Wahlaufgaben

Geometrie

Im Crottendorfer Räucherkerzenland wurde das Modell einer Riesenräucherkerze mit einer Höhe von $15$ Metern aufgestellt. Die Außenfläche soll vollständig gestrichen werden.

Für fünf Quadratmeter wird ein Liter Farbe benötigt.

Weise rechnerisch nach, dass $60$ Liter Farbe ausreichend sind.
Nutze die maßstäbliche Darstellung, um fehlende Größen zu ermitteln.

(8 BE)

Zeichne die Grundfläche der Crottendorfer Räucherkerze im Maßstab $1:100.$

(2 BE)

Thüringen qualifizierender Hauptschulabschluss 2022 Crottendorfer Räuchekerzenland

Funktionen

In folgender Tabelle ist die Entwicklung der Nutzung von Windenergie in Thüringen dargestellt.

Jahr	Genutzte Leistung in MW
$2000$	$181,30$
$2005$	$501,88$
$2010$	$754,18$
$2015$	$1199,99$
$2016$	$1333,00$

Quelle: Thüringer Allgemeine, 6. Januar 2018, Seite 5.

Gib an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind.

(A)	Die genutzte Leistung von Windenergie in Thüringen erhöhte sich von $2005$ bis $2010$ auf etwa $150\,\%$ .
(B)	Von $2015$ bis $2016$ erhöhte sich die genutzte Leistung der Windenergie in Thüringen um $\frac{1}{3}$ .
(C)	Die genutzte Leistung der Windenergie in Thüringen erhöhte sich von $2000$ bis $2016$ auf mehr als das Siebenfache.

(3 BE)

Berechne, um wieviel Prozent sich die genutzte Leistung der Windenergie in Thüringen von $2015$ bis $2016$ erhöhte.

(3 BE)

Stelle die Entwicklung der genutzten Leistung der Windenergie in Thüringen von $2000$ bis $2015$ in einem geeigneten Diagramm graphisch dar.

(4 BE)

Stochastik

8.1

Dargestellt sind die Durchschnittstemperaturen auf dem Großen Inselsberg der ersten $14$ Tage im Juni $2018.$

Datum	Durchschnitts- temperatur in °C
1.6.	$17,5$
2.6.	$15,0$
3.6.	$15,5$
4.6.	$17,5$
5.6.	$14,0$
6.6.	$16,5$
7.6.	$16,5$
8.6.	$19,0$
9.6.	$19,0$
10.6.	$16,5$
11.6.
12.6.	$11,5$
13.6.	$9,0$
14.6.	$13,0$

Gib die Durchschnittstemperatur vom 11.06.2018 an.

(1 BE)

Gib das Minimum, das Maximum und die Spannweite der dargestellten Durchschnittstemperaturen an.

(3 BE)

Gib den Modalwert für die Durchschnittstemperaturen in den ersten $14$ Tagen im Juni $2018$ an.

(1 BE)

Berechne das arithmetische Mittel der Durchschnittstemperaturen der ersten sieben Tage im Juni $2018.$

(2 BE)

8.2

Ein idealer Spielwürfel (A) mit den Augenzahlen $1$ bis $12$ oder ein idealer Spielwürfel (B) mit den Augenzahlen $1$ bis $20$ kann einmal geworfen werden.

Würfelt man eine durch sechs teilbare Zahl, hat man gewonnen. Du möchtest das Spiel gewinnen.
Wähle einen Würfel aus und begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

Arithmetik/Algebra

9.1

Gib an, ob A, B oder C die Lösung der Gleichung ist.
Begründe rechnerisch.

$21+\dfrac{1}{2}x=27$

A: $x=24$
B: $x=6$
C: $x=12$

(2 BE)

9.2

Berechne.

$\dfrac{3a+4b}{b}$ für $a=-7$ und $b=5$

(1 BE)

$3\cdot 10^2-7,5\cdot 10^3+8\cdot 10^3$

(1 BE)

9.3

In einer Verpackung befinden sich acht gleichgroße Käseecken mit einer Gesamtmasse von $\frac{1}{4}\,\text{kg}.$ Zum Frühstück werden davon drei Käseecken gegessen.

Berechne die Masse der restlichen Käseecken in Gramm.

