Prüfungsteil II (HT1/2)

Aufgabe 1: Glaskugel

Ein Unternehmen stellt lackierte Glaskugeln her (Abbildung 1).

Abbildung 1: Glaskugel

Die Glaskugeln haben einen Durchmesser von $8\,\text{cm}.$

Nach der Herstellung der Form wird die Kugeloberfläche lackiert. Mit einem Liter Farbe kann eine Fläche von $12 \,\text{m}^2$ lackiert werden.

Berechne, wie viele Glaskugeln mit einem Liter Farbe lackiert werden können.

Ein Praktikant behauptet: „Für eine Glaskugel mit doppeltem Durchmesser benötigt man viermal so viel Farbe.“
Weise allgemein nach, dass die Behauptung unabhängig von der Größe der Ausgangskugel stimmt.

Bevor die lackierten Glaskugeln verpackt werden, durchlaufen sie eine Qualitätskontrolle. Zuerst wird die Form, danach die Lackierung auf Fehler kontrolliert. Alle Glaskugeln mit einem Fehler werden direkt aussortiert. Das Baumdiagramm zeigt die Anteile. Die Anteile werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten gedeutet.

Ergänze die drei fehlenden Angaben im Baumdiagramm.

Begründe, warum der untere Ast des Baumdiagramms nicht fortgeführt ist.

Insgesamt werden 2000 Glaskugeln kontrolliert.
Berechne, wie viele fehlerfreie Glaskugeln zu erwarten sind.

Bei einer weiteren Kontrolle werden 3000 Kugeln überprüft. 261 Kugeln sind fehlerhaft.
Bestimme, um wie viel Prozent die tatsächliche Anzahl von der erwarteten Anzahl abweicht.

Aufgabe 2: Blobbing

Blobbing ist eine Wassersportart im Freien (Abbildung 1).

Ein Sprung von einer Plattform in einen See, umgeben von Zuschauern und Berglandschaft. Spaß und Action im Freien.

Abbildung 1: Ablauf eines Blobbing-Sprunges als überlagerte Aufnahme

Eine vereinfachte Darstellung des Ablaufs ist in Abbildung 2 dargestellt. Beim Blobbing liegt ein mit Luft gefülltes Kissen im Wasser.

Illustration eines Jumpers, der auf einen Blob springt und springt, mit drei Schritten dargestellt.

Abbildung 2: Vereinfachte Darstellung des Blobbing - Ablaufs (nicht maßstabsgetreu)

Der Jumper springt vom Turm auf das Luftkissen.

Auf der anderen Seite des Kissens ist der Blobber. Durch den Sprung befördert der Jumper den Blobber in die Luft.

Der Blobber wird in die Luft geschleudert und landet dann im Wasser.

Der Jumper kann zwischen verschiedenen Absprunghöhen wählen. Ein Sprung aus fünf Meter Höhe dauert ca. 1 Sekunde. Ein Sprung aus zehn Meter Höhe dauert ca. 1,42 Sekunden.

Absprunghöhe	Sprungdauer
$0\,\text{m}$	$0\,\text{s}$
$3\,\text{m}$	$0,77 \,\text{s}$
$5 \,\text{m}$	$1\,\text{s}$
$10\,\text{m}$	$1,42 \,\text{s}$
$15\,\text{m}$	$1,75\,\text{s}$

Abbildung 3: Leeres Koordinatensystem zu Aufgabenteil a)

Skizziere zu den Werten aus Tabelle 1 den passenden Graphen in dem abgebildeten Koordinatensystem (Abbildung 3).

Überprüfe, ob es zwischen der Absprunghöhe und der Sprungdauer einen linearen Zusammenhang gibt. Notiere deinen Lösungsweg.

Abbildung 4 zeigt die Flugbahn eines Blobbers A.

Abbildung 4: Flugbahn des Blobbers A

Begründe, dass sich die Funktion $f$ mit $f(x) = -0,2 \cdot (x-5)^2 + 6$ zur Modellierung der Flugbahn von Blobber A eignet.

Die Flugbahn von Blobber A kann somit durch die Funktion $f$ mit $f(x) = - 0,2 \cdot (x-5)^2 + 6$ beschrieben werden.

Die Funktionsgleichung $g$ mit $g(x)= - 0,2 \cdot x^2 + 2x + 1$ beschreibt dieselbe Flugbahn.
Zeige durch Termumformungen, dass die Funktionsgleichungen von $f$ und $g$ dieselbe Parabel beschreiben.

Berechne, wie weit Blobber A geflogen ist.

Die Flugbahn eines zweiten Blobbers B wird mit der Funktion $h$ mit
$h(x) = - 0,28 x^2 + 2,8x+1$ beschrieben.
Nenne eine Gemeinsamkeit und einen Unterschied der Flugbahn des zweiten Blobbers B im Vergleich zur Flugbahn von Blobber A.

Die Blobbing-Anlage muss aus Sicherheitsgründen so beschaffen sein, dass eine Flughöhe von 15 m nicht überschritten wird.

Zeige rechnerisch, dass auch der zweite Blobber B diese Flughöhe nicht überschreitet.

Aufgabe 3: Muster

Jan möchte ein Muster aus rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken konstruieren. Er beginnt mit dem Dreieck $D_1$ (Abbildung 1).

Abbildung 1: Dreieck $D_1$

Zeige mit einer Rechnung, dass die Länge der Hypotenuse von Dreieck $D_1$ ca. $4,243 \,\text{cm}$ beträgt.

Jan setzt das Muster mit den beiden weiteren Dreiecken $D_2$ und $D_3$ fort (Abbildung 2).

Abbildung 2: Muster bis Dreieck $D_3$ zu Teilaufgabe b) - d)

Ergänze das Dreieck $D_4$ zeichnerisch in der Abbildung 2. Beschreibe, wie du vorgegangen bist.

Begründe, wie viele Dreiecke gezeichnet werden können, ohne dass sich diese überschneiden.

Zeige rechnerisch, dass der Flächeninhalt von Dreieck $D_2$ doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt von Dreieck $D_1$ .

Jan berechnet weitere Flächeninhalte der Dreiecke in seinem Muster (Abbildung 3) und hält die Ergebnisse in einer Tabelle fest.

Dreieck	$D_1$	$D_2$	$D_3$	$D_4$	$D_5$	$...$
Flächen- inhalt (in cm²)	$4,5$	$9$	$18$	$36$	$72$	$...$

Abbildung 3: Muster bis Dreieck $D_5$

Begründe, dass kein Dreieck in dem Muster einen Flächeninhalt von genau $250 \,\text{cm}^2$ hat.

Jan möchte das Muster aus Papier herstellen. Dazu schneidet er die einzelnen Dreiecke aus DIN-A4-Blättern $(21\,\text{cm}$ x $29,7\,\text{cm})$ aus.
Jan behauptet: „Auch das Dreieck $D_8$ kann ich aus einem einzigen DIN-A4-Blatt ausschneiden.“
Entscheide begründet, ob Jans Behauptung zutrifft.

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Lösung 1: Glaskugel

$\begin{array}[t]{rll}O&=& 4\cdot\pi\cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot\pi\cdot (4\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 201\,\text{cm}^2 \end{array}$

$120\,000\,\text{cm}^2:201\,\text{cm}^2\approx 596,8$

Ungefähr 596 Glaskugeln können mit einem Liter Farbe lackiert werden.

Wird der Durchmesser verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Radius. Mit $r_2=2r$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} O_2&=& 4 \cdot \pi \cdot(2 r)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 4 \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot 4 \pi r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot O \end{array}$

Weil fehlerhafte Formen erst gar nicht weiterverarbeitet werden.

$2000\cdot 0,97\cdot 0,94=1823,6$

Es sind $1\,823$ fehlerfreie Glaskugeln zu erwarten.

Erwartete Anzahl fehlerhafter Kugeln:

$\begin{array}[t]{rll} 3000-3000\cdot 0,97\cdot 0,94&=& 3000 - 2735,4 \\[5pt] &=& 264,6 \end{array}$

Der prozentuale Anteil lässt sich wie folgt berechnen:

$\dfrac{261}{264,6}\approx 0,9863$

Die Abweichung der Anzahl der fehlerhaften Kugeln von der zu erwartenden Anzahl beträgt wegen $1-0,9863\approx 0,14$ ungefähr $1,4\,\%.$

Lösung 2: Blobbing

Nein, es gibt keinen linearen Zusammenhang, da sich keine Gerade durch die Punkte zeichnen lässt.

