Prüfungsteil II (HT1/2)

Aufgabe 1: Rösti

Ein Unternehmen stellt nach eigenem Rezept aus Kartoffeln sogenannte Rösti her (Abbildung 1). Dazu wird der Teig in eine zylindrische Form gegossen (Abbildung 2) und anschließend gebacken. Für ein Rösti benötigt man 100 g Teig.

Abbildung 1: Rösti aus Kartoffeln

nrw msa realschule prüfung zylindrische form

Abbildung 2: zylindrische Form

$100 \,\text{g}$ Teig haben ein Volumen von $81\,\text{cm}^3.$

Berechne, wie viel Gramm ein Kubikzentimeter Teig wiegt.

Ein Rösti soll $2 \,\text{cm}$ dick sein und ein Volumen von $81\,\text{cm}^3$ haben.

Zeige, dass die zylindrische Form einen Durchmesser von ca. $7,2 \,\text{cm}$ haben muss.

Das Unternehmen möchte zusätzlich Mini-Rösti herstellen. Ein Mini-Rösti soll auch $2\,\text{cm}$ dick sein, aber nur das halbe Volumen haben.

Ein Mitarbeiter behauptet: „Für ein Mini-Rösti brauchen wir eine Form mit halbem Durchmesser!“

Hat er recht? Begründe deine Entscheidung.

Bevor die Rösti verpackt werden, wird zuerst das Gewicht und dann das Aussehen kontrolliert. Bei der Kontrolle des Gewichts erfüllen 98 % der Rösti die Vorgabe. Die anderen Rösti werden direkt aussortiert. Bei der anschließenden Kontrolle des Aussehens erfüllen 99 % die Vorgabe. Erneut werden die restlichen Rösti aussortiert.

Zeichne ein Baumdiagramm, das die beschriebene Situation darstellt.

Bei einer Kontrolle werden insgesamt 447 Röstis aussortiert. Entweder entsprachen das Gewicht oder das Aussehen nicht der Vorgabe.

Berechne, wie viele Röstis vermutlich kontrolliert wurden.

Aufgabe 2: Wassermelonen

Für ein Schulprojekt beschäftigt sich Sinja mit der Form und dem Wachstum von Wassermelonen.

Sinja hat eine nahezu kugelförmige Wassermelone gekauft, die einen Durchmesser von ca. $25\,\text{cm}$ hat (Abbildung 1).

Abbildung 1: aufgeschnittene Wassermelone

Zeige rechnerisch, dass diese Wassermelone ein Volumen von $V\approx8\,200 \,\text{cm}^3$ hat.

Die Schale der Wassermelone hat eine Dicke von $1,5\,\text{cm}$ (Abbildung 1).

Berechne den prozentualen Anteil des Fruchtfleisches an der ganzen Wassermelone.

Sinja entdeckt würfelförmige Wassermelonen, die in Japan verkauft werden (Abbildung 2).

würfelförmige wassermelone nrw msa prüfung 2022

Abbildung 2: würfelförmige Wassermelone

Eine würfelförmige Wassermelone hat ebenfalls ein Volumen von $V= 8\,200\,\text{cm}^3$

Bestätige durch eine Rechnung, dass diese Wassermelone eine Kantenlänge von ca. $20,2\,\text{cm}$ hat.

Entscheide durch eine Rechnung, ob die kugelförmige oder die würfelförmige Wassermelone eine größere Oberfläche hat.

Wassermelonen verdoppeln ihr Gewicht pro Woche unter idealen Wachstumsbedingungen. Sinja überlegt, wie sich das Gewicht einer 400 g schweren Wassermelone unter idealen Bedingungen voraussichtlich entwickelt. Sie erstellt dazu eine Tabelle.

Beobachtungswoche	Gewicht in g
0	400
1	800
2	1600
...	...

Berechne das Gewicht der Wassermelone nach 4 Wochen.

Sinja behauptet: „Der Graph in Abbildung 3 beschreibt das Wachstum dieser Wassermelone.“

Abbildung 3: Graph zum Wachstum der Wassermelone

Hat Sinja recht? Begründe deine Entscheidung.

Aufgabe 3: Parabel und Rechteck

Julia zeichnet mithilfe einer Geometriesoftware die Parabel $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=-0,5x^2+5,5$ in ein Koordinatensystem (Abbildung 1).

Abbildung 1: Parabel $f$ und Rechteck $A_1B_1C_1D_1$

Bestätige durch eine Rechnung, dass der Punkt $A_1(3|1)$ auf der Parabel $f$ liegt.

Begründe mit den Eigenschaften dieser Parabel, dass der Punkt $B_1(-3|1)$ ebenfalls auf dem Graphen von $f$ liegt.

Die Punkte $C_1$ und $D_1$ liegen auf der $x$ -Achse und bilden mit den Punkten $A_1$ und $B_1$ das Rechteck $A_1B_1C_1D_1$ .

Berechne den Umfang dieses Rechtecks.

Ausgehend von anderen Punkten auf der Parabel $f$ kann man auf die gleiche Art weitere Rechtecke zeichnen.

(1) Zeichne den Punkt $A_2(1|5)$ in Abbildung 1 ein.

(2) Ergänze die drei weiteren Punkte $B_2,$ $C_2$ und $D_2$ und verbinde die vier Punkte zu dem Rechteck $A_2B_2C_2D_2.$

Julia stellt den Term $(\text{I})$ auf, mit dem man den Umfang für jedes dieser Rechtecke berechnen kann.

Dazu nutzt sie die bekannte Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks und erhält:

$(\text{I})\,2\cdot 2x+2\cdot (-0,5x^2+5,5).$

Dabei ist $x\gt 0$ und steht für die $x$ -Koordinate des zum Rechteck gehörenden Punktes $A_1,A_2$ usw.

Begründe, dass mit dem Term $(\text{I})$ der Umfang jedes dieser Rechtecke berechnet werden kann.

Julia vereinfacht den Term $(\text{I})$ zu $(\text{II})-x^2+4x+11.$

Zeige durch Termumformungen, dass die beiden Terme $(\text{I})$ und $(\text{II})$ gleichwertig sind.

Julia stellt die folgende Gleichung auf: $-x^2+4x+11=14,75$

(1) Löse die Gleichung.

(2) Erkläre das Ergebnis in Bezug auf die Rechtecke unter der Parabel $f.$

Der Term $(\text{II})$ kann auch als Funktion $u$ mit $u(x)=-x^2+4x+11$ interpretiert werden.

(1) Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion $u$ und

(2) erkläre seine Bedeutung für die Umfangsbetrachtung.

Bildnachweise [nach oben]

[2]

Flickr user laughlin from Tokyo, Japan, Square watermelon, CC BY 2.0

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Lösung 1: Rösti

Ein Kubikzentimeter Teig wiegt also 1,23 g.

Durchmesser eines Röstis berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\,\text{Rösti}}&=& \pi\cdot r^2\cdot h\qquad \scriptsize \mid\;:\pi \mid\;:h\\[5pt] \dfrac{V_{\,\text{Rösti}}}{\pi\cdot h} &=& r^2\qquad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \sqrt{\dfrac{V_{\,\text{Rösti}}}{\pi\cdot h}}&=& r \\[5pt] \sqrt{\dfrac{81\,\text{cm}^3}{\pi\cdot 2\,\text{cm}}}&=& r \\[5pt] 3,6 \,\text{cm}&\approx& r \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt $d= 2\cdot 3,6 \,\text{cm}=7,2\,\text{cm}.$

Da der Durchmesser eines Röstis bei etwa $7,2\,\text{cm}$ liegt, muss auch der Durchmesser der zylindrischen Form bei ca. $7,2\,\text{cm}$ liegen.

Volumen eines Rösti mit halbem Durchmesser berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi\cdot \left(\dfrac{r}{2}\right)^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot (1,8\,\text{cm})^2\cdot 2\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 20,4\,\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen eines Rösti mit halben Durchmesser wäre deutlich geringer als $\dfrac{81\,\text{cm}^3}{2}=40,5\,\text{cm}^3.$ Der Mitarbeiter hat also nicht recht.

nrw msa realschule prüfung rösti baumdiagramm

$\begin{array}[t]{rll} 0,02\cdot x+0,98\cdot x\cdot 0,01&=& 447 \\[5pt] x\cdot (0,02+0,98\cdot 0,01)&=& 447 \\[5pt] x\cdot 0,0298&=& 447 \quad \scriptsize \mid\; :0,0298 \\[5pt] x &=& 15\,000 \end{array}$

Es wurden vermutlich 15 000 Rösti kontrolliert.

Lösung 2: Wassermelonen

$r=\dfrac{25\,\text{cm}}{2}=12,5\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (12,5\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx& 8181,23\,\text{cm}^3 \approx 8200\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

1. Schritt: Radius des Fruchtfleisches berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d_{\,\text{F}}&=& 25\,\text{cm}-1,5\,\text{cm}-1,5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 22\,\text{cm} \\[5pt] r_F&=& 22\,\text{cm}:2\\[5pt] &=& 11\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Volumen des Fruchtfleisches berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{F}}&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r_F^3 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (11\,\text{cm})^3 \\[5pt] &\approx&5575 \,\text{cm}^3 \end{array}$

3.Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

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$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}}&=&a^3 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] a&=& \sqrt[3]{V_{\text{Würfel}}} \\[5pt] a&=& \sqrt[3]{8200\,\text{cm}^3} \\[5pt] a&\approx& 20,2\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

1. Schritt: Oberflächeninhalt der kugelförmigen Wassermelone berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Kugel}}&=& 4\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi\cdot (12,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 1963,50\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Oberflächeninhalt der würfelförmigen Wassermelone berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O_{\text{Würfel}}&=& 6\cdot a^2 \\[5pt] &=& 6\cdot (20,2\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 2448,24\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

Die würfelförmige Wassermelone hat einen größeren Oberflächeninhalt.

Beobachtungswoche	Gewicht in g
0	400
1	800
2	1600
3	3200
4	6400

Da sich das Gewicht der Wassermelone pro Woche verdoppelt, liegt das Gewicht nach 4 Wochen bei 6400 g.

Nach jedem Zeitschritt in Wochen verdoppelt sich das Gewicht. Daher handelt es sich nicht um eine lineare Zuordnung.

Sinja hat also nicht recht.

Lösung 3: Parabel und Rechteck

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&-0,5\cdot 3^2+5,5 \\[5pt] &=&-0,5\cdot 9+5,5 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Da die Parabel symmetrisch zur $y$ -Achse ist, unterscheiden sich gegenüberliegende Punkte immer nur im Vorzeichen ihrer $x$ -Koordinate. Spiegelt man also den Punkt $A_1(3|1)$ an der $y$ -Achse, erhält man auf der Parabel den Punkt $B_1(-3|1).$

Anhand des Schaubildes können die Längen der Strecken $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{B_1C_1}$ abgelesen werden:

$\overline{A_1B_1}=6\,\text{cm}$
$\overline{B_1C_1}=1\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot\overline{A_1B_1}+2\cdot \overline{B_1C_1} \\[5pt] &=& 2\cdot 6\,\text{cm}+2\cdot 1\,\text{cm} \\[5pt] &=& 14\,\text{cm} \end{array}$

(1)

nrw msa realschule prüfung parabel und rechteck

(2)

Das Rechteck hat einen Umfang von $u=2\cdot a+2\cdot b.$

Die waagrechten Seiten des Rechtecks haben jeweils die Länge $2x.$

Die senkrechten Seiten des Rechtecks haben die Länge $f(x)=-0,5x^2+5,5.$

Damit hat das Rechteck einen Umfang von $u=2\cdot 2x+2\cdot -0,5x^2+5,5.$

$\begin{array}[t]{rll} &2\cdot 2x+2\cdot (-0,5x^2+5,5) \\[5pt] &=4x+2\cdot (-0,5x^2)+2\cdot 5,5 \\[5pt] &=4x-1x^2 +11 \\[5pt] &=-x^2+4x +11 \end{array}$

(1) Gleichung mithilfe der $p,q$ -Formel lösen:

$\begin{array}[t]{rll} -x^2+4x +11 &=& 14,75\quad \scriptsize \mid\;-14,75 \\[5pt] -x^2+4x-3,75&=&0\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-4x+3,75&=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3,75}\\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm\sqrt{4-3,75}\\[5pt] x_{1,2}&=&2\pm\sqrt{0,25}\\[5pt] x_{1}&=&2+0,5=2,5\\[5pt] x_{2}&=&2-0,5=1,5 \end{array}$

(2) Unter der Parabel $f$ gibt es zwei Rechtecke, deren Umfang bei $14,75 \,\text{cm}$ liegt. Bei einem hat der Punkt $A$ die $x$ -Koordiante $2,5$ und beim anderen $1,5.$

Zur Veranschaulichung (ist nicht Teil der Lösung):

1. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate des Punktes $\boldsymbol{A_3(2,5|y_1)}$ berechnen

$x_1=2,5$ einsetzen in $f(x)=-0,5x^2+5,5:$

$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&-0,5\cdot2,5^2+5,5 \\[5pt] &=&2,375 \end{array}$

$A_3(2,5|2,375)$

2. Schritt: $\boldsymbol{A_3}$ und $\boldsymbol{B_3,C_3,D_3}$ einzeichnen

Wie man an dem Schaubild erkennt, liegt der Umfang des Rechtecks bei $U=2\cdot 2,375+4\cdot 2,5=14,75 \,\text{cm}.$

Gleiches gilt für $x_2=1,5.$

(1)

$\begin{array}[t]{rll} u(x)&=& -x^2+4x+11 \\[5pt] &=&-(x^2-4x-11) \\[5pt] &=& -(x^2-4x+4-15) \\[5pt] &=& -(x^2-4x+4)+15 \\[5pt] &=& -(x-2)^2+15 \end{array}$

$S(2\mid 15)$

(2) Für $x=2$ wird der Umfang maximal mit 15 Längeneinheiten.

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