgleichung von bestimmen
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-5&=&m\cdot 3-2 \quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
-3&=&m\cdot 3 \quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt]
-1&=&m
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e1edc3d917b90afb4424a0c87f1244c05f5a253fd0a6b533efa8ed3451bd49e2?color=5a5a5a)
Rechnerisch zeigen, dass kein Schnittpunkt vorliegt
Gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-4x+1&=&-x-2 \quad \scriptsize \mid\;+x+2 \\[5pt]
x^2-3x+3&=&0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/795bbe38adefbeeafef62de71fdfc496f58f1dab48d73eed78dd28f5594af06d?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-3} \\[5pt]
x_{1,2}&=& \dfrac{3}{2} \pm \sqrt{-\dfrac{3}{4}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9b9582fe6ac970fad5ce9a8578cef0c62a089a27356803c2e5825a3ff75b5c73?color=5a5a5a)
Für die Diskriminante gilt 
also gibt es keine Lösung.
Funktionsgleichung angeben
in Scheitelpunktform:
Der Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel muss oberhalb dem Scheitelpunkt von liegen. Liegt dieser oberhalb der -Achse, so kann auch nicht die Gerade schneiden.
Mögliche Funktionsgleichung:
mit 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 5
a)
Funktionsgleichung von bestimmen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& a\cdot (-4)^2+4 \\[5pt]
0&=& 16a+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-4&=& 16a &\quad \scriptsize \mid\; :16\\[5pt]
-\dfrac{1}{4}&=& a\\[5pt]
a&=& -\dfrac{1}{4}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9f903f99ed88e4c1a291f04b9cca4c51346c10b5f924997af22be998f2a30044?color=5a5a5a)
Funktionsgleichung von bestimmen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=& m\cdot (-4)+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-4&=& -4m &\quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt]
1 &=& m \\[5pt]
m&=& 1\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/30c33f05bc6baf6f6f825af672839d3dd36bcdb7b66756e9bb2d65c503830bcc?color=5a5a5a)
Koordinaten angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
-\dfrac{1}{4}x^2+4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
-\dfrac{1}{4}x^2&=& -4 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(-\dfrac{1}{4}\right) \\[5pt]
x^2&=& 16\\[5pt]
x_1&=& -4\\[5pt]
x_2&=& 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/30f20b59c4c5cb52149ea087aab88ba12effb3c305ff9567493af33637ca0074?color=5a5a5a)
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
Flächeneinheiten angeben
Unterschied: 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 6
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+2&=&-x^2+8\quad \scriptsize \mid\;+x^2-8 \\[5pt]
x^2+x-6&=&0\\[5pt]
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6}
\\[5pt]
&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\[5pt]
x_{1,2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9b14eeefb3ec27aa0e3f03ada469b4d498025675f0c6636fb1e59e24b3c21b3a?color=5a5a5a)
in eingesetzt ergibt 
also 
in eingesetzt ergibt 
also 
Koordinaten des Scheitelpunkts berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel aufstellen
Allgemeine Funktionsgleichung der Normalparabel: 
und in ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt ergibt:
2. Schritt: Scheitelpunktform aufstellen und ablesen
Quadratische Ergänzung:
Beurteilen, ob Robin Recht hat und Antwort rechnerisch begründen
Robin hat nicht Recht. Begründung:
Berechnet man den Abstand zwischen den einzelnen Punkten, so kann widerlegt werden, dass der Satz des Pythagoras gilt und damit das Dreieck nicht rechtwinklig ist.
Abstandsformel: 
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Abstand zwischen und
Eingesetzt in die Formel des Satz des Pythagoras ergibt sich:
das ist nicht richtig, daher ist begründet, dass es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 7
a)
Funktionsgleichungen bestimmen
Funktionsgleichungen von bestimmen
und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt ergibt:
also 
Funktionsgleichung von bestimmen
Ablesen des Scheitelpunkts 
Daraus lässt sich die Scheitelpunktsform aufstellen:
in eingesetzt ergibt: 
Umgeformt ergibt sich:
Funktionsgleichung von berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Quadratische Ergänzung:
2. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
in ergibt 
in ergibt:
Funktionsgleichungen berechnen und angeben
Funktionsgleichung von berechnen
Die Steigung von beträgt 
in eingesetzt ergibt:
Funktionsgleichung von angeben
Die Parabel kann dazu einfach z.B. um elf Einheiten nach oben verschoben werden, denn dann liegt der Scheitelpunkt von oberhalb von
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 8
a)
Koordinaten von 
berechnen
Gleichsetzen von und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-8x+12&=&x^2-2x-6\quad \scriptsize \mid\;-x^2 \\[5pt]
-8x+12&=&-2x-6\quad \scriptsize \mid\;+8x \\[5pt]
12&=&6x-6\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt]
18&=&6x\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt]
3&=&x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ac508cff1a7cf21293d17957c4783ad858b1c2c48dfdf0b08dc041695a9a3d97?color=5a5a5a)
in
Koordinaten von 
und 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt]
&=& -\dfrac{-8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-12)} \\[5pt]
x_{1,2}&=& 4 \pm 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e4c67384759c173c0401d4e33f197799b56ed79156c405d9ba93b860394f55c5?color=5a5a5a)
Flächeninhalt berechnen
Der Abstand zwischen den zwei Nullpunkten und beträgt 
Die Strecke zwischen den beiden Nullpunkten entspricht der Grundseite des Dreiecks.
Die Höhe beträgt 
da diese dem Betrag des -Werts von 
entspricht.
Lage bestimmen
Wenn 
dem Scheitelpunkt entspricht, ist der Flächeninhalt maximal. Dies ist also für 
der Fall.
Maximalen Flächeninhalt berechnen
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Abschlussprüfung 2022
Lösung 9
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Funktionsgleichung der Parabel angeben
und in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
8&=& -1-(-4)-c \quad \scriptsize \\[5pt]
8&=& 3-c \quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt]
5&=& -c \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt]
-5&=& c \quad \scriptsize \\[5pt]
c&=& -5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7193d5d5d0a7306310bdb98cb253ef39499bba2c22013926e989c68a52b2af9b?color=5a5a5a)
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet 
Es handelt sich um ein Trapez mit folgendem Flächeninhalt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt]
&=& \dfrac{6\,\text{LE}+2\,\text{LE}}{2}\cdot 8\,\text{LE} \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 32\,\text{FE}}} \end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4517b34e2f9b17b0fe33d83f536faec3683faf07a5604f717b621ade10829611?color=5a5a5a)
Gerade aufstellen:
Die Steigung von ist durch die Symmetrie gegeben: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:y&=& -2x+c_h\quad \scriptsize \mid\;S_1(-1|0)\\[5pt]
0&=& -2 \cdot (-1)+c_h \\[5pt]
0&=& 2+c_h \quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt]
-2&=& c_h \\[5pt]
c_h&=& -2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d9f07cfc40e6dd02c212795d8f11df151e2c3c93ddb992fa41959f0496bf0425?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
und gleichsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x-10&=&-2x-2 \quad \scriptsize\mid +10 \\[5pt]
2x&=&-2x+8 \quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt]
4x&=&8\quad\scriptsize\mid :4\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5f0f7aa7838637b887ca8c362164f902e74c049baa99c9e212bc925f854fa47e?color=5a5a5a)
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 2 \cdot 2 -10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& -6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ca3516207c26b8bd4fe04c42003d979e4c6706edbe543e77db04695e2e4e3464?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
Koordinaten des Schnittpunkts 
berechnen
Gerade aufstellen:
und 
in eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-8&=& 2+c_g \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
-10 &=& c_g\\
c_g&=& -10
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/786b204e51ddf5e228f05f0aed756119187a375bc34b0ebc901d8cf3480940f1?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
Lösung 10
a)
Funktionsgleichungen berechnen
Funktionsgleichung von aufstellen:
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+ bx+7 \quad \mid\scriptsize A(-4\mid -1) \\[5pt]
-1&=& (-4)^2+b\cdot (-4)+7\quad \\[5pt]
-1&=& 23-4b\scriptsize \quad \mid\;-23 \\[5pt]
-24 &=& -4b \quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt]
6&=&b \\
b&=&6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/72d7f70337ea288f653d42229f6805600ca247d4b72c96f1163b89a383548068?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
Funktionsgleichung von aufstellen
Scheitelpunkt durch quadratische Ergänzung bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2+6x+7 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3\cdot x+7 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2-3^2+7 \\[5pt]
&=& (x+3)^2-9+7 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& (x+3)^2-2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3ec020167f29ef419033a1734f126ce5590d1cc42a871c59212d3e76b8af83a1?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
und in die allgemeine Geradengleichung 
eingesetzt, ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=& -1\cdot (-4)+c &\quad \scriptsize \\[5pt]
-1&=& 4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
-5 &=& c\\
c &=& -5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4f84f4fb6a562c654ba703c3146d5875b261fb8789d6a6ff42118812e080b4d8?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
Funktionsgleichung von angeben
Durch Spiegelung von an der -Achse gilt: 
Mit Hilfe der Scheitelpunktform lässt sich aufstellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& (x-3)^2-2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& x^2-6x+9-2 \\[5pt]
&=& x^2-6x+7
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ec981cb60e7b5bd88ae7bd7b379a9b6de77e023b2c7168d72fd30c7bc0cdfddd?color=5a5a5a)
Es gilt also 
Funktionsgleichung von 
berechnen
Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -x-5 \quad \scriptsize \mid\;x=0 \\[5pt]
y&=& 0-5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/474dfd3340fa6d4e6e9ae277e26f45fb9c194411a5731d0e8f36cd9ee73127dd?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
und 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& ax^2+c \quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid -2) \\[5pt]
-2&=& a\cdot 3^2-5 \quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt]
3&=& a\cdot 9 \quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt]
\dfrac{3}{9}&=& a \\[5pt]
\dfrac{1}{3}&=& a \\[5pt]
a&=& \dfrac{1}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5296cb32390407c0751958817e5e00895b960c5618fd3c0554694addd9b1d4df?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
Lösung 11
a)
Parabelgleichung 
ermitteln
und 
in die allgemeine Parabelform eingesetzt ergibt ein lineares Gleichungssystem:
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
3&=& 4+2\cdot (-6)+c \quad \scriptsize \\[5pt]
3&=& -8+c \quad \scriptsize \mid\;+8\\[5pt]
11&=& c \\[5pt]
c&=& 11
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d7706474527407a039a3040f2661aac495d9c34dcf212b7ae22bbaa986251ef2?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
-Koordinate von Punkt 
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2-6x+11 \quad \scriptsize \mid\;C(4\mid y_c) \\[5pt]
y_c &=&4^2-6\cdot 4+11 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_c &=& 16-24+11 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_c&=& 3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b4eb3154c096ad2359fd462b685af1b73ccd9895e47b9da77841d804e7a271c9?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Geradengleichung 
ermitteln
1. Schritt: Steigungsfaktor 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_g&=& \dfrac{y_A-y_B}{x_A-x_B}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \dfrac{3-11}{2-6}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \dfrac{-8}{-4}&\quad \scriptsize \\[5pt]
m_g&=& \underline{ 2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ffd402133f9d42a6acefabbe3d21e09c0c0a15d354f2e48d10da82b4441fe023?color=5a5a5a)
2. Schritt: Steigungsfaktor 
berechnen
Da senkrecht zu liegt, gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_h\cdot m_g&=& -1 \quad \scriptsize \mid\; :m_g \\[5pt]
m_h&=&\dfrac{-1}{m_g} \quad \scriptsize \mid\; m_g=2 \\[5pt]
m_h &=& \underline{ -\dfrac{1}{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/25c54a968857dad4a6cd4190c6cf7255e0b9408f5aa7eb6d142a89c704294e14?color=5a5a5a)
3. Schritt: -Achsenabschnitt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& m_h\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid\; m_h=-\dfrac{1}{2}\\[5pt]
y&=& -\dfrac{1}{2}\cdot x+c_h \quad \scriptsize \mid \, C (4\mid 3)\\[5pt]
3&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 4+c_h \\[5pt]
3&=& -2+c_h \quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
5&=& c_h\\
c_h&=&\underline{ 5}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0f52d86898c18d7052c0962bdcff99dc3ef4a2ebdf4e33b0701018a65c22dbca?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Skizze
Koordinaten von Punkt 
berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; y=0 \\[5pt]
0&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{2}x\\[5pt]
\dfrac{1}{2}x&=& 5 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt]
x&=& 10
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/321f3e19e454ea84d2d4e2f98c4153ce7f1c73b13fc4f3862cfe719e04f4b2bf?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Koordinaten von Punkt berechnen
Da auf der -Achse liegt, gilt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -\dfrac{1}{2}x+5 \quad \scriptsize \mid\; x=0\\[5pt]
y &=&-\dfrac{1}{2}\cdot 0+5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6d885cbe440421d70558cd664918a4ba49c28e19f75c854bdf7159c6446d3e6c?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
Lösung 12
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie in der Ebene" eingeordnet.
b)
Gleichung von bestimmen
Scheitelpunkt von bestimmen
erhält man durch Ablesen
Scheitelpunkt von berechnen
Umformen der Funktionsgleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-4x+6 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& x^2-2\cdot 2x+(-2)^2+6-(-2)^2&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-2)^2+2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6165fe0a62b6ae142733dccccfa97497e08e8bc80c46f36b000ac1767b39e78f?color=5a5a5a)
und in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
Allgemeine Geradengleichung: 
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2&=&2\cdot (-3)+c \\[5pt]
2&=&-6+c &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt]
c&=& 8
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d4f85e3768ad2d0b26c3741ffaae7b17440275e46d7d376d0eacde69fa002e9f?color=5a5a5a)
Die Geradengleichung lautet also 
Gleichung von bestimmen
Steigung der Gerade bestimmen
bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&\dfrac{1}{3}x+c &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid 1)\\[5pt]
1&=&\dfrac{1}{3}\cdot 1+c \\[5pt]
1&=&\dfrac{1}{3}+c &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{1}{3}\\[5pt]
c&=&\dfrac{2}{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f3427c80e492768394e08d7eb8827a956c816a68af926a67077088352309d6fd?color=5a5a5a)
Die Geradengleichung lautet also 
Schnittpunkt mit -Achse angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{2}{3} \\[5pt]
\dfrac{1}{3}x&=&-\dfrac{2}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt]
x&=&-2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f18e353258a33408b3a4c3371b15ee627fb71032e62a14b0bb4063b248587551?color=5a5a5a)
Daraus folgt der Schnittpunkt 
Musterprüfung 1
Lösung 13
a)
Scheitelpunktform mit der quadratischen Ergänzung angeben
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-6x+10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& x^2-2\cdot 3x+ 10\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt]
y &=& x^2 -2\cdot 3x+3^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-3)^2-3^2+10&\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=& (x-3)^2-9+10 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y &=&(x-3)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ceb1c4d08d05ed6f9087837051b90f50bfc278e7907ac8d18a6b628a84a61316?color=5a5a5a)
Also gilt 
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Scheitelpunkt der Parabel bestimmen
(kann mithilfe der Scheitelpunktform abgelesen werden)
Parabel berechnen
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Wenn der Schnittpunkt mit der -Achse berechnet werden soll, gilt: 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \\[5pt]
0&=& -4x+13 &\quad \scriptsize \mid\; -13 \\[5pt]
-13&=& -4x &\quad \scriptsize \mid\; : (-4)\\[5pt]
x&=& 3,25
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/869f48f927342dcee8dd3822120d6cb08617119cce8607c1ab88df36bd10ce3e?color=5a5a5a)
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da die Geraden
- Also gilt für
b)
Die Teilaufgabe b) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
Musterprüfung 1
Lösung 14
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Geometrie im Raum" eingeordnet.
b)
Gleichung von angeben
1. Schritt: in Scheitelpunktform umrechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2-4x+ 2\\[5pt]
&=&x^2 -4x+4-4+2\\[5pt]
&=&(x-2)^2-4+2 \\[5pt]
y&=&(x-2)^2-2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bf602f86999b2a929628e2e7e7565abf8af50df1cdaede7423fd7f5267c0efa8?color=5a5a5a)
2. Schritt: verschieben, um zu bestimmen
um zwei Einheiten nach links verschieben: 
um vier Einheiten nach oben verschieben: 
Es folgt 
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2 \\[5pt]
x^2-4x+2&=& x^2+2\quad \scriptsize \mid\; -x^2\\[5pt]
-4x +2 &=& 2 \quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
-4x &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt]
x &=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e35790d38d769cd8a093e8ebfa3d31a6c31e3ca4f98a17d94e75b129bb14b564?color=5a5a5a)
in eine Gleichung einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 0^2+2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1405d40f1de149122b82f83d5a22340a920a7fd59653d432b71dc68404f455d3?color=5a5a5a)
Es folgt 
4. Schritt: Gleichung von aufstellen
Da die Gerade parallel zur -Achse ist, lautet die Gleichung 
Abstand von zum Scheitelpunkt der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{PS_1} &=& \sqrt{(x_S-x_P)^2+(y_S-y_P)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \sqrt{(2-0)^2+(-2-2)^2}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 4,5 \,\text{LE}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/10c81b66e9c3a0d6785e9edef3eb111a8c967b4523cf0855223b1e345a3aac9c?color=5a5a5a)
Lösung 15
a)
Die Teilaufgabe a) wurde in das Thema "Wahrscheinlichkeiten" eingeordnet.
b)
Koordinaten der gemeinsamen Punkte und berechnen
Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-9x+14&=& -2x+4\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt]
x^2-9x+10 &=& -2x\quad \scriptsize \mid\; +2x \\[5pt]
x^2-7x+10 &=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ea3ada2a062b452b93880fe17b05d6bdf0fefca28603d962872d06f9efff6641?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-10} &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_{1,2} &=& \dfrac{7}{2}\pm \dfrac{3}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_1 &=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
x_2 &=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/024fe48b738c01b58f48fe87f5b534f774c22ed375eb4e2e075677ca4e2894d5?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_1&=& -2\cdot 5+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_1&=& -10 +4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_1&=& -6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8feaa976d19f1d19cbcc3a4172d1ba3ebe0ea5559ca0301fa747323ca10c61e3?color=5a5a5a)
Es folgt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_2&=& -2\cdot 2+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_2&=& -4+4 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y_2 &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/901e012d5352b42ef38711c6c2081f6ef66cc46aa2915289cc9709b1dc2fe149?color=5a5a5a)
Es folgt 
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
1. Schritt: -Koordinate von Punkt berechnen
einsetzen in Parabelgleichung 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 4^2-9\cdot 4+14 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 16-36+14 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5f0231431987f18e07fe09a68b275be7e33c52cbc2dd2b835f908bd3e85e1f31?color=5a5a5a)
Es gilt 
2. Schritt: Flächheninhalt bestimmen
Grundseite Durch Ablesen ergibt sich 
Höhe
Durch Ablesen ergibt sich für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{Dreieck}}&=& \frac{1}{2}\cdot 1\,\text{LE}\cdot 6\,\text{LE} &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 3 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3b166350b50c7e7a1a31658358069eb5f593ab921b2f4578498518b65dbf4e47?color=5a5a5a)
Höhe
Lösung 16
a)
Funktionsgleichung der Geraden berechnen
1. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
Durch Einsetzen der Koordinaten von 
und 
ergibt sich ein lineares Gleichungssystem:
Einsetzen von in 
![\(\begin{array}[t]{rll}
0 &=& 1-b +c &\quad \scriptsize \mid\;b=6 \\[5pt]
0 &=& 1-6 +c \\[5pt]
0&=& -5 +c &\quad \scriptsize \mid\; +5 \\[5pt]
5 &=& c \\[5pt]
c &=& 5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1713e51ee5bfaf353324a62f5d4aea5580a96c9bc913585702df903fb38aabd0?color=5a5a5a)
Durch quadratische Ergänzung kann die Funktionsgleichung von in die Scheitelpunktform gebracht werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1:\; y&=& x^2+6x+5 \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3x+5\\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 3x +3^2 -3^2+5\\[5pt]
&=& (x+3)^2-3^2 + 5\\[5pt]
y&=& (x+3)^2-4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2cd5f039e215960530b23741b6487d88c24d4c7c4d050ad1b63b8dae6fedfb9b?color=5a5a5a)
2. Schritt: Scheitelpunkt von bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_2:\; y&=&x^2-6x+11 \\[5pt]
&=&x^2-2\cdot 3x+11\\[5pt]
&=&x^2-2\cdot 3x +3^2 -3^2+11\\[5pt]
&=&(x-3)^2-3^2+11\\[5pt]
y&=&(x-3)^2+2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/78d7e463709fcd891ee86fc3da82fbf9a729e63543861b14dd5bff2ca11808c6?color=5a5a5a)
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
g: \; y &=& m \cdot x + c \\[5pt]
y &=& 1 \cdot x +c &\quad \scriptsize \mid\; S_2(3\mid2) \\[5pt]
2 &=& 1 \cdot 3 + c &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt]
-1 &=& c \\[5pt]
c &=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/46c54dccb8fd9445a0c7bdf76fe735969c028a53cd7aeb8bb9ca42fbafb06b3c?color=5a5a5a)
Schnittwinkel von und bestimmen
Zwei Geraden schneiden sich senkrecht, wenn das Produkt ihrer Steigungen 
ergibt.
Steigung 
Steigung 
Die beiden Geraden stehen senkrecht zueinander. Daher ist jeder der vier Schnittwinkel 
groß.
b)
Die Länge der Grundseite ergibt sich deshalb aus den
Peter hat also nicht recht.
Lösung 17
a)
Koordinaten des gemeinsamen Punktes 
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1:& y&=&(x-d)^2+e &\quad \scriptsize \mid\; S_1(2\mid2) \\[5pt]
&&=&(x-2)^2+2 \\[5pt]
&&=&x^2-4x+4+2 \\[5pt]
p_1: &y&=&x^2-4x+6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9315ce6130a9d7b7332db2de13d2672741672bc5bbdf5bc3ef8620333d49f3b9?color=5a5a5a)
2. Schritt: Funktionsgleichung von berechnen
und 
in die allgemeine Funktionsgleichung 
eingesetzt, ergibt ein LGS:
in 
eingesetzt, ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
&0&=& -4+2b+4 \\[5pt]
&2b&=& 0& \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
&b&=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8e31cd8e0d8eb6a4948f0c79db25e0b286c9e67b6527868eb0abbca4dad826b8?color=5a5a5a)
Daraus folgt: 
3. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=&p_2 & \\[5pt]
x^2-4x+6&=&-x^2+4 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
2x ^2-4x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
x^2-2x+1&=&0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/41ab9a292a9bfb7abbc417ea84ed581906d1a5fa8fd19c8c0e633f647b291fb4?color=5a5a5a)
Weiter mit der 
-Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=&-\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-1} \\[5pt]
x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{1-1} \\[5pt]
x_{1/2}&=&1\pm \sqrt{0} \\[5pt]
x&=&1+0=1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/34080111411c8ed93629bdf27c3eaa549816458248621d217e87859aa4a65230?color=5a5a5a)
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-1^2+4 \\[5pt]
y&=&3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/98094f85898c7d9310e1468719f4f9b0884a7a791008266366be40c271c9ab8c?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Gleichung von berechnen
Die allgemeine Geradengleichung lautet: 
Aus folgt: 
eingesetzt, ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&2x+c_{g} \\[5pt]
3&=&2\cdot 1+c_{g} \\[5pt]
3&=&2+c_{g} &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
c_{g}&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0b023e1979f7d5b0492dabe7ba95d13b8d2d560730da31a335643f150dd40fd6?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Winkel berechnen, unter denen sich die Gerade und die -Achse schneiden
Es gibt vier Winkel:
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan(\alpha_1)&=&\dfrac{\overline{TA}}{\overline{AH}} & \\[5pt]
\tan(\alpha_1)&=&\dfrac{1}{2} \\[5pt]
\alpha_1&=& 26,57^{\circ}\\[5pt]
\alpha_1&=&\underline{\underline{ 26,6^{\circ}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4729f6aba03a24c0865c5aa40bdaec1063b9c28e841c535dd2d3a29c0a0ba9ef?color=5a5a5a)
Größe des Winkels 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\alpha_2&=&180^{\circ} -\alpha_1\\[5pt]
&=&180^{\circ} -26,57^{\circ} \\[5pt]
&=& 153,43^{\circ} \\[5pt]
\alpha_2&=&\underline{\underline{ 153,4^{\circ}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/be2c5848e06c73cae412b88ad2f1bc1a30c9b737045a756769a5cad99570b988?color=5a5a5a)
Gleichung einer Parabel 
angeben, die weder mit 
noch mit 
einen gemeinsamen Punkt hat
Lösungsvorschlag am Besipiel der Parabel , die „innerhalb“ von eingebettet ist:
Scheitelpunkt
Skizze zur Veranschaulichung
| Scheitelwinkel zu
| Scheitelwinkel zu
- Liegt unterhalb von
auf der
- Scheitelpunkt
mit
- Form der Gleichung:
- Nach unten geöffnet
- Also gilt:
- Gleich gestreckt oder gestreckter als
- Also gilt:
- Aus
und
folgt:
b)
Koordinaten des zweiten Schnittpunkts 
berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
Es gilt:
Somit gilt für den Vorfaktor 
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&ax^2+c &\quad \scriptsize \mid\;-\,c \\[5pt]
ax^2&=&y-c &\quad \scriptsize \mid\;:x^2 \\[5pt]
a&=&\dfrac{y-c}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; c=6, \, B(2|4)\\[5pt]
a&=&\dfrac{4-6}{2^2} \\[5pt]
a&=&\dfrac{-2}{4} \\[5pt]
a&=&-0,5 \\[10pt]
\underline{ p_1:y=-0,5x^2+6 }\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4306e678049f07dd66f1e7b766434384bfc1c8be328ac821da506d0c16141bf6?color=5a5a5a)
2. Schritt: Funktionsgleichung von ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2+3x+q &\quad \scriptsize \mid\;B(2\mid 4) \\[5pt]
4&=&2^2+3\cdot 2+q \\[5pt]
4&=&4+6+q \\[5pt]
4&=&10+q &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt]
q&=&-6 \\[10pt]
\underline{ p_2:y=x^2+3x-6}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/acb6662a890e5fc046b0dc1ca5f866055ee3558b9c996e3cae439661631d721c?color=5a5a5a)
3. Schritt: Koordinaten des zweiten Schnittpunkts berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=&p_2 \\[5pt]
-0,5x^2+6&=&x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;+0,5x^2\\[5pt]
6&=&1,5x^2+3x-6 & \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt]
0&=&1,5x^2+3x-12 &\scriptsize \mid\;:1,5 \\[5pt]
0&=&x^2+2x-8 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b5156823de02ab048d31d04ca16353dc151467b221e57216ec194477f5aca008?color=5a5a5a)
Weiter mit der -Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=&-\dfrac{2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-(-8)} \\[5pt]