Der Scheitelpunkt lässt sich am Funktionsterm mit $S(5\mid 6)$ ablesen. Hier liegt also der Hochpunkt vor, was sich mit der Abbildung deckt.

Einsetzen von $f(0)=1$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 1 \\[5pt] a\cdot (0-5)^2+6&=& 1 \quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 25\cdot a &=& -5 \quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] a&=& -0,2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -0,2 \cdot(x-5)^2 \\[5pt] &=& -0,2 \cdot\left(x^2-10 x+25\right)+6 \\[5pt] &=& -0,2 x^2+2 x+-5+6\\[5pt] &=& -0,2 x^2+2 x+1\\[5pt] &=&g(x) \end{array}$

Nullstellen bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] -0,2x^2+2x+1&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;\cdot(-5) \\[5pt] x^2-10x-5&=& 0 \end{array}$

$x_{1,2}= -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-(-5)}$

$x_{1,2}= 5 \pm \sqrt{30}$

$x_1\approx -0,48$ , $x_2\approx 10,48$

Da die Flugweite der positiven Nullstelle entsprechen muss, ist Blobber A ungefähr 10,48 m weit geflogen.

Gemeinsamkeit: Beide starten in einer Höhe von einem Meter

Unterschied: Blobber B fliegt höher als Blobber A

Zu seigen ist, dass die Gleichung $h(x)=15$ keine Lösung hat:

$\begin{array}[t]{rll} -0,28x^2+2,8x+1&=&15 \quad \scriptsize \mid\;-15 \\[5pt] -0,28x^2+2,8x-14&=&0\quad \scriptsize \mid\;:(-0,28) \\[5pt] x^2-10x+50&=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-50} \\[5pt] x_{1,2}&=& 5 \pm \sqrt{25-50} \end{array}$

Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, existiert keine Lösung. Damit ist rechnerisch gezeigt, dass der zweite Blobber die erlaubte Flughöhe nicht überschreitet.

Lösung 3: Muster

Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}\\[5pt] &=&\sqrt{18\,\text{cm}^2}\\[5pt] &\approx & 4,243\,\text{cm} \end{array}$

Gerade mit rechtem Winkel zur Hypothenuse von $D_3$ einzeichnen
Kreis mit Radius der Hypothenuse von $D_3$ einzeichnen
Schnittpunkt von Kreis mit Gerade mit gemeinsamem Eckpunkt aller Dreiecke verbinden

Da alle Dreiecke rechtwinklig und gleichschenklig sind, sind ihre Basiswinkel $45^{\circ}$ groß.
Sie werden an einer Ecke kreisförmig zusammengelegt, an der ihr Innenwinkel $45^{\circ}$ groß ist.
Der Vollwinkel eines Kreises ist $360^{\circ}.$

$360 : 45 = 8$

Nach acht Dreicken ist der Kreis also geschlossen, sodass sich die Dreiecke bei einem neunten Dreieck überschneiden würden.

Für den Flächeninhalt von $D_1$ gilt:

$A_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 3^2 = 4,5\,[\text{cm}^2]$

Die Länge der Schenkel von $D_2$ entspricht der Länge der Hypotenuse von $D_1.$

Für den Flächeninhalt von $D_2$ folgt damit:

$A_2 =\dfrac{1}{2}\cdot (3\cdot \sqrt{2})^2 = 9\,[\text{cm}^2]$

Also gilt $A_2 = 2\cdot A_1.$ Der Flächeninhalt von Dreieck $D_2$ ist also doppelt so groß wie der Flächeninhalt von Dreieck $D_1.$

Der Flächeninhalt wird immer verdoppelt, es folgen auf $72$ die Zahlen $144$ und $288.$ Somit wird der Flächeninhalt $250\,\text{cm}^2$ nicht erreicht.

Das Blatt Papier müsste mindestens den doppelten Flächeninhalt besitzen wie das Dreieck.

Der Flächeninhalt des Dreiecks $D_8$ beträgt $A_8 = A_5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot = 576\,\text{cm}^2.$ Der Flächeninhalt eines DIN A4-Blattes beträgt:

$A_{\text{DIN A4}} = 21\,\text{cm} \cdot 29,7\,\text{cm} = 623,7\,\text{cm}^2$

Das Blatt Papier besitzt also nicht den doppelten Flächeninhalt wie das Dreieck. $D_8$ kann also nicht aus einem einzigen DIN A4-Blatt ausgeschnitten werden.

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