Wahlaufgaben

Aufgabe 5.1

Herr Müller baut einen trapezförmigen Stellplatz für sein Auto.
Er benutzt dafür Asphalt und quaderförmige Betonsteine (siehe Abbildung).

Abbildung nicht maßstäblich

Zeichne das Trapez in einem geeigneten Maßstab.

Berechne den Flächeninhalt des Stellplatzes.

Die Betonsteine sind $10\,\text{cm}$ breit und $20\,\text{cm}$ lang.
Gib die Anzahl der Betonsteine an, die zum lückenlosen Auslegen der Fläche benötigt werden (siehe Abbildung).

Die dreieckige Teilfläche des Stellplatzes wird mit einer Asphaltschicht bedeckt.
Herr Müller benötigt dafür $0,40\,\text{m}^3$ Asphalt.
Berechne die Höhe der Asphaltschicht.

(8 BE)

Aufgabe 5.2

Für die Stadt Plauen wurden im Jahr 2019 die folgenden Wetterdaten erfasst.

Das Diagramm zeigt die Niederschlagsmenge für jeden Monat.

Gib die Niederschlagsmenge für den Monat Mai an.
Im Jahr 2019 betrug die gesamte Niederschlagsmenge $500\,\text{mm}.$
Max behauptet:
"Im Januar sind $13\,\%$ der Niederschlagsmenge des gesamten Jahres 2019 gefallen."
Begründe rechnerisch, dass diese Aussage falsch ist.

In der Tabelle sind die mittleren Temperaturen für jeden Monat angegeben.

Temperaturdifferenzen werden in Kelvin ( $K$ ) angegeben.
Gib die Differenz zwischen der höchsten und der niedrigsten mittleren Monatstemperatur in $K$ an.
Berechne die durchschnittliche Jahrestemperatur in °C.

Monat	Temperatur in °C
Januar	$-0,6$
Februar	$2,7$
März	$6,0$
April	$8,8$
Mai	$10,3$
Juni	$20,4$
Juli	$18,8$
August	$18,7$
September	$13,5$
Oktober	$10,2$
November	$4,8$
Dezember	$3,3$

Die Sonnenscheindauer im Juni 2019 wird mit $309$ Stunden angegeben.
Dies sind $73\,\%$ mehr als der langjährige Mittelwert der Sonnenscheindauer.
Berechne den langjährigen Mittelwert der Sonnenscheindauer.

(8 BE)

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Lösung 5.1

Maßstab: 1:100
Ein Zentimeter entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Gesucht: $A$
Gegeben: $a=8,0\,\text{m},$ $c=10,0\,\text{m},$ $h=3,4\,\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{a+c}{2}\cdot h\\[5pt] &=&\dfrac{8,0\,\text{m}+10,0\,\text{m}}{2}\cdot 3,4\,\text{m}\\[5pt] A&=&\underline{\underline{30,6\,\text{m}^2}} \end{array}$

Der Stellplatz hat also einen Flächeninhalt von $30,6\,\text{m}^2.$

$34\cdot 40=\underline{\underline{1360}}$

Für das Auslegen werden $1360$ Steine benötigt.

Gesucht: Höhe $h$ des Prismas siehe Abbildung unten
Gegeben: $V=0,4\,\text{m}^3,$ $a=3,4\,\text{m},$ $b=10,0\,\text{m}-8,0\,\text{m}=2,0\,\text{m}$

Abbildung nicht maßstäblich

Zunächst wird der Flächeninhalt der Grundfläche des Prismas berechnet, die ein rechtwinkliges Dreieck darstellt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 3,40\,\text{m}\cdot 2,0\,\text{m} \\[5pt] A&=&\underline{\underline{3,40\,\text{m}^2}} \end{array}$

Anschließend wird die Volumenformel für ein Prisma nach $h$ umgestellt und die benötigte Menge an Asphalt für $V$ eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&A\cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :A\\[5pt] \dfrac{V}{A}&=&h\\[5pt] h&=&\dfrac{V}{A}\\[5pt] &=&\dfrac{0,40\,\text{m}^3}{3,40\,\text{m}^2}\\[5pt] h&\approx&0,12\,\text{m} \end{array}$

Die Asphaltschicht hat also eine Höhe von ca. $12\,\text{cm}.$

Lösung 5.2

Niederschlagsmenge Monat Mai angeben

$\underline{\underline{58\,\text{mm}}}$ durch Ablesen

Rechnerisch begründen, dass die Aussage falsch ist

Gesucht: $p\,\%$
Gegeben: $G=500\,\text{mm},$ $W=57\,\text{mm}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{G}{100\,\%}&=&\dfrac{W}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] G&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot p\,\%\\[5pt] G\cdot p\,\%&=&W\cdot 100\,\% & \scriptsize \mid\;:G\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{G} \\[5pt] &=&\dfrac{57\,\text{mm}\cdot 100\,\%}{500\,\text{mm}} \\[5pt] p\,\%&=&\underline{\underline{11,4\,\%}} \end{array}$

Nur ca. $11,4\,\%$ der Niederschlagsmenge sind im Januar gefallen.

Differenz angeben

Die höchste Temperatur wurde im Juni mit $20,4^\circ\text{C}$ gemessen.
Die niedrigste Temperatur wurde im Januar $-0,6^\circ\text{C}$ gemessen.

Differenz: $20,4-(-0,6)=\underline{\underline{21\,\text{K}}}$

Durchschnittliche Jahrestemperatur berechnen

Dazu wird das arithmetische Mittel berechnet. Dabei werden alle Werte addiert und das Ergebnis dann durch die Anzahl aller Werte dividiert.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{x}&=&\dfrac{-0,6+2,7+...+3,3}{12}\text{°C} \\[5pt] &=&\dfrac{116,9\text{°C}}{12}\\[5pt] \overline{x}&=&\underline{\underline{9,7\text{°C}}} \end{array}$

Die durchschnittliche Jahrestemperatur liegt somit bei $9,7\text{°C}.$

Gesucht: $G$
Gegeben: $W=309\,\text{h},p\,\%=173\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{G}{100\,\%}&=&\dfrac{W}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] G&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} \\[5pt] &=&\dfrac{309\,\text{h}\cdot 100\,\%}{173\,\%} \\[5pt] G&\approx&179\,\text{h} \end{array}$

Die Sonnenscheindauer beträgt im langjährigen Mittelwert $179$ Stunden.

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