Geometrie im Raum

Aufgabe 1

Eines der Manteldreiecke der regelmäßigen fünfseitigen Pyramide ist grau gefärbt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{B S} &=& 12,0\,\text{cm} \\ \varphi &=& 40,0^{\circ} \end{array}$

Berechne das Volumen der Pyramide.

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2024

Aufgabe 2

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem quadratischen Prisma mit aufgesetzter quadratischer Pyramide. Dieser zusammengesetzte Körper wurde durch einen Parallelschnitt halbiert.
Die Schnittfäche $A_s$ ist grau eingefärbt.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&16,3\,\text{cm}\\ \alpha&=&68,9^\circ\\ h_{\text {ges}}&=&20,6\,\text{cm} \end{array}$

Berecḥne den Flächeninhalt der Schnittfläche $A_s.$

(4 P)

Abschlussprüfung 2023

Aufgabe 3

1000 Wachskugeln werden eingeschmolzen. Sie haben jeweils einen Radius von 1,5 cm. Mit diesem eingeschmolzenen Wachs werden quadratische Pyramiden gegossen. Dazu wird die abgebildete Gussform verwendet. Diese wird vollständig mit Wachs gefüllt.

Es gilt:

$\begin{aligned} a_w&=10,0\,\text{cm}\,(\text {Grundkante Würfel}) \\ s &=9,0\,\text{cm} \\ t &=1,0\,\text{cm} \end{aligned}$

Wie viele solcher Pyramiden können mit dem eingeschmolzenen Wachs gegossen werden?

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2022

Aufgabe 4

Ein Kunstwerk setzt sich aus einer Halbkugel und einem Kegel zusammen.

Diagramm einer Schale mit geometrischen Elementen wie Höhe und Winkel.

Es gilt:

$s=3,7\,\text{m}$

$h_\text{ges}=5,1\,\text{m}$

$\alpha=72,0^\circ$

Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

Dieses Kunstwerk soll mit Farbe angestrichen werden.
Eine 1-Liter-Farbdose reicht für $10 \,\text{m}^2.$

Wie viele Dosen müssen gekauft werden?

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2021

Aufgabe 5

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Zylinder mit aufgesetztem Kegel.

Diagramm eines geometrischen Körpers mit beschrifteten Seiten und Höhen.

(Querschnitt des Körpers, Skizze nicht maßstäblich)

Es gilt:

$A_{\text{Kreis}}=200\,\text{cm}^2$ (Grundfläche des Kegels)

$e=28\,\text{cm}$

Der Durchmesser $d$ entspricht der Seitenkante $s$ des Kegels.

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers

(4 P)

Musterprüfung 1

Aufgabe 6

Gegeben ist eine quadratische Pyramide.

Es gilt:

$s=6,2\,\text{cm}$
$\alpha=58^\circ$

Berechne das Volumen der Pyramide.

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Winkeln und Linien. Beschriftungen: s und α.

(Skizze nicht maßstäblich)

(3 P)

Musterprüfung 2

Aufgabe 7

Ein Werkstück besteht aus einem Kegel und einem halben Zylinder.

Technische Zeichnung eines Kegels und Quaders mit Maßangaben.

(Maße in cm)

Berechne den Oberflächeninhalt des Werkstücks.

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2020

Aufgabe 8

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus einem Würfel und zwei quadratischen Pyramiden.

Geometrisches Diagramm mit einem Pyramiden- und Würfelaufbau sowie markierten Punkten und Linien.

Die Pyramiden haben die gleiche Höhe.
Es gilt:

$s=8,5\,\text{cm}$
$\epsilon = 41,4^{\circ}$

Berechne den Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers.

Wie weit sind die beiden Pyramidenspitzen $A$ und $B$ voneinander entfernt?

(4 P)

Abschlussprüfung 2019

Aufgabe 9

Die Abbildung zeigt ein quadratisches Prisma und einen zusammengesetzten Körper.

Schematische Darstellung eines Quaders und eines Kegels mit Beschriftungen für Maße.

