Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Gib den Termwert für $a = 6$ an.
$\begin{array}[t]{rll} & \dfrac{-a-4}{2(a-2)}& \\[5pt] \end{array}$

Löse die Klammer auf und fasse soweit wie möglich zusammen.
$\begin{array}[t]{rll} & 4n-2(3n-5,5)+6 & \\[5pt] \end{array}$

Berechne die Nullstellen der Funktion $f$ mit der Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} y= f(x)= x^2 -1,5x-4,5. \end{array}$

Gegeben ist ein Körper (siehe Abbildung).

$z = \dfrac{1}{2}x$

$y = 3z$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die Gesamtlänge der Kanten dieses Körpers kann als Vielfaches von $x$ angegeben werden.
Ermittle dieses Vielfache.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Der Vierpass ist ein Schmuckelement an mittelalterlichen Kirchen.
Die abgebildete Figur zeigt den Aufbau eines Vierpasses (siehe Abbildung 1).

Die Punkte $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ und $M_4$ sind Eckpunkte eines Quadrates.

Abbildung 1

Die Eckpunkte des Quadrates sind die Mittelpunkte von vier zueinander kongruenten Kreisausschnitten.

Konstruiere die Figur für $\overline{M_1M_2} = 6,0 \,\text{cm}.$

In einer mittelalterlichen Kirche enthält ein Fenster einen Vierpass.
Der Abstand $\overline{M_1M_2}$ dieses Vierpasses beträgt $72 \,\text{cm}.$

Berechne den Flächeninhalt dieses Vierpasses.
Berechne den Umfang dieses Vierpasses.
Berechne den Durchmesser des kreisförmigen Fensters in dieser Kirche (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Um die Wohnfläche im Dachgeschoss zu vergrößern wird eine Dachgaube gebaut.
Die Dachgaube hat die Form eines dreiseitigen Prismas (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Zeichne die Grundfläche des dreiseitigen Prismas im Maßstab 1:50.

Die von außen sichtbaren Flächen der Dachgaube werden mit Stahlblech verkleidet.
Die beiden quadratischen Fenster haben je eine Seitenlänge von 100 cm.

Berechne, wie viel Quadratmeter Stahlblech mindestens benötigt werden.

Die beauftragte Firma veranschlagt einen Bruttopreis von 11864,30 € für den Bau der Dachgaube.
Der Bruttopreis setzt sich aus den Materialkosten inklusive 19 % Mehrwertsteuer und den Lohnkosten inklusive 19 % Mehrwertsteuer zusammen.
Die Materialkosten betragen 6730,00 € ohne Mehrwertsteuer.
Für die Lohnkosten veranschlagt die Firma, dass an drei Arbeitstagen zu je acht Arbeitsstunden jeweils drei Arbeiter benötigt werden.
Berechne, welchen Nettobetrag die Firma für eine Arbeitsstunde pro Arbeiter veranschlagt.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

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Lösung 6.1

$\dfrac{-a-4}{2(a-2)}=\dfrac{-6-4}{2(6-2)}= \dfrac{-10}{2\cdot 4}=\dfrac{-10}{8}= \underline{\underline{ -\dfrac{5}{4}}}$

$\begin{array}[t]{lll} 4n-2(3n-5,5)+6 \\[5pt] =4n-2 \cdot 3n -2 \cdot (-5,5) +6 \\[5pt] =4n- 6n+11+6 \\[5pt] =\underline{\underline{ -2n+17 }} \end{array}$

$x^2-1,5x-4,5=0$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{-1,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1,5}{2}\right)^2-(-4,5)} \\[5pt] x_{1,2} &=& 0,75 \pm \sqrt{\dfrac{81}{16}} \\[5pt] x_1 &=& 0,75 +2,25 =\underline{\underline{ 3}}\\[5pt] x_2 &=& 0,75 -2,25 = \underline{\underline{ -1,5}} \end{array}$