x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{1+8} \\[5pt]
x_{1/2}&=&-1\pm \sqrt{9} \\[5pt]
x_1&=&-1+3=2 \\[5pt]
x_2&=&-1-3=-4 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6af6bf6b579afd8d16a661c0cf6ac123a4385035afb104a488523700705eb33d?color=5a5a5a)
ist die -Koordinate des bekannten Schnittpunkts 
Deswegen wird 
in eingesetzt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-0,5x^2+6 & \\[5pt]
y&=&-0,5\cdot (-4)^2 +6 \\[5pt]
y&=&-8+6 \\[5pt]
y&=&-2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/149ff1322f303a632db8d8ba451675cc2ed85aa472937b89ee47ecc936ee9e69?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Rechnerisch zeigen, dass , 
und auf einer Geraden liegen
1. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
2. Schritt: Zeigen, dass auch auf der Gerade liegt
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x+2 &\quad \scriptsize \mid\;C(0\mid 2)\, \,\text{einsetzen} \\[5pt]
2&=&0+2 \\[5pt]
2&=&2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/70460ef52629e54bd29777749a0f680881f4868521909599d53187509ea6984c?color=5a5a5a)
Damit ist gezeigt, dass die Punkte und auf einer Geraden liegen.
Abschlussprüfung 2019
- Scheitelpunkt
- Allgemeine Geradengleichung:
- Für den Steigungsfaktor
- Also gilt für
Lösung 18
a)
Funktionsgleichung der Parabel ermitteln
Da eine verschobene Normalparabel ist, hat ihre Funktionsgleichung folgende Form:
Dabei sind 
die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Die Abbildung zeigt, dass die -Achse in den Punkten 
und 
schneidet.
Wegen der Symmetrie, muss die-Koordinate des Scheitelpunkts genau mittig dazwischen liegen, also ist 
durch Einsetzen berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1: y&=& (x-(-2))^2 +y_S \quad \scriptsize \mid\; P_2(1\mid 0) \\[5pt]
0 &=& (1+2)^2 +y_S \\[5pt]
0&=& 9 +y_S \quad \scriptsize \mid\;-9 \\[5pt]
-9&=& y_S
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/dc98f2a82a530f0dd574a4e009206e7b743dadf20042e00d55bedf0fad84a3b6?color=5a5a5a)
Eine Funktionsgleichung von lautet also:
Funktionsgleichung der Gerade bestimmen
Ein Steigungsdreieck in der Abbildung zeigt, dass die Gerade die Steigung 
hat und die 
Achse im Punkt schneidet.
Daher lautet die Geradengleichung:
Lage des Schnittpunkts prüfen
1. Schritt: Funktionsgleichung von aufstellen
Mit der Scheitelpunktform ergibt sich:
2. Schritt: Schnittpunkt berechnen
Die beiden Parabeln schneiden sich an der Stelle 
Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B. in
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& (2+2)^2 -9 \\[5pt]
&=& 16 -9 \\[5pt]
&=& 7
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8abf213a357e854c2a0ee3205a9f1df014f3c0bb31b3b828dd97e720d43d679f?color=5a5a5a)
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten 
3. Schritt: Einsetzen in die Gerade
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& 3\cdot 2+1 \\[5pt]
&=& 7
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/69161f29e6ee149ba3d5b604eda65a17aeee4f0125dfb214e20ccfb935173b22?color=5a5a5a)
Die Gerade verläuft also ebenfalls durch den Punkt 
Der Schnittpunkt der beiden Parabeln liegt also auf der Geraden
Funktionsgleichung der Geraden berechnen
Die beiden Scheitelpunkte sind 
und
1. Schritt: Steigung berechnen
Mit dem Differenzquotient ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m_h &=& \dfrac{y_2 - y_1}{ x_2-x_1} \\[5pt]
&=& \dfrac{-2-(-9)}{5-(-2)} \\[5pt]
&=& \dfrac{7}{7}\\[5pt]
m_h&=& 1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cecce01e18fb34603c454154004643afc26245a7f489b5833ae90a70b275d65a?color=5a5a5a)
2. Schritt: -Achsenabschnitt berechnen
Durch eine Punktprobe kannst du nun den -Achsenabschnitt berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& m\cdot x + c \\[5pt]
y&=& 1\cdot x + c&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid -9) \\[5pt]
-9&=& 1\cdot (-2) + c &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt]
-7 &=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/54a09f9c3016854e2faf9b2936a77ca42dc5ab0a61e6bb074d4e27c38fed7eed?color=5a5a5a)
Eine Funktionsgleichung von ist also
Die Abbildung zeigt, dass
Wegen der Symmetrie, muss die
Daher lautet die Geradengleichung:
Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen, z.B. in
b)
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel bestimmen
Die Punktprobe in zeigt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y &=& a\cdot x^2 +c& \\[5pt]
-4,5 &=& a\cdot 0^2 +c \\[5pt]
-4,5 &=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/efd7cf65d4313f265927992da887dcbbdac5624b72dfec46ae1740308bfe4d48?color=5a5a5a)
Mit einer Punktprobe von 
kann 
berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p:y &=& ax^2 +c \quad \scriptsize \mid\;c = -4,5 \\[5pt]
p:y&=& ax^2 -4,5 \quad \scriptsize \mid\; P(-3\mid 0)\\[5pt]
0&=& a\cdot (-3)^2 -4,5 \quad \scriptsize \mid\;+4,5 \\[5pt]
4,5 &=& 9a \quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt]
0,5 &=& a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7ffa8d200a3027d045a2cfb5639e620ed511b9afc9210bda39458071142073ff?color=5a5a5a)
Eine Gleichung der Parabel lautet also 
2. Schritt: Geradengleichung angeben
Mit den Informationen aus der Aufgabe kann eine Geradengleichung aufgestellt werden:
3. Schritt: Schnittpunkte von mit berechnen
Einsetzen in die Geradengleichung liefert die zugehörigen -Koordinaten.