Der zusammengesetzte Körper besteht aus einem Kegel mit aufgesetztem Zylinder.

Das quadratische Prisma ist vollständig mit Wasser gefüllt. Dieses Wasser wird in den zusammengesetzten Körper umgefüllt.
Es gilt:

$a= 10,0\,\text{cm}$
$h_{\,\text{Pr}} = h_{\,\text{ges}} = 25,0\,\text{cm}$
$s= 20,0\,\text{cm}$
$d= 17,8\,\text{cm}$

Wie hoch steht das Wasser im zusammengesetzten Körper?

(4 P)

Abschlussprüfung 2018

Aufgabe 10

Ein Körper setzt sich aus einem halben Zylinder und einer quadratischen Pyramide zusammen.

Geometrische Darstellung eines Dreiecks mit Höhenlinie und Kreisbogen.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h_P&=&16,0 \text{ cm} \\[5pt] \epsilon&=&58,0 ^{\circ} \end{array}$

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

(4,5 P)

Abschlussprüfung 2017

Aufgabe 11

Ein Zylinder und ein Kegel haben gleich große Mantelflächen. Die Durchmesser der beiden Grundflächen sind ebenfalls gleich.

Diagramm eines Zylinders und eines Kegels mit Kennzeichnung der Durchmesser d und der schrägen Seite s.

Es gilt:

$M_{Zyl}=M_{Ke}=340 \,\text{cm}^2$
$s=18,0 \,\text{cm}$

Berechne die Differenz der beiden Rauminhalte.

(4 P)

Abschlussprüfung 2016

Aufgabe 12

Ein Kegel ist teilweise mit Wasser gefüllt. Dabei nimmt das Wasser die Hälfte des Kegelvolumens ein.
Dieses Wasser soll vollständig in eine quadratische Pyramide umgefüllt werden.

Es gilt:

$d_K=20\,\text{cm}$
$h_K=30\,\text{cm}$
$a\hspace{.3cm}=16\,\text{cm}$
$s_P\hspace{.1cm}=24\,\text{cm}$

Läuft das Wasser über?
Überprüfe durch Rechnung.

(3,5 P)

Abschlussprüfung 2015

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Lösung 1

1. Schritt: $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$\overline{BC}=\underline{8,21\,\text{cm}}$

2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_S}$ einer Seitenfläche berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_S=\underline{11,28\,\text{cm}}$

3. Schritt: $\boldsymbol{h_a}$ berechnen

Der Innenwinkel eines Kreises beträgt $360°.$ Da es sich um ein regelmäßiges Fünfeck handelt, hat der eingezeichnete Winkel eine Größe von $\dfrac{360°}{10}=36°.$

$\begin{array}[t]{rll} \tan 36°&=& \dfrac{\frac{1}{2}\overline{BC}}{h_a} \\[5pt] \tan 36°&=& \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm}}{h_a} \quad \scriptsize \mid\;\cdot h_a \\[5pt] \tan 36°\cdot h_a&=& \dfrac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\tan 36° \\[5pt] h_a&=& \dfrac{\frac{1}{2}\cdot 8,21\,\text{cm}}{\tan 36°} \\[5pt] h_a&=& \underline{5,66\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: $\boldsymbol{h_\textbf{Pyr}}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_\text{Pyr}= \underline{9,76\,\text{cm}}$