(3 BE)

9.4

Ein Paket ist $45\,\text{cm}$ lang, $30\,\text{cm}$ breit und $20\,\text{cm}$ hoch. Dieses Paket wurde, wie in der Abbildung dargestellt, verschnürt.

Für Knoten und Schleife wurden vier Dezimeter Schnur verwendet.

Berechne die Länge der gesamten Schnur.

Thüringen qualifizierender Hauptschulabschluss 2022 Geschenk

(3 BE)

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1. Schritt: Mantelflächeninhalt des Kegels berechnen

Größen abmessen

Abmessen der Größen ergibt z.B. (je nach Bildschirmeinstellung):

$h_{\text{abgemessen}}=4,5\,\text{cm},$ $s_{\text{abgemessen}}=4,7\,\text{cm}$ und $r_{\text{abgemessen}}=1,5\,\text{cm}$

Die Originalhöhe beträgt $h=15\,\text{m}.$

Damit können der Originalradius und die Originalseitenlänge berechnet werden.

Originalradius berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{15\,\text{m}}{4,5\,\text{cm}}&=&\dfrac{r}{1,5\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 1,5\,\text{cm} \\[5pt] \dfrac{15\,\text{m}\cdot 1,5\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}}&=&r \\[5pt] r&=&\dfrac{15\,\text{m}\cdot 1,5\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}} \\[5pt] r&=&5\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Originalseitenlänge berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{15\,\text{m}}{4,5\,\text{cm}}&=&\dfrac{s}{4,7\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 1,5\,\text{cm} \\[5pt] \dfrac{15\,\text{m}\cdot 4,7\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}}&=&s \\[5pt] s&=&\dfrac{15\,\text{m}\cdot 4,7\,\text{cm}}{4,5\,\text{cm}} \\[5pt] s&\approx&15,67\,\text{m}\approx15,7\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Mantelflächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_M&=&\pi\cdot r\cdot s \\[5pt] &=&\pi\cdot 5\,\text{m}\cdot 15,7\,\text{m} \\[5pt] A_M&\approx&246,6\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Nachweisen, dass die Farbe reicht

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\,\ell}{5\,\text{m}^2}&=&\dfrac{x}{246,6\,\text{m}^2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 246,6\,\text{m}^2 \\[5pt] \dfrac{1\,\ell\cdot 246,6\,\text{m}^2}{5\,\text{m}^2}&=&x \\[5pt] x&=&\dfrac{1\,\ell\cdot 246,6\,\text{m}^2}{5\,\text{m}^2} \\[5pt] x&=&49,32\,\ell\approx 49\,\ell \end{array}$

$\underline{\underline{49\,\ell\lt 60\,\ell}}$

Die $60\,\ell$ Farbe sind also ausreichend.

$1:100$ bedeutet, dass $1\,\text{cm}$ auf der Zeichenfläche $100\,\text{cm}$ in der Realität entspricht.

$5\,\text{m}$ (Länge des Originalradius) entspricht $500\,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1\,\text{cm}}{100\,\text{cm}}&=&\dfrac{r}{500\,\text{cm}} \\[5pt] \dfrac{1\,\text{cm}\cdot 500\,\text{cm}}{100\,\text{cm}}&=&r \\[5pt] r&=&\dfrac{1\,\text{cm}\cdot 500\,\text{cm}}{100\,\text{cm}} \\[5pt] r&=&\underline{\underline{5\,\text{cm}}} \end{array}$

Thüringen qualifizierender Hauptschulabschluss 2022 Räucherkerze Grundfläche

Aussage (A)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{501,88\,\text{MW}}{100\,\%}&=&\dfrac{754,18\,\text{MW}}{x}\\[5pt] x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 754,18\,\text{MW}}{501,88\,\text{MW}}\\[5pt] x&\approx&150\,\% \end{array}$

Die Aussage ist somit wahr.

Aussage (B)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1199,99\,\text{MW}}{100\,\%}&=&\dfrac{1333\,\text{MW}}{x}\\[5pt] x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 1333\,\text{MW}}{1199,99\,\text{MW}}\\[5pt] x&\approx&111\,\% \end{array}$

Das entspricht also einem Zuwachs von $11\,\%$ und nicht $\frac{1}{3}\approx 33\,\%.$

Die Aussage ist somit nicht wahr.