![\(\begin{array}[t]{rll}
y_1 &=& 1,5\cdot (-2) +0,5 \\[5pt]
&=& -2,5 \\[10pt]
y_2 &=& 1,5\cdot 5 +0,5 \\[5pt]
&=& 8
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a41cf49071872d65372bd44c88dfc16e7ef25476c7e4a3e3051e45109ba90ca5?color=5a5a5a)
Die Punkte und haben also die Koordinaten 
und 
4. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Da die Seiten des Rechtecks parallel zur - bzw. -Achse verlaufen, ergeben sich die Seitenlängen aus den Differenzen der - und -Koordinaten von und
![\(\begin{array}[t]{rll}
a&=& y_C -y_A \\[5pt]
&=& 8-(-2,5) \\[5pt]
&=& 10,5 \\[10pt]
b&=& x_C-x_A \\[5pt]
&=& 5-(-2) \\[5pt]
&=&7
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6ffc323acfd85f39a88169c8bee6c9178496f6429de57b45a29cd351da696dc1?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt ergibt sich daher wie folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A &=& a\cdot b \\[5pt]
&=& 10,5\cdot 7 \\[5pt]
&=& 73,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e1b349ca8a700630a37ab9e81db42b834d8f53b5053041b8665833c593ccf01e?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt ca. 
Abschlussprüfung 2018
Lösung 19
a)
Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
Gleichung 
Da der Graph im Vergleich zu einer Normalparabel entlang der -Achse gestaucht ist, kann er nur zur Gleichung 
gehören. Die Parabel wird durch den Parameter gestaucht.
Gleichung 
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& x^2-6x+5 \\[5pt]
&=& x^2-2\cdot 3x+5 \\[5pt]
&=& x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+5 \\[5pt]
y&=&(x-3)^2-4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ca06f3207654c1a18809610d2fc5c8b243843340e39cdcd1a02846872421a61e?color=5a5a5a)
Da bereits Gleichung (A) zugeordnet ist und der Scheitelpunkt von nicht den Koordinaten von 
entspricht, muss zu Gleichung gehören.
Gleichung 
Da als einziger Graph übrig bleibt, kann dieser per Ausschlussverfahren der Gleichung 
zugeordnet werden.
Funktionsgleichung von vervollständigen
Einen Punkt des Graphen ablesen und in die Gleichung einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& ax^2-1 \quad \scriptsize (2\mid 0)\\[5pt]
0&=& a\cdot 2^2-1 \\[5pt]
0&=& 4a-1 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
1&=& 4a \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}&=& a \\[5pt]
a&=&\underline{ \dfrac{1}{4}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2198385a664363b29165e32dbaae189fae801c251e78297ffac325b58620852c?color=5a5a5a)
Funktionsgleichung von vervollständigen
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y &=& x^2+4x+q \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 2x+q \\[5pt]
&=& x^2+2\cdot 2x + 2^2-2^2+q\\[5pt]
y&=&\underline{ (x+2)^2-4+q}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bd55c1f637c40007d6d320d550056d6cc74392a46515581cb97f88546df8b1ef?color=5a5a5a)
Aus dem Schaubild von lässt sich der Scheitelpunkt 
ablesen.
![\(\begin{array}[t]{rll}
-4+q&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
q&=&\underline{ 5}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9760c8bcbbd2d051dab95f41852054a1f2beac42c5e5c1bf803473ee5c723c02?color=5a5a5a)
Funktionsgleichung von berechnen
Die Gerade geht durch die Scheitelpunkte 
und 
und wird durch die Gleichung 
bestimmt.
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=& m\cdot 0 +b \\[5pt]
b&=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/437b2c007f7d89ac3f18f5210fa4fe89444360d085609b394b48b84365621f21?color=5a5a5a)
und 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-4&=& m\cdot 3-1 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt]
-3&=& 3m &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
-1&=& m \\[5pt]
m&=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/258e38edd566ee58512d9c39b19445439f00e1d7eea51250a6137914cc00f8c8?color=5a5a5a)
Rechnerisch nachweisen, dass der Scheitelpunkt 
auf liegt
in 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
1&=&-(-2)-1 \\[5pt]
1&=&1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3b8b86a5ffb816bb3b8bef07442b8c2d5f9a6d7a715531727d9249dd5b528894?color=5a5a5a)
Der Scheitelpunkt 
von liegt somit auf
Da der Graph
Gleichung mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringen:
Da
b)
1. Schritt: Gleichung der Parabel bestimmen
Durch die Angabe des Scheitelpunkts von lässt sich die Scheitelpunktform bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_2:\; y&=&(x-1,5)^2-3,25 \\[5pt]
&=& x^2-3x+2,25-3,25 \\[5pt]
&=& x^2-3x-1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b155acaae8ae3f9d7aa01413d8595228c7c857da97840112dd9c4b43eb05d96c?color=5a5a5a)
2. Schritt: Koordinaten des Punkts 
berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&\dfrac{1}{4}\cdot2^2-4 \\[5pt]
&=& -3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6948f58f0875a2f59d719381fa40f298a97f7320e3d108a880108ce0134c318d?color=5a5a5a)
3. Schritt: Funktionsgleichung der Geraden bestimmen
verläuft durch den Ursprung 
sowie 
und ist durch die Gleichung 
definiert.
Koordinaten von 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt]
0&=& m\cdot 0+b \\[5pt]
0&=& b \\[5pt]
b &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2a0f5f7325bb4ef816b14ebe16f42611a4bb474af17db34b8cee1c565efab745?color=5a5a5a)
und 
einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
h:\; y&=& m\cdot x+b \\[5pt]
-3&=& m\cdot 2+0 \\[5pt]
-3&=& 2m &\scriptsize \mid \; :2 \\[5pt]
-\dfrac{3}{2} &=& m \\[5pt]
m &=& -\dfrac{3}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/560e7cc1eff8b3b1d1eb50377f9e153812477332d313aafae603886f39434794?color=5a5a5a)
Flächeninhalt des Dreiecks 
bestimmen
1. Schritt: Eckpunkte und bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{1}{4}x^2-4 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2 &=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt]
x^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
x&=&\underline{ \pm 4}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/51d4ffa7dade28a5cb2af0a8923010d80c2d5b549de07fee9ef2db13fe98e8f8?color=5a5a5a)
Die Eckpunkte des Dreiecks 
sind 
und 
2. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
kann als Grundseite des Dreiecks gewählt werden.
