Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Im August 2019 nahmen 1798 Sportler am traditionellen Elbeschwimmen in Dresden teil.

Von allen teilnehmenden Sportlern waren 791 weiblich.
Berechne, wie viel Prozent aller teilnehmenden Sportler weiblich waren.

Im Jahr 2017 nahmen 1629 Sportler am Elbeschwimmen teil.
Berechne, auf wie viel Prozent die Teilnehmerzahl im Jahr 2019 im Vergleich zum Jahr 2017 gestiegen ist.

Die Elbe hat eine Länge von $1094\,\text{km}.$
Die Schwimmstrecke beträgt $0,32\,\%$ der Länge der Elbe.
Berechne die Länge der Schwimmstrecke.

(6 BE)

Aufgabe 2

Von einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche sind die Körperhöhe $h=6,0\,\text{cm}$ und die Länge der Grundkante $a=5,0\,\text{cm}$ gegeben.

Zeichne eine Ansicht von oben und eine Seitenansicht dieser Pyramide.

Die Pyramide besteht aus Stahl. Ein Kubikzentimeter Stahl hat eine Masse von $7,8\,\text{g}.$

Berechne das Volumen dieser Pyramide.
Gib die Masse dieser Pyramide an.

"Die Höhe $h_s$ einer Seitenfläche dieser Pyramide beträgt $6,5\,\text{cm}.$ "
Begründe rechnerisch, dass diese Aussage wahr ist.

(6 BE)

Aufgabe 3

Gib den Wert des Terms für $a=-8$ an.

$\dfrac{3+a}{2}\cdot a$

"Wenn man eine natürliche Zahl $x$ mit $8$ multipliziert und danach $20$ addiert, so erhält man $44.$ "

Stelle für dieses Zahlenrätsel eine Gleichung auf.
Gib die Zahl $x$ an.

Gib die Formel für den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks an und stelle diese nach der Höhe um.

(5 BE)

Aufgabe 4

In vielen Städten sind Riesenräder große Attraktionen.

Das höchste Riesenrad in Deutschland steht in München.
In $27$ Gondeln ist Platz für insgesamt $432$ Gäste.
Gib an, wie viele Gäste in einer Gondel maximal Platz haben.

Das "Wheel of Vision" steht zeitweise in Dresden.
Der Durchmesser dieses Riesenrades beträgt $53\,\text{m}.$
Berechne die Länge des Weges, den eine Gondel bei einer Umdrehung zurücklegt.

Das Riesenrad im Wiener Prater hat einen Umfang von $191\,\text{m}.$
Eine Fahrt dauert zwölf Minuten. In dieser Zeit macht das Riesenrad drei Umdrehungen.
Ermittle die Länge des Weges, den eine Gondel in einer Minute zurücklegt.

(5 BE)

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Lösung 1

Gesucht: $p\,\%$
Gegeben: $G=1798,$ $W=791$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{G}{100\,\%}&=&\dfrac{W}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] G&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot p\,\%\\[5pt] G\cdot p\,\%&=&W\cdot 100\,\% & \scriptsize \mid\;:G\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{G} \\[5pt] &=&\dfrac{791\cdot 100\,\%}{1798} \\[5pt] p\,\%&\approx&\underline{\underline{44\,\%}} \end{array}$

$44\,\%$ der teilnehmenden Sportler waren weiblich.

Gesucht: $p\,\%$
Gegeben: $G=1629,$ $W=1798$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{G}{100\,\%}&=&\dfrac{W}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] G&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{p\,\%} & \scriptsize \mid\;\cdot p\,\%\\[5pt] G\cdot p\,\%&=&W\cdot 100\,\% & \scriptsize \mid\;:G\\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{W\cdot 100\,\%}{G} \\[5pt] &=&\dfrac{1798\cdot 100\,\%}{1629} \\[5pt] p\,\%&\approx&\underline{\underline{110\,\%}} \end{array}$

Gegenüber 2017 ist die Teilnehmerzahl 2019 auf $110\,\%$ gestiegen.