Aussage (C)

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{181,30\,\text{MW}}{100\,\%}&=&\dfrac{1333\,\text{MW}}{x}\\[5pt] x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 181,30\,\text{MW}}{1333\,\text{MW}}\\[5pt] x&\approx&735\,\% \end{array}$

Das entspricht mehr als dem Siebenfachen.

Die Aussage ist somit wahr.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1199,99\,\text{MW}}{100\,\%}&=&\dfrac{1333\,\text{MW}}{x}\\[5pt] x&=&\dfrac{100\,\%\cdot 1199,99\,\text{MW}}{1333\,\text{MW}}\\[5pt] x&\approx&111\,\% \end{array}$

Der Zuwachs beträgt somit $111\,\%-100\,\%=\underline{\underline{11\,\%}}.$

Darstellung z.B. als Säulendiagramm:

Thüringen qualifizierender Hauptschulabschluss 2022 Windenergie Säulendiagramm

8.1

Durch Ablesen erhält man $\underline{\underline{14^\circ\text{C}}}.$

Am 11.06.2018 betrug die Durchschnittstemperatur also $14^\circ\text{C}.$

Minimum (niedrigste Temperatur): $\underline{\underline{9^\circ\text{C}}}$

Maximum (höchste Temperatur): $\underline{\underline{19^\circ\text{C}}}$

Spannweite (Differenz zwischen höchster und niedrigster Temperatur): $19^\circ\text{C}-9^\circ\text{C}=\underline{\underline{10^\circ\text{C}}}$

Gib den Modalwert für die Durchschnittstemperaturen in den ersten $14$ Tagen im Juni $2018$ an.

Als Modalwert wird der häufigste Wert einer Stichprobe bezeichnet. In diesem Fall ist das der Wert $\underline{\underline{16,5^\circ\text{C}}}.$

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}=\dfrac{112,5^\circ\text{C}}{7}\approx \underline{\underline{16,1^\circ\text{C}}}$

Das artithmetische Mittel beträgt also ca. $16,1^\circ\text{C}.$

8.2

Spielwürfel $(A)$ : $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{10}{60}$

Spielwürfel $(B)$ : $\dfrac{3}{20}=\dfrac{9}{60}$

Die Gewinnchance ist also beim Spielwürfel $(A)$ höher. Daher würde ich mich für diesen entscheiden.

9.1

$\begin{array}[t]{rll} 21+\dfrac{1}{2}x&=&27 &\, \scriptsize \mid\;-21 \\[5pt] \dfrac{1}{2}x&=&6 &\, \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x&=&\underline{\underline{12}} \end{array}$

Also ist Lösung C richtig.

9.2

$\dfrac{3a+4b}{b}=\dfrac{3\cdot (-7)+4\cdot 5}{5}$ $=\dfrac{-21+20}{5}=\dfrac{-1}{5}=\underline{\underline{-0,2}}$

$3\cdot 10^2-7,5\cdot 10^3+8\cdot 10^3$ $=3\cdot 100-7,5\cdot 1000+8\cdot 1000$ $=300-7500+8000$ $=\underline{\underline{800}}$

9.3

1. Schritt: Gesamtmasse in Gramm umrechnen

$\dfrac{1}{4}\,\text{kg}$ entspricht $\dfrac{1000\,\text{g}}{4}=250\,\text{g}.$

2. Schritt: Masse der restlichen Käseecken berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 8x&=&250\,\text{g}\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] x&=&31,25\,\text{g} \end{array}$

Eine Käseecke wiegt $31,25\,\text{g}.$ Fünf Stück wiegen also $31,25\,\text{g}\cdot 5=156,25\,\text{g}.$

Die Masse der restlichen Käseecken beträgt also ca. $\underline{\underline{156\,\text{g}}}$ .

9.4

Die Länge der Schnur ohne Knoten und Schleife wird mit $x$ bezeichnet.

$x=6\cdot 20\,\text{cm}+4\cdot 30\,\text{cm}+2\cdot 45\,\text{cm}$

$x=120\,\text{cm}+120\,\text{cm}+90\,\text{cm}$

$x=330\,\text{cm}$

Damit ergibt sich für die Gesamtlänge inklusive Knoten und Schleife:

$330\,\text{cm}+40\,\text{cm}=\underline{\underline{370\,\text{cm}}}$

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