Da und auf der -Achse liegen, gilt:
Die zugehörige Höhe entspricht dem Abstand von zur -Achse, also dem Betrag von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt]
&=&\dfrac{1}{2}\cdot 8\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}\\[5pt]
&=& \underline{\underline{ 12 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0a1ab4114ecc8f90e241773fc073b73f86bc42ef3bfb2f4e631707298d2036be?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt des Dreiecks 
enstpricht 
Bastians Aussage prüfen
Rechnerische Begründung
Um Bastians Aussage zu prüfen, muss der Flächeninhalt eines der Teildreiecke berechnet werden.
geht durch den Ursprung und den Punkt 
Somit gilt für die Grundseite des Teildreiecks
Die Höhe bleibt gleich.
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{N_1UR}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{LE}\cdot 3\,\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 6 \,\text{FE}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cb2276cf25e6361dcaa38cc6b709492ec8648c39676df089f61129e9dcc5f703?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt des Teildreiecks 
enstpricht genau der Hälfte des Flächeninhaltes des Dreiecks 
Somit ist Bastians Behauptung richtig. Argumentative Begründung Die Höhe beider Teildreiecke entspricht weiterhin dem Abstand von zur -Achse. Diese bleibt für beide Teildreiecke also unverändert.
Die Gerade verläuft durch den Ursprung und halbiert damit die Grundseite des Dreiecks 
Dadurch, dass die Höhe gleich bleibt und die Grundseite halbiert wird, wird insgesamt auch der Flächeninhalt halbiert.
Bastian hat also recht.
Abschlussprüfung 2017
Da
Somit gilt für die Grundseite des Teildreiecks
Somit ist Bastians Behauptung richtig. Argumentative Begründung Die Höhe beider Teildreiecke entspricht weiterhin dem Abstand von
Die Gerade
Dadurch, dass die Höhe gleich bleibt und die Grundseite halbiert wird, wird insgesamt auch der Flächeninhalt halbiert.
Bastian hat also recht.
Lösung 20
a)
Gleichung der Parabel bestimmen
und 
in die allgemeine Form einer Normalparabel 
einsetzen und ein lineares Gleichungssystem erstellen
in 
einsetzen
![\(\begin{array}[t]{rll}
-1&=&1+2+c & \\[5pt]
-1&=&3+c &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt]
c&=&-4 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b872c7694f2bbf2689159170a6e395b212e72286057577c548f7073c83b38c04?color=5a5a5a)
Somit gilt: 
Gleichung der Geraden berechnen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&x^2+2x-4 &\\[5pt]
&=&x^2+2x+1^2-1^2-4 &\\[5pt]
&=&(x+1)^2-1-4 &\\[5pt]
y&=&(x+1)^2-5 &
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/eaf256d6a46a52686f95cce52b433f059256002069b70622ac8c775d6e25347f?color=5a5a5a)
Daraus folgt für den Scheitelpunkt: 
Gleichung der Geraden ermitteln, die von den Punkten und festgelegt wird
Eine mögliche Gleichung der Geraden berechnen
Gleichung der Parabel ermitteln
Schnittpunkte von und berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2&\\[5pt]
x^2+2x-4&=& -x^2+8&\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \,\mid\,-8 \\[5pt]
2x^2+2x-12&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
x^2+x-6&=& 0 &\quad \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7ffbc83240457a5ea8d0ae21d614257a29f8f58410bf409765b2d13be4b0c554?color=5a5a5a)
Weiter mit der -Formel:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt]
x_{1/2}&=& -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{5}{2}& \\[5pt]
x_1&=& -\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=2 \\[5pt]
x_2&=&-\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}=-3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d6b69f78cd7605c9b2bbc01d13633289c68073d6fb7b86e3004887a4c479e43e?color=5a5a5a)
Lösungsvorschlag 1: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+8 \\[5pt]
y&=&-2^2+8\\[5pt]
y&=&4\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5ed58b68abefc2e0627279e8678bc3154bb7c307566a1072175598b9c7e5e0eb?color=5a5a5a)
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: 
Gleichung der Gerade berechnen:
Lösungsvorschlag 2: verläuft durch den Punkt mit der -Koordinate 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+8 \\[5pt]
y&=&-(-3)^2+8\\[5pt]
y&=&-1\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8b6a73baaf90115ca0e3dce4bc029dd985ac60b5b824594089048a10385a2c05?color=5a5a5a)
Daraus folgt für diesen Schnittpunkt: 
Gleichung der Gerade berechnen:
- Allgemeine Geradengleichung:
- Für den Steigungsfaktor
- Da
verläuft und
- Da
- Da der Scheitelpunkt
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da
- Daraus folgt für
- Allgemeine Geradengleichung:
- Da
- Daraus folgt für
b)
Koordinaten der Schnittpunkte und von und berechnen
Gleichung der Parabel berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& \dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\quad \scriptsize \mid\; R\,(4\mid0) \\[5pt]
0 &=&\dfrac{1}{4} \cdot 4^2+c \\[5pt]
0 &=&4+c \quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt]
c&=& -4\\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/412d3ff47c230518d33ae93cb55119443b5fe3107a2b2a221e256847418a5069?color=5a5a5a)
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
p_1&=& p_2 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2-4&=& -x^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt]
\dfrac{1}{4}x^2&=& -x^2+5 &\quad \scriptsize \,\mid\, +x^2 \\[5pt]
\dfrac{5}{4}x^2&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{5}{4} \\[5pt]
x^2&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
x_1&=& \underline{ 2} \\[5pt]
x_2&=& \underline{ -2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7515e5c046a5c794e51ff5f6a711a0addaa447e4f751e7df0386b753c2801347?color=5a5a5a)
-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+1 \\[5pt]
y&=& - 2^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -4+1 \\[5pt]
y&=& -3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/59bc7c51933032d9b51ae6e8c376616362c5371cc035b59ba594377ede3682a7?color=5a5a5a)
Schnittpunkt 1: 
in einsetzen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&-x^2+1 \\[5pt]
y&=& - (-2)^2+1 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& -4+1 \\[5pt]
y&=& -3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/07f0bc9c56b7af556b3c4124ba18762c255d8e01fea00c8df112270fc8e1b5ea?color=5a5a5a)
Schnittpunkt 2: 
Hat Mia recht?
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen
Gilt der Satz des Pythagoras im Dreieck 
?
berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_2Q}^2&=& \overline{S_2M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt]
\overline{S_2Q}^2&=& (4\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 \\[5pt]
\overline{S_2Q}^2&=&\underline{ 20\,\text{LE}^2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ecf22ec65a801299116aaf65e0fb4da2457a65d82961cbbcc75e06610dc9cb77?color=5a5a5a)
Länge der Strecke 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1Q}^2&=& \overline{S_1M} ^2+ \overline{MQ}^2 \\[5pt]
\overline{S_1Q}^2&=& (1\,\text{LE})^2+(2\,\text{LE})^2 &\\[5pt]
\overline{S_1Q}^2&=&\underline{ 5\,\text{LE}^2} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/56c5c6c02e6c071b8d62cfb56203940a4e3f8f4dd7ce8291375da29dfb695e7a?color=5a5a5a)
Satz des Pythagoras anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overline{S_1S_2}^2&=& \overline{S_1Q}^2+\overline{S_2Q}^2\\[5pt]
\overline{S_1S_2}^2&=& 5\,\text{LE}^2 + 20\,\text{LE}^2 \\[5pt]
\overline{S_1S_2}^2&=& 25\,\text{LE}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt]
\overline{S_1S_2}&=& \underline{ 5\,\text{LE}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fd518a18678791abffab1bb88620ee5bd7c61f9a8040c0d7666d44a0e7125aff?color=5a5a5a)
An der Abbildung kann man ablesen, dass die Länge der Strecke 
tatsächlich 
beträgt. Der Satz des Pythagoras gilt hier also. Somit ist 
ein rechter Winkel. Gleiches gilt für den Winkel 
Mia hat also recht.
- Falls ja
Winkel
- Falls nein
Lösung 21
a)
Parabelgleichung angeben
Scheitelpunktform einer verschobenen und nach oben geöffneten Normalparabel:
Mit dem Einsetzungsverfahren können die Werte berechnet werden:
1. Schritt: Zwei Punkte einsetzen
auflösen
![\(\begin{array}[t]{rll}
11&=& (-b)^2+c&\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt]
c&=& \underline{ 11-b^2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b3846248631a69fc48fb159feedeeb1c84a550e7bd8f1e6d6e79a5c8e54beb0f?color=5a5a5a)
3. Schritt: in 2) einsetzen, um 
zu berechnen
4. Schritt: in 1) einsetzen, um zu berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
11&=&b^2+c \quad \scriptsize \mid\; b=3 \\[5pt]
11&=&3^2+c \quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt]
c&=&\underline{ 2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/0d4939b9b93597133d73f851f775055a3b552e82871a3352f1636f0b792d9306?color=5a5a5a)
Die Parabelgleichung lautet also 
Wertetabelle vervollständigen
Durch Einsetzen der -Werte in die Parabelgleichung ergibt sich:
Nachweisen, dass keine gemeinsamen Punkte vorliegen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Durch Einsetzen der Informationen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
6&=&(-1)\cdot (-2,5)+c &\quad \scriptsize \mid\; -2,5\\[5pt]
c&=& \underline{ 3,5}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/060e573dddbae161213883e6299026a64ced821bf818be9539263e719a5d7a19?color=5a5a5a)
Die Geradengleichung lautet also 
2. Schritt: und gleichsetzen
Da die Diskriminante 
ist, gibt es keine Lösung und und haben keine gemeinsamen Punkte.
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Der Scheitelpunkt der Parabel 
ist 
Die Steigung ist gleich zu 
also 
Durch Einsetzen in die allgemeine Geradengleichung ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&m\cdot x +c &\quad \scriptsize\mid\; m=-1 ;\,S (3\mid 2) \\[5pt]
2&=&(-1)\cdot 3 +c &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt]
c&=&5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1540f4af7136abe77001b0e6fe0a6a4be2845e01fe480c23d4ec5b0b1f70591e?color=5a5a5a)
Die Geradengleichung lautet also: 
2. Schritt: Schnittpunkt mit 
-Achse berechnen
Der Schnittpunkt mit der -Achse entspricht der Nullstelle der Gerade. Sie wird also mit 0 gleichgesetzt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-x+5&=& 0& \quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt]
- x&=& -5& \quad \scriptsize \mid\;:(-1)\\[5pt]
x&=& 5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1603fa277b138c30ace89cb358bfe795d3a51011cf834c0bfc12345e58a5e108?color=5a5a5a)
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten 
1) 
2) 
2. Schritt: 1) nach | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 11 | 6 | 3 | 2 | 3 | 6 |
b)
Koordinaten von Punkt berechnen
1. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Durch den Scheitelpunkt 
gilt, dass die Parabel um 
nach oben verschoben ist, also 
Die Punktprobe mit zeigt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&a\cdot x^2+c \quad \scriptsize \mid\; c=4,5 ; N_2(3\mid 0) \\[5pt]
0&=&a\cdot 3^2+4,5 \quad \scriptsize \mid\;-4,5 \\[5pt]
-4,5&=& 9\cdot a \quad \scriptsize \mid\;:9 \\[5pt]
a&=&-\dfrac{1}{2}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/51d24f96102624e43c4d1208310b19b6ecd9b2a7e1d7b9df6e98c5fc544ab83c?color=5a5a5a)
Die Parabelgleichung lautet also 
2. Schritt: Parabelgleichung aufstellen
Bei einer Normalparabel gilt 
Mit dem Scheitelpunkt lässt sich die Scheitelpunktform aufstellen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&a\cdot (x-b)^2+c \quad \scriptsize a=1 ; S_2(3\mid1,5) \\[5pt]
y&=&1\cdot(x-3)^2+1,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/841f8f47d554fa19cabe32952cdc2b52764b51b84305376291b5c3ac19cc1e1a?color=5a5a5a)
Die Parabelgleichung lautet also 
3. Schritt: Schnittpunkt berechnen
in eine Parabelgleichung einsetzen, um zu berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&(x-3)^2+1,5 \quad \scriptsize \mid\; x=2 \\[5pt]
&=&(2-3)^2+1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
&=& 1+1,5 &\quad \scriptsize \\[5pt]
y&=& 2,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/79ed709f51a158a8392d387edc7510e6a5ea13bc395e2fd5261e01e702069e48?color=5a5a5a)
Die Koordinaten des gemeinsamen Punkts sind also 
Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{Dreieck}}&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{N_1N_2}\cdot h&\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{LE} \cdot 2,5\,\text{LE}&\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{N_1N_2T}&=& \underline{\underline{ 7,5 \,\text{FE}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/204c4dcdbd1d42b827f132bded66f94a262f8c452e960f37c55b616512004d6a?color=5a5a5a)
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt 
Maximalen Flächeninhalt begründen
Da sich nur auf oberhalb der -Achse bewegt und die -Koordinate von die Höhe des Dreiecks beschreibt, wird diese im Scheitelpunkt von maximal sein. Das heißt: 
Abschlussprüfung 2015