Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Löse die folgende Gleichung. Führe eine Probe durch.

$3x-(5+x)=5(x-9)-x$

Gegeben ist die folgende Gleichung:

$4 + n \cdot x = 16$

Gib die Lösung $x$ an, wenn $n=24$ ist.
Die Lösung $x$ der Gleichung soll nun eine gerade Zahl sein.
Ermittle alle natürlichen Zahlen, die für $n$ eingesetzt werden können.

Ein Lottogewinn von $8400\,€$ soll entsprechend den unterschiedlichen Spieleinsätzen unter drei Spielern aufgeteilt werden. Der zweite Spieler erhält doppelt so viel wie der erste Spieler, der dritte Spieler bekommt eineinhalbmal so viel wie der zweite Spieler.
Ermittle, welchen Betrag jeder der drei Spieler bekommt.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Zum Wegebau werden aus Beton gefertigte Steine verwendet. Ein Stein hat die Form eines zwölfseitigen Prismas (siehe Abbildung).

Maßangaben in cm

(Abbildung nicht maßstäblich)

Zeichne die Grundfläche dieses Prismas im Maßstab 1 : 2.

Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche des Prismas.

Solche Steine aus Beton werden im Verbund verlegt.
Die Steine für einen Quadratmeter haben eine Masse von $135$ Kilogramm.
Der Beton hat eine Dichte von $2,25$ Tonnen pro Kubikmeter.
Berechne die Höhe eines Steines.

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Die Mehrwertsteuer ist eine Einnahmequelle des Staates.
Für das 2. Halbjahr des Jahres 2020 wurden die Mehrwertsteuersätze geändert.

	1. Halbjahr	2. Halbjahr
regulärer Mehrwertsteuersatz	$19\,\%$	$16\,\%$
ermäßigter Mehrwertsteuersatz	$7\,\%$	$5\,\%$

In Deutschland betrugen die Einnahmen aus der Mehrwertsteuer $243$ Milliarden Euro im Jahr 2019. Das enstpricht $30,3\,\%$ aller Steuereinnahmen.
Berechne die Steuereinnahmen Deutschlands im Jahr 2019.

Der Nettopreis eines Handys beträgt $595,00\,€.$
Paul hat dafür einen Bruttopreis von $690,20\,€$ bezahlt.
Ermittle rechnerisch, ob er das Handy im 1. oder 2. Halbjahr 2020 gekauft hat.

Für Bücher gilt der ermäßigte Mehrwertsteuersatz.
Der Nettopreis eines Buches beträgt $37,00\,€.$
Berechne den gesparten Betrag beim Kauf des Buches durch die Änderung des Mehrwertsteuersatzes.

Im Juni 2020 plante Frau Müller ein Auto zum Bruttopreis von $7616,00\,€$ zu kaufen.
Durch die angekündigte Änderung des regulären Mehrwertