Aufgabe 3: Zahlenpaare

Merle hat Spaß an Zahlen und ist immer auf der Suche nach Tricks, um den Rechenaufwand einer Aufgabe zu verringern. Bei der Addition der Zahlen von 1 bis 10 bemerkt sie:
„Die beiden Zahlen 1 und 10 ergeben zusammen 11, ebenso wie die beiden Zahlen 2 und 9, die Zahlen 3 und 8 usw. Da ich so fünf Zahlenpaare jeweils mit dem Wert 11 bilden kann, muss ich nur $5 \cdot 11$ rechnen und erhalte das Ergebnis 55.“ (Abbildung 1)

Abbildung 1: Rechentrick für die Addition der Zahlen von 1 bis 10

Merle verwendet den Trick für aufwendigere Additionen. Damit die Rechnungen übersichtlich bleiben, ersetzt sie fehlende Summanden durch Pünktchen. In Abbildung 2 ist Merles Berechnung für die Summe der Zahlen von 1 bis 30 dargestellt.

Abbildung 2: Addition der Zahlen von 1 bis 30

Begründe, dass in den Kästchen die Zahlen 15 bzw. 31 stehen müssen.

Merle findet einen allgemeinen Term, um die Summe der Zahlen von $1$ bis $n$ zu berechnen.

Sie notiert $\dfrac{1}{2} n \cdot(n+1)$ .

(1)

Berechne mit dem Term den Wert der Summe für $n=40.$

(2)

Erläutere die Bedeutung der Faktoren $\frac{1}{2} n$ und $(n+1)$ im Zusammenhang mit dem Rechentrick.

Merles Freund Silas nutzt ebenfalls den Term und notiert dafür $24 \cdot 48=1152.$ Begründe, warum diese Rechnung nicht zu dem Rechentrick passen kann.

Merle formt den Term um und erhält $\frac{1}{2} n^2+\frac{1}{2} n.$

Berechne den Wert der Summe für $n=100$ mit diesem vereinfachten Term.

(1)

Berechne die beiden Lösungen der Gleichung $\frac{1}{2} n^2+\frac{1}{2} n=2080.$

(2)

Erkläre, warum nur eine Lösung für den Kontext sinnvoll ist.

„Bei meinem Rechentrick muss man die Summanden paarweise zusammenfassen. Daher nehme ich an, dass meine Formel für ungerade Zahlen nicht gilt“, meint Merle.

Silas hat eine Idee: „Wenn $u$ eine ungerade Zahl ist, dann ist $u-1$ eine gerade Zahl. Für gerade Zahlen kann ich Merles Formel nutzen und anschließend die fehlende Zahl addieren.“

Zeige mit Silas Idee, dass für ungerade Zahlen der Term $\frac{1}{2}(u-1) \cdot u+u$ gilt.