5. Schritt: Volumen berechnen

Rechenweg anzeigen

$V= \underline{\underline{378\,\text{cm}^3}}$

Abschlussprüfung 2024

Lösung 2

1. Schritt: Länge von $a$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\frac{a}{2}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \cos\alpha\cdot s&=&\dfrac{a}{2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2\cos\alpha\cdot s&=&a\\[5pt] a&=&2\cos\alpha\cdot s\\[5pt] &=&2\cos 68,9^\circ\cdot 16,3\,\text{cm}\\[5pt] a&=&\underline{11,74\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $h_s$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=&\dfrac{h_s}{s}\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin\alpha\cdot s&=& h_s\\[5pt] h_s&=&\sin 68,9^\circ\cdot 16,3\,\text{cm}\\[5pt] h_s&=&\underline{15,21\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge von $\boldsymbol{h_\text{Pyramide}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\text{Pyramide}^2&=&h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] h_\text{Pyramide}&=&\sqrt{h_s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(15,21\,\text{cm})^2-\left(\frac{11,74\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt] h_\text{Pyramide}&=&\underline{14,03\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge von $\boldsymbol{h_\text{Prisma}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_\text{Prisma}&=&h_\text{ges}-h_\text{Pyramide} \\[5pt] &=&20,6\,\text{cm}-14,03\,\text{cm} \\[5pt] h_\text{Prisma}&=&\underline{6,57\,\text{cm}} \end{array}$

4. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&h_\text{Prisma}\cdot a+\dfrac{1}{2}h_\text{Pyramide}\cdot a \\[5pt] &=&6,57\,\text{cm}\cdot 11,74\,\text{cm}+\dfrac{1}{2}\cdot 14,03\,\text{cm}\cdot 11,74\,\text{cm}\\[5pt] A_S&=&\underline{\underline{159,5\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2023

Lösung 3

1. Schritt: Volumen der Schmelze berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Schmelze}}&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3\cdot 1000 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (1,5\,\text{cm})^3\cdot 1000 \\[5pt] V_{\,\text{Schmelze}}&=& \underline{ 14137\,\text{cm}^3} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{a_P}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} a_P&=&a_w-2\cdot t \\[5pt] &=& 10,0 \,\text{cm} -2\cdot 1,0\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{ 8,0\,\text{cm} } \end{array}$

3. Schritt: Länge der Seite $\boldsymbol{h_S}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_S^2+\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2&=& s^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \\[5pt] h_S^2&=& s^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] &=& \sqrt{s^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(9\,\text{cm})^2 -(4\,\text{cm})^2} \\[5pt] h_S&=& \underline{ 8,06\,\text{cm} } \\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Länge der Höhe $\boldsymbol{h_P}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_P^2+\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2&=& h_S^2 \qquad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h_P^2&=& h_S^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] h_P&=& \sqrt{h_S^2 -\left(\dfrac{a_P}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(8,06\,\text{cm})^2 -(4\,\text{cm})^2} \\[5pt] h_P&=& \underline{ 7,0\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& \dfrac{1}{3}\cdot a_P^2\cdot h_P \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (8\,\text{cm})^2\cdot 7,0\,\text{cm} \\[5pt] V_P&=& \underline{ 149 \,\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$

6. Schritt: Anzahl der Pyramiden berechnen

$V_{\,\text{Schmelze}}:V_P=14137\,\text{cm}^3:149 \,\text{cm}^3$ $= 94,88$

Es können $\underline{\underline{ 94\,\text{Pyramiden}}}$ aus dem Wachs gegossen werden.

Abschlussprüfung 2022

Lösung 4

Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers berechnen

A) Mantelflächeninhalt des Kegels

1. Schritt: Radius $r_{\text{Kegel}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{r_{\text{Kegel}}}{s} \quad \scriptsize \mid\; \cdot s\\[5pt] \cos(\alpha)\cdot s&=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] \cos(72^{\circ})\cdot 3,7\,\text{m} &=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] 1,14\,\text{m}&=& r_{\text{Kegel}} \\[5pt] r_{\text{Kegel}}&=& \underline{ 1,14\,\text{m}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Mantelfächeninhalt des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\,\text{Kegel}}&=& \pi \cdot r_{\,\text{Kegel}} \cdot s \\[5pt] &=& \pi\cdot 1,14\,\text{m}\cdot 3,7\,\text{m} \\[5pt] &=& \underline{ 13,25\,\text{m}^2} \end{array}$

B) Oberflächeninhalt der Halbkugel

1. Schritt: Höhe $h_\text{Kegel}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_\text{Kegel}}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot s &=& h_\text{Kegel} \\[5pt] \sin(72^{\circ})\cdot 3,7\,\text{m} &=& h_\text{Kegel} \\[5pt] 3,52\,\text{m}&=& h_\text{Kegel} \\[5pt] h_\text{Kegel}&=& \underline{ 3,52\,\text{m}} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Radius $r_\text{Halbkugel}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r_\text{Halbkugel}&=& h_{ges} - h_\text{Kegel} \\[5pt] &=& 5,1\,\text{m}-3,52\,\text{m} \\[5pt] &=& \underline{ 1,58\,\text{m}} \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt der Halbkugel berechnen

Rechenweg anzeigen

$O_\text{Halbkugel}= \underline{ 23,53\,\text{m}^2}$

C) Grundfläche des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi \cdot r_{\text{Kegel}}^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot (1,14\,\text{m})^2 \\[5pt] &=& \underline{ 4,08\,\text{m}^2} \end{array}$

D) Oberflächeninhalt des Kunstwerks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& M_\text{Kegel}+O_\text{Halbkugel}-A \\[5pt] &=& 13,25\,\text{m}^2+23,53\,\text{m}^2-4,08\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 32,7\,\text{m}^2}} \end{array}$

Wie viele Dosen müssen gekauft werden?

$\dfrac{32,7}{10,0}= 3,27$

Es werden also $\underline{\underline{\text{ vier Dosen}}}$ benötigt.

Abschlussprüfung 2021

Lösung 5

1. Schritt: Mantelflächeninhalt des Kegels berechnen

Radius $r$ mit der Formel des Kreis-Flächeninhalts berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \pi\cdot r^2 \\[5pt] 200\,\text{cm}^2&=&\pi \cdot r^2 \quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{200\,\text{cm}^2}{\pi}&=&r^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] r&=&7,98\,\text{cm} \end{array}$

Außerdem gilt: $s=d=2\cdot r=2\cdot 7,98=15,96\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} M_{\text{Kegel}}&=&\pi\cdot r\cdot s &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi\cdot 7,98\,\text{cm}\cdot 15,96\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] &= & \underline{ 400,12\,\text{cm}^2} \end{array}$

2. Schritt: Mantelflächeninhalt des Zylinders berechnen

Höhe des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h^2+d^2&=&e^2 \quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-d^2 \\[5pt] h^2&=&e^2-d^2 \quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt{e^2-d^2}\\[5pt] h&=&\sqrt{(28\,\text{cm})^2-(15,96\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&23,01\,\text{cm} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} M_{\text{Zylinder}}&=&2\pi\cdot r\cdot h &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2\pi\cdot 7,98\,\text{cm}\cdot 23,01\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& \underline{ 1153,72\,\text{cm}^2} \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt des Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& M_{\text{Kegel}}+M_{\text{Zylinder}}+A&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 400,12\,\text{cm}^2+1153,72\,\text{cm}^2+200\,\text{cm}^2&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 1753,84\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Musterprüfung 1

Lösung 6

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{h_a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_a}{s} \quad \scriptsize \mid\;\cdot\, s\\[5pt] h_a&=&\sin(\alpha)\cdot \, s \\[5pt] &=&\sin(58^{\circ})\cdot 6,2\,\text{cm} \\[5pt] h_a&=&\underline{ 5,26\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=&\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h_{a}\,^2 \quad \scriptsize \mid\; -\,h_a\,^2 \\[5pt] \left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2-h_a\,^2 \\[5pt] \left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&(6,2\,\text{cm})^2-(5,26\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \dfrac{a}{2}&=&\sqrt{(6,2\,\text{cm})^2-(5,26\,\text{cm})^2} \\[5pt] \dfrac{a}{2}&=&3,28\,\text{cm}\quad \scriptsize \mid\;\cdot\, 2 \\[5pt] a&=&\underline{ 6,56\,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{h}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_a\,^2&=&\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2 \quad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&h_a\,^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&(5,26\,\text{cm})^2-(3,28\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt{(5,26\,\text{cm})^2-(3,28\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&=&\underline{ 4,11\,\text{cm} }\\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \cdot (6,56\,\text{cm})^2\cdot 4,11\,\text{cm}\\[5pt] V&=&\underline{\underline{ 59\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Musterprüfung 2