Gesucht: $W$
Gegeben: $G=1094\,\text{km},$ $p\,\%=0,32\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{G}{100\,\%}&=&\dfrac{W}{p\,\%} \qquad \scriptsize \mid\;\cdot p\,\%\\[5pt] \dfrac{G}{100\,\%}\cdot p\,\%&=&W \\[5pt] W&=&\dfrac{G}{100\,\%}\cdot p\,\% \\[5pt] &=&\dfrac{1094\,\text{km}\cdot 0,32\,\%}{100\,\%} \\[5pt] W&\approx&\underline{\underline{3,5\,\text{km}}} \end{array}$

Die Schwimmstrecke hat eine Länge von ca. $3,5\,\text{km}.$

Lösung 2

Ansicht von oben

Ansicht von vorne

Volumen berechnen

Gesucht: $V$
Gegeben: $a=5,0\,\text{cm},$ $h=6,0\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}a^2\cdot h\\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\left(5,0\,\text{cm}\right)^2\cdot 6,0\,\text{cm}\\[5pt] V&=&\underline{\underline{50\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Das Volumen der Pyramide beträgt $50\,\text{cm}^3.$

Masse berechnen

Gesucht: $m$
Gegeben: $V=50,0\,\text{cm}^3,$ $1\,\text{cm}^3\mathrel{\widehat{=}}7,8\,\text{g}$

Zweisatz:

$\cdot 50$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 1\,\text{cm}^3& \mathrel{\widehat{=}}&7,8\,\text{g}\\[5pt] 50\,\text{cm}^3& \mathrel{\widehat{=}}&390\,\text{g}\\[5pt] && \end{array}$

$\cdot 50$

Die Masse der Pyramide beträgt $390\,\text{g}.$

Gesucht: $h_s$
Gegeben: $a=5,0\,\text{cm},$ $h=6,0\,\text{cm}$

Es gilt der Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} h_s^2&=&h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\qquad\scriptsize\mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(6,0\,\text{cm})^2+\left(\dfrac{5,0\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt] &=&\sqrt{36\,\text{cm}^2+6,25\,\text{cm}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{42,25\,\text{cm}^2}\\[5pt] h_s&=&\underline{\underline{6,5\,\text{cm}}} \end{array}$

Die Aussage ist also wahr.

Lösung 3

Einsetzen von $a=-8$ ergibt:

$\dfrac{3+(-8)}{2}\cdot (-8)=\dfrac{-5}{2}\cdot (-8)=\underline{\underline{20}}$

Gleichung aufstellen

$x\cdot 8+20=44$

Gleichung lösen und $x$ angeben

$\begin{array}[t]{rll} x\cdot 8+20&=&44 &\quad \scriptsize \mid\;-20 \\[5pt] x\cdot 8&=&24 &\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] x&=&\underline{\underline{3}} \end{array}$

$A=\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Umstellen nach $h:$

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] 2\cdot A&=&g\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:g \\[5pt] \dfrac{2\cdot A}{g}&=&h \\[5pt] h&=&\underline{\underline{\dfrac{2\cdot A}{g}}} \end{array}$

Lösung 4

Die Anzahl der Gäste wird durch die Anzahl der Gondeln geteilt:

$432:27=\underline{\underline{16}}$

In einer Gondel haben maximal $16$ Gäste Platz.

Gesucht: Umfang $u$
Gegeben: $d=53\,\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&\pi\cdot d\\[5pt] &=&\pi\cdot 53\,\text{m}\\[5pt] u&\approx&\underline{\underline{166,5\,\text{m}}} \end{array}$

Bei einer Umdrehung legt eine Gondel etwa $166,5\,\text{m}$ zurück.

Gesucht: Strecke, die in einer Minute zurückgelegt wird
Gegeben: Umfang $u=191\,\text{m}$ sowie $3$ Umdrehungen in $12$ Minuten

Strecke in $12$ Minuten: $3\cdot u=3\cdot 191\,\text{m}=573\,\text{m}$

Strecke in $1$ Minute mit dem Zweisatz:

$:12$

$\begin{array}{rcl} 12\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 573\,\text{m}\\[5pt] 1\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 47,75\,\text{m}\\[5pt] && \end{array}$

$:12$

In einer Minute legt die Gondel $47,75\,\text{m}$ zurück.

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