Gesamtlänge der Kanten durch $x,$ $y$ und $z$ ausdrücken

$4\cdot 2x+4\cdot x+4\cdot y+4\cdot z=12x+4y+4z$

Gesamtlänge der Kanten nur durch $x$ ausdrücken

$\begin{array}[t]{lll} 12x+4y+4z \\[5pt] =12x+4\cdot 3z+4\cdot \dfrac{1}{2}x \\[5pt] =12x+4\cdot 3\cdot \dfrac{1}{2}x+4\cdot \dfrac{1}{2}x \\[5pt] =12x+6x+2x \\[5pt] =\underline{\underline{ 20x}} \end{array}$

Die Gesamtlänge der Kanten ist das Zwanzigfache von $x.$

Lösung 6.2

Konstruktionsschritte:

Waagerechte Hilfslinie mit dem Punkt $M_1$ zeichnen.
Zwei $45^\circ$ -Winkel im Punkt $M_1$ abtragen.
Punkte $M_2$ und $M_4$ im Abstand von $6 \,\text{cm}$ zu $M_1$ einzeichnen.
Punkt $M_3$ im Abstand von $6 \,\text{cm}$ zu $M_2$ und $M_4$ einzeichnen.
Punkte $M_1,$ $M_2,$ $M_3$ und $M_4$ miteinander verbinden.
Kreisausschnitte mit dem Radius $r=3\,\text{cm}$ um die Eckpunkte des Quadrates zeichnen.

Flächeninhalt des Vierpasses berechnen

Flächeninhalt $A_Q$ des Quadrates berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=&72\,\text{cm}\cdot 72\,\text{cm} \\[5pt] A_Q&=&5\,184\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt $A_K$ der Kreisausschnitte berechnen

Anhand der Skizze erkennt man, dass die vier Kreisausschnitte drei ganze Kreise ergeben. Um also den Flächeninhalt $A_K$ der vier Kreisausschnitte zu erhalten, muss der Flächeninhalt von drei Kreisen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A_K&=&3\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] A_K&=&3\cdot \pi\cdot (72\,\text{cm}:2)^2 \\[5pt] A_K&=&3\cdot \pi\cdot (36\,\text{cm})^2 \\[5pt] A_K&\approx&12\,215\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt des Vierpasses berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_V&=&A_Q+A_K \\[5pt] A_V&=&5\,184\,\text{cm}^2+12\,215\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_V&=&\underline{\underline{ 17\,399\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Vierpasses beträgt $17\,399\,\text{cm}^2.$

Umfang des Vierpasses berechnen

Um den Umfang der vier Kreisausschnitte zu erhalten, muss der Umfang von drei Kreisen berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} u&=&3\cdot 2\pi r \\[5pt] u&=&3\cdot 2\pi \cdot 36\,\text{cm} \\[5pt] u&\approx&\underline{\underline{ 678,58\,\text{cm}}} \end{array}$

Der Umfang des Vierpasses beträgt $678,58\,\text{cm}.$

Durchmesser des kreisförmigen Fensters berechnen

Länge $e$ der Diagonalen des Quadrates berechnen

$\begin{array}[t]{rll} e&=&a\cdot \sqrt{2} \\[5pt] e&=&72\,\text{cm}\cdot \sqrt{2} \\[5pt] e&\approx&101,82\,\text{cm} \end{array}$

Durchmesser des kreisförmigen Fensters berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d&=&r+e+r \\[5pt] d&=&36\,\text{cm}+101,82\,\text{cm}+36\,\text{cm} \\[5pt] d&=&\underline{\underline{ 173,82\,\text{cm} }} \end{array}$

