Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Von einem Smartphone sind die folgenden Gehäuseabmessungen bekannt.

Höhe x Breite x Tiefe in $\,\text{mm}$
$123,8$ x $58,6$ x $7,6$

Das rechteckige Display des Smartphones ist von einem Rand umgeben. Dieser beträgt links und rechts jeweils $4,4\,\text{mm}$ sowie oben und unten jeweils $17,6\,\text{mm}$ (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Ermittle den Flächeninhalt des Displays in Quadratzentimeter.

Die Displaygröße wird als Länge der Diagonalen des Displays in Zoll angegeben. Ein Zoll entspricht $2,54$ Zentimeter.
Berechne die Displaygröße des Smartphones in Zoll.

Das Format eines Smartphones ist das Verhältnis von Höhe zu Breite des Displays. Smartphones könnnen zum Beispiel die folgenden Formate besitzen.

$2 : 1$ $16 : 9$ $16 : 10$ $21 : 9$

Entscheide und begründe, welches dieser Formate das Smartphone hat.
Das Display eines anderen Smartphones hat einen Flächeninhalt von $81,92\,\text{cm}^2$ bei einem Format von $2 : 1$ .
Ermittle die Höhe und die Breite des Displays dieses Smartphones.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Ein Energieversorger bietet für elektrische Energie die beiden folgenden Tarife an.

Privatkunden-Tarif

Grundpreis pro Monat: 6,82 Euro

Preis pro Kilowattstunde: 28,49 Cent

Zweizähler-Tarif

Grundpreis pro Monat: 9,86 Euro

Preise pro Kilowattstunde in der

Hochtarifzeit 28,49 Cent
Niedertarifzeit 23,17 Cent

Familie Herrmann nutzt den Privatkunden-Tarif. Sie ermittelt die Kosten pro Monat bei unterschiedlichem Bedarf an elektrischer Energie.

Übernimm die Wertetabelle und trage die fehlenden Werte ein.

Elektrische Energie pro Monat (in kWh)	$100$	$200$	$600$
Kosten pro Monat (in €)				$434,17$

Familie Werner nutzt den Zweizähler-Tarif wegen ihrer Nachtspeicherheizung.
Im Monat hat sie einen durchschnittlichen Bedarf an elektrischer Energie von $600 \,\text{kWh}$ .
Zwei Drittel dieses Bedarfs entfallen auf die Niedertarifzeit.

Berechne, welchen Betrag Familie Werner im Monat für elektrische Energie bezahlt.
Ermittle, wie viel Prozent Familie Werner bei einem monatlichen Bedarf von $600 \,\text{kWh}$ beim Zweizähler-Tarif gegenüber dem Privatkunden-Tarif weniger bezahlen muss.

Familie Haupold zahlt mit dem Zweizähler-Tarif im Monat $122,11\,\,€.$
Ein Drittel der elektrischen Energie wird in der Hochtarifzeit abgerechnet.
Ermittle, wie viel Kilowattstunden elektrische Energie Familie Haupold im Monat nutzt.

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem.

$\text{I}\quad 0,9x -3=y$

$\text{II}\quad 3x +2y =6$

Löse das Gleichungssystem rechnerisch.

Ein anderes Gleichungssystem ist mit den folgenden Gleichungen gegeben.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&y&=& x-1\\ \text{II}\quad&y-3x&=& 1&\quad \\ \end{array}$

Löse das Gleichungssystem grafisch und gib die Lösung an.

Ein weiteres lineares Gleichungssystem besteht aus den Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ . Die Gerade im Koordinatensystem stellt die Gleichung $\text{I}$ dar (siehe Abbildung).

Abbildung

Gib die Gleichung $\text{I}$ der eingezeichneten Geraden an.
Gib eine Gleichung $\text{II}$ so an, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

Lösung 6.1

Die Breite des Displays beträgt $b=58,6\,\text{mm}-2\cdot 4,4\,\text{mm}$ $=49,8\,\text{mm}=4,98\,\text{cm}.$

Die Höhe des Displays beträgt $h=123,8\,\text{mm}-2\cdot 17,6\,\text{mm}$ $=88,6\,\text{mm}=8,86\,\text{cm}.$

Damit lässt sich der Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&b\cdot h \\[5pt] A&=&4,98\,\text{cm}\cdot 8,86\,\text{cm} \\[5pt] A&\approx&\underline{\underline{ 44,12\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Displays beträgt etwa $44,12\,\text{cm}^2.$

Displaygröße in Zentimeter berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&b^2+h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] d&=&\sqrt{b^2+h^2} \\[5pt] d&=&\sqrt{(4,98\,\text{cm})^2+(8,86\,\text{cm})^2} \\[5pt] d&\approx&10,16\,\text{cm} \end{array}$

Displaygröße in Zoll berechnen

$10,16:2,54=\underline{\underline{ 4}}$

Die Displaygröße beträgt 4 Zoll.