Lösung 7

Radius des Kegels berechnen

$r=28\,\text{cm}:2=\underline{ 14\,\text{cm}}$

Kantenlänge des Kegelmantels berechnen

Körper - Realschulabschluss Baden-Württemberg 2020

$\begin{array}[t]{rll} k^2&=&(30,6\,\text{cm})^2+(14,0\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] k&=&\sqrt{(30,6\,\text{cm})^2+(14,0\,\text{cm})^2} \\[5pt] k&=&\underline{ 33,65\,\text{cm}} \end{array}$

Oberflächeninhalt berechnen

Rechenweg anzeigen

$O= \underline{\underline{ 3679,37\,\text{cm}^2}}$

Abschlussprüfung 2020

Lösung 8

Berechnung des Oberflächeninhalts $\boldsymbol{O}$

1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=& \dfrac{\dfrac{a}{2}}{s}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot s\\[5pt] \dfrac{a}{2}&=& \sin\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot s \\[5pt] \dfrac{a}{2} &=& \sin(20,7^{\circ})\cdot 8,5 \,\text{cm} \\[5pt] \dfrac{a}{2} &=& 3,00 \,\text{cm} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] a&=&\underline{ 6,00 \,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{h}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right)&=& \dfrac{h}{s}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot s \\[5pt] h &=& \cos\left(\dfrac{\epsilon}{2}\right) \cdot s \\[5pt] h &=& \cos(20,7^{\circ}) \cdot 8,5\,\text{cm} \\[5pt] h &=& \underline{ 7,95 \,\text{cm}} \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt $O$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot M_{\text{Pyramide}} + 4 \cdot A_{\text{Quadrat}} \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot a \cdot h + 4 \cdot a \cdot a \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot 6 \,\text{cm} \cdot 7,95 \,\text{cm} + 4 \cdot 6 \,\text{cm} \cdot 6 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 334, 8\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Berechnung der Entfernung der beiden Pyramidenspitzen

Geometrische Darstellung eines dreidimensionalen Objekts mit verschiedenen Linien und Höhen.

1. Schritt: Pyramidenhöhe $\boldsymbol{h_P}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_P ^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 &=& h^2 \qquad \scriptsize \mid\; -\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h_P ^2 &=& h^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h_P ^2 &=& (7,95 \,\text{cm})^2 - (3,00 \,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] h_P &=& \sqrt{(7,95 \,\text{cm})^2 - (3,00 \,\text{cm})^2} \\[5pt] h_P &=& \underline{ 7,36\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Längen der Strecken $\overline{MA}$ und $\overline{MB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{MA}&=& h_P + \dfrac{a}{2} \\[5pt] &=& 7,36\,\text{cm} + 3,00 \,\text{cm} \\[5pt] &=& 10,36 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \overline{MB} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} (\overline{AB})^2&=& (\overline{MA})^2+(\overline{MB})^2\\[5pt] (\overline{AB})^2&=& (10,36 \,\text{cm})^2+(10,36 \,\text{cm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{AB}&=& \sqrt{(10,36 \,\text{cm})^2+(10,36 \,\text{cm})^2} \\[5pt] \overline{AB}&=& 14,65 \,\text{cm}\\[5pt] \overline{AB}&=& \underline{\underline{ 14,7 \,\text{cm}}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2019

Lösung 9

1. Schritt: Volumen des Wassers berechnen

Volumen des Prismas = Volumen des Wassers

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Prisma}}&=& a \cdot a\cdot h_{\text{Pr}} \\[5pt] &=& 10\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \cdot 25\,\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Prisma}}&=& \underline{ 2\,500\,\text{cm}^3} \end{array}$

2. Schritt: Höhe des Kegels berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_K= 17,91\,\text{cm}$

3. Schritt: Volumen des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Kegel}}&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2\cdot h_{\,\text{K}} \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\frac{17,8\,\text{cm}}{2}\right)^2\cdot 17,91\,\text{cm} \\[5pt] V_{\text{Kegel}}&=& \underline{ 1\,485,61\,\text{cm}^3}\\[5pt] \end{array}$