Der Durchmesser des kreisförmigen Fensters beträgt $173,82\,\text{cm}.$

Lösung 6.3

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:50
$3,50\,\text{m}$	$3,50\,\text{m}:50=0,07\,\text{m}=7,0\,\text{cm}$
$2,30\,\text{m}$	$2,30\,\text{m}:50=0,046\,\text{m}=4,6\,\text{cm}$
$1,70\,\text{m}$	$1,70\,\text{m}:50=0,034\,\text{m}=3,4\,\text{cm}$

Konstruktionsschritte:

Senkrechte Strecke mit der Länge $3,4\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um den oberen Punkt mit dem Radius $4,6\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um den unteren Punkt mit dem Radius $7,0\,\text{cm}$ zeichnen. Es entsteht der dritte Punkt.
Alle Punkte miteinander verbinden.

Flächeninhalt $A_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&2,30\,\text{m}\cdot 4,50\,\text{m} \\[5pt] A_1&=&10,35\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt $A_2$ berechnen

Um den Flächeninhalt $A_2$ zu berechnen, wird der Flächeninhalt der beiden Fenster abgezogen:

$\begin{array}[t]{rll} A_2&=&4,50\,\text{m}\cdot 1,70\,\text{m}-2\cdot 100\,\text{cm}\cdot 100\,\text{cm} \\[5pt] A_2&=&4,50\,\text{m}\cdot 1,70\,\text{m}-2\cdot 1\,\text{m}\cdot 1\,\text{m} \\[5pt] A_2&=&5,65\,\text{m}^2 \end{array}$

Flächeninhalt $A_3$ berechnen

Da das Dreieck unregelmäßig ist, wird der Flächeninhalt mit dem Kosinussatz berechnet. Dafür wird zunächst die Winkelgröße von $\beta$ benötigt:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos\beta \quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;+2ac\cdot \cos\beta$

$\begin{array}[t]{rll} b^2+2ac\cdot \cos\beta&=&a^2+c^2& \scriptsize \mid\;-b^2 \\[5pt] 2ac\cdot \cos\beta&=&a^2+c^2-b^2&\scriptsize \mid\;:2ac \\[5pt] \cos\beta&=&\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac }\\[5pt] \cos\beta&=&\dfrac{2,3^2+3,5^2-1,7^2}{2\cdot 2,3\cdot 3,5}\\[5pt] \cos\beta&\approx&0,9099&\scriptsize \mid\;\cos^{-1}\\[5pt] \beta&\approx&24,5^\circ \end{array}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_3&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin\beta \\[5pt] A_3&=&\dfrac{1}{2}\cdot 2,3\,\text{m}\cdot 3,5\,\text{m}\cdot \sin24,5^\circ \\[5pt] A_3&\approx&1,67\,\text{m}^2 \end{array}$

Benötigte Quadratmeter Stahlblech berechnen

$\begin{array}[t]{lll} A_1+A_2+2\cdot A_3 \\[5pt] =10,35\,\text{m}^2+5,65\,\text{m}^2+2\cdot 1,67\,\text{m}^2 \\[5pt] =\underline{\underline{19,34\,\text{m}^2}} \end{array}$

Es werden mindestens $19,34\,\text{m}^2$ Quadratmeter Stahlblech benötigt.

Preis für den Bau ohne Mehrwertsteuer berechnen

$:119$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 119\,\%& \mathrel{\widehat{=}}& 11\,864,30\,€ \\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 99,70\,€\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 9\,970,00 \,€ \end{array}$

$:119$

$\cdot 100$

Lohnkosten ohne Mehrwertsteuer berechnen

$9\,970\,€-6\,730\,€=3\,240\,€$

Nettobetrag für eine Arbeitsstunde pro Arbeiter berechnen

Nettobetrag pro Tag: $3240\,€:3=1080\,€$
Nettobetrag pro Tag und pro Arbeiter: $1080\,€:3=360\,€$
Nettobetrag pro Tag, pro Arbeiter und pro Stunde: $360\,€:8=\underline{\underline{ 45\,€}}$

Die Firma veranschlagt einen Nettobetrag von $45\,€.$

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