Entscheiden und begründen, welches Formate das Smartphone hat

Format	Seitenverhältnis als Dezimalzahl
$2:1$	$2:1=2,00$
$16:9$	$16:9\approx\boldsymbol{1,78}$
$16:10$	$16:10=1,60$
$21:9$	$21:9\approx 2,33$
Dieses Smartphone	$8,86:4,98\approx\boldsymbol{1,78}$

Da das Verhältnis von Höhe zu Breite des Displays $1,78$ ist, beträgt das Format des Smartphones $\underline{\underline{ 16:9}}.$

Höhe und Breite des Displays des Smartphones ermitteln

Skizze zum Seitenverhältnis $2:1$ :

$\begin{array}[t]{rll} A&=&2x\cdot x & \\[5pt] A&=&2x^2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] \dfrac{A}{2}&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{A}{2}}&=&x \\[5pt] x&=&\sqrt{\dfrac{81,92\,\text{cm}^2}{2}} \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 6,4\,\text{cm}}} \end{array}$

Damit folgt: $2x=\underline{\underline{ 12,8\,\text{cm}}}$

Das Smartphone hat eine Breite von $6,4\,\text{cm}$ und eine Höhe von $12,8\,\text{cm}.$

Lösung 6.2

Kosten für $100\,\text{kWh}$ :
$6,82\,€+100\cdot 0,2849\,€=\underline{\underline{ 35,31\,€}}$

Kosten für $200\,\text{kWh}$ :
$6,82\,€+200\cdot 0,2849\,€=\underline{\underline{ 63,80\,€}}$

Kosten für $600\,\text{kWh}$ :
$6,82\,€+600\cdot 0,2849\,€=\underline{\underline{ 177,76\,€}}$

Energie bei $434,17\,€$ :
$\begin{array}[t]{rll} 6,82\,€+x\cdot 0,2849\,€&=& 434,17\,€&\quad \scriptsize \mid\;-6,82\,€ \\[5pt] x\cdot 0,2849\,€&=& 427,35\,€&\quad \scriptsize \mid\;: 0,2849\,€ \\[5pt] x&=& \underline{\underline{ 1\,500}} \end{array}$

Werte in die Tabelle eintragen:

Elektrische Energie pro Monat (in kWh)	$100$	$200$	$600$	$1\,500$
Kosten pro Monat (in €)	$35,31$	$63,80$	$177,76$	$434,17$

Welchen Betrag bezahlt Familie Werner im Monat für elektrische Energie?

Bedarf in der Niedertarifzeit: $\dfrac{2}{3}\cdot 600\,\text{kWh}=400\,\text{kWh}$

Bedarf in der Hochtarifzeit: $\dfrac{1}{3}\cdot 600\,\text{kWh}=200\,\text{kWh}$

Daraus folgt:

$9,86\,€+400\cdot 0,2317\,€+200\cdot 0,2849\,€$ $=\underline{\underline{ 159,52\,€}}$

Familie Werner bezahlt $159,52\,€$ im Monat für elektrische Energie.

Wie viel Prozent muss Familie Werner beim Zweizähler-Tarif gegenüber dem Privatkunden-Tarif weniger bezahlen?

Der Betrag in Euro, den Familie Werner weniger zahlen muss, beträgt $177,76\,€-159,52\,€=18,24\,€.$

Der dazugehörige Prozentsatz kann mit dem Dreisatz, der Verhältnisgleichung, der Prozentformel oder dem Dezimalbruch ermittelt werden.

Beispielhafter Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=& \dfrac{W\cdot 100}{G}\,\% \\[5pt] p\,\%&=& \dfrac{18,24\,€\cdot 100}{177,76\,€}\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& \underline{\underline{ 10,3\,\% }} \end{array}$

Familie Werner muss pro Monat etwa $10,3\,\%$ weniger bezahlen.

Um den Verbrauch von Familie Haupold zu ermitteln, wird eine Gleichung aufgestellt. Dabei steht die Variable $x$ für den monatlichen Verbrauch in $\text{kWh}.$

Rechenweg anzeigen

$x\approx\underline{\underline{ 450}}$

Familie Haupold nutzt $450\,\text{kWh}$ elektrische Energie im Monat.

Lösung 6.3

Einsetzungsverfahren anwenden:

Gleichung $\text{I}$ in Gleichung $\text{II}$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 3x +2y &=&6 \\[5pt] 3x +2\cdot (0,9x -3) &=&6 \\[5pt] 3x +1,8x -6&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 4,8x&=&12 &\quad \scriptsize \mid\;:4,8 \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 2,5 }} \end{array}$

$x=2,5$ in Gleichung $\text{I}$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0,9x -3&\\[5pt] y&=& 0,9\cdot 2,5 -3\\[5pt] y&=& \underline{\underline{ -0,75}} \end{array}$

Das Gleichungssystem hat die Lösung $x=2,5$ und $y=-0,75.$

Um ein Gleichungssystem grafisch zu lösen, müssen die Gleichungen nach $y$ aufgelöst sein.

Gleichung $\text{II}$ nach $y$ auflösen

$\begin{array}[t]{rll} y-3x&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;+3x \\[5pt] y&=&3x+1 \end{array}$

Graphen zeichnen

Das Gleichungssystem hat die Lösung $x=\underline{\underline{ -1}}$ und $y=\underline{\underline{ -2}}.$

Gleichung $\text{I}$ angeben

$\underline{\underline{ y=\dfrac{1}{2}x+1,5}}$

Gleichung $\text{II}$ so angeben, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat

Damit das Gleichungssystem keine Lösung hat, dürfen sich die Geraden nicht schneiden. Zwei Geraden schneiden sich nicht, wenn sie parallel sind und verschiedene Schnittstellen mit der $y$ -Achse haben.

Mögliche Gleichungen der Gerade $\text{II}$ :

$\underline{\underline{ y=\dfrac{1}{2}x+3}}$

$\underline{\underline{ y=\dfrac{1}{2}x+200}}$

$\underline{\underline{ y=\dfrac{1}{2}x-12}}$