4. Schritt: Volumen des Wassers im Zylinder berechnen

Da $1\,485,61\,\text{cm}^3$ Wasser den Kegel füllen, gilt für den Zylinder:

$2\,500\,\text{cm}^3 - 1\,485,61\,\text{cm}^3 = \underline{ 1\,014,39\,\text{cm}^3}$

5. Schritt: Höhe des Wassers im Zylinder berechnen

Das Wasser, das in den Zylinder läuft, bildet einen neuen, kleineren Zylinder. Dieser hat den gleichen Durchmesser $d$ aber eine neue Höhe $h_W.$

$V= \pi \cdot \left(\frac{\,\text{d}}{2}\right)^2 \cdot\,\text{h}_{\text{W}}$

Rechenweg anzeigen

$\,\text{h}_{\text{W}}=\underline{ 4,08\,\text{cm}}$

6. Schritt: Gesamtfüllhöhe des Wassers berechnen

$17,91\,\text{cm} +4,08\,\text{cm} = 21,99\,\text{cm}$

Im zusammengesetzten Körper steht das Wasser also ca. $\underline{\underline{ 22,0\,\text{cm}}}$ hoch.

Abschlussprüfung 2018

Lösung 10

1. Schritt: Mantelfläche der Pyramide berechnen

Höhe $\boldsymbol{h_S}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\varepsilon)&=& \dfrac{h_P}{h_S} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h_S \,\, \mid\; :\sin(\varepsilon)\\[5pt] h_S&=& \dfrac{h_P}{\sin(\varepsilon)} \\[5pt] &=& \dfrac{16 \,\text{cm}}{\sin(58^{\circ})} \\[5pt] h_S&=& \underline{18,87\,\text{cm}} \end{array}$

Geometrische Darstellung eines Kegels mit Beschriftungen zu Höhen und Radien.

Länge der Strecken $\boldsymbol{r}$ und $\boldsymbol{a}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h_S^2&=& r^2 + h_P^2 \\[5pt] (18,87\,\text{cm})^2-(16\,\text{cm})^2 &=& r^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,} \\[5pt] r&=& \underline{10 \,\text{cm}} \end{array}$

Damit ergibt sich $a=2 \cdot 10\,\text{cm}=\underline{20\,\text{cm}.}$

Inhalt der Mantelfläche der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\,\text{P}}&=& 2 \cdot a \cdot h_S \\[5pt] &=& 2 \cdot 20 \,\text{cm} \cdot 18,87 \,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{754,80 \,\text{cm}^2} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Inhalt der Mantelfläche des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_Z&=& \dfrac{1}{2} (2 \pi r\cdot (r+a)) \\[5pt] &=& \frac{1}{2} (2 \pi \cdot 10\,\text{cm}\cdot (10\,\text{cm}+20\,\text{cm} )) \\[5pt] &=& \underline{942,48 \,\text{cm}^2 } \end{array}$

3. Schritt: Oberflächeninhalt des zusammengesetzten Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{gesamt}}&=& M_{\,\text{P}} + O_{\text{Z}} \\[5pt] &=& 754,80 \,\text{cm}^2 + 942,48 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 1697,28 \,\text{cm}^2\\[5pt] O_{\text{gesamt}}&=& \underline{\underline{1697,3 \,\text{cm}^2}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2017

Lösung 11

Pflichtbereich Kegel Zylinder Volumen Mantelfläche

1. Schritt: Volumen des Kegels berechnen

Radius $r$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\text{Ke}}&=&\pi\cdot r\cdot s \quad \scriptsize \mid\;:s\, :\pi \\[5pt] r&=&\dfrac{M_{\text{Ke}}}{s\cdot \pi} \\[5pt] r&=&\dfrac{340\,\text{cm}^2}{18\,\text{cm}\cdot \pi} \\[5pt] r&=&\underline{ 6,01\,\text{cm}} \end{array}$

Höhe $h_{\text{K}}$ des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r^2+h_{\text{K}}\,^2 &=& s^2\quad \scriptsize \mid\;-\,r^2 \\[5pt] h_{\text{K}}^2&=&s^2-r^2 \quad\quad \scriptsize \mid\;\,\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] h_{\text{K}}&=&\sqrt{s^2-r^2} \\[5pt] h_{\text{K}}&=&\sqrt{(18\,\text{cm})^2-(6,01\,\text{cm})^2} \\[5pt] h_{\text{K}}&=&\underline{ 16,97\,\text{cm}} \end{array}$

Somit gilt für das Volumen des Kegels:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Ke}}&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h_{\text{K}} & \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (6,01\,\text{cm})^2\cdot 16,97\,\text{cm} \\[5pt] V_{\text{Ke}} &=&\underline{ 641,89\,\text{cm}^3} \end{array}$

2. Schritt: Volumen des Zylinders berechnen

Höhe $h_\text{Z}$ des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} M_{\text{Zyl}}&=&2\pi\cdot r\cdot h_\text{Z} &\quad \scriptsize \mid\;:2\pi \,\mid\;: r \\[5pt] h_Z&=&\dfrac{M_{\text{Zyl}}}{2 \pi\cdot r} \\[5pt] h_Z&=&\dfrac{340\,\text{cm}^2}{2\cdot \pi\cdot 6,01\,\text{cm} } \\[5pt] h_Z&=&\underline{ 9,0\,\text{cm}} \end{array}$

Somit gilt für das Volumen des Zylinders:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Zyl}}&=&\pi\cdot r^2\cdot h_\text{Z} & \\[5pt] &=&\pi\cdot (6,01\,\text{cm})^2\cdot 9,0\,\text{cm} \\[5pt] V_{\text{Zyl}} &=&\underline{ 1021,27\,\text{cm}^3} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Differenz der beiden Rauminhalte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_{\text{Zyl}} -V_{\text{Ke}} \\[5pt] &=& 1021,27\,\text{cm}^3-641,89\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=&379,38\,\text{cm}^3 \\[5pt] V&=& \underline{\underline{ 379,4\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Abschlussprüfung 2016

Lösung 12

Volumen der Pyramide berechnen

1. Schritt: Länge der Diagonale $\boldsymbol{l}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} l^2&=& a^2+a^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] l&=&\sqrt{a^2+a^2} &\quad \scriptsize \\[5pt] l&=& \sqrt{(16\,\text{cm})^2+ (16\,\text{cm})^2}&\quad \scriptsize \\[5pt] l&=& \underline{ 22,63\,\text{cm}} \end{array}$

2. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h_P}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$h_P= \underline{ 21,17 \,\text{cm}}$

3. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_P&=&\dfrac{1}{3}\cdot G_P \cdot h_P &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot (16\,\text{cm})^2\cdot 21,17\,\text{cm}&\quad \scriptsize \\[5pt] V_P&= & \underline{ 1806,51 \,\text{cm}^3} \end{array}$

4. Schritt: Volumen des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h_K &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d_K}{2}\right)^2 \cdot h_K &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{20\,\text{cm} }{2}\right)^2 \cdot 30\,\text{cm} &\quad \scriptsize \\[5pt] V_K&= & \underline{ 3\,141,59 \,\text{cm}^3} \end{array}$

5. Schritt: Beurteilen

Da der Kegel nur zur Hälfte gefüllt ist, gilt für die Wassermenge $V_W:$

$\begin{array}[t]{rll} V_W&=& \dfrac{V_K}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{3141,59\,\text{cm}^3}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] V_W&=& \underline{ 1\,570,80 \,\text{cm}^3} \end{array}$

Da das Volumen der Pyramide mit $1\,806,51 \,\text{cm}^3$ größer als das Volumen der Wassermenge mit $1\,570,80 \,\text{cm}^3$ ist, läuft das Wasser nicht über.

Abschlussprüfung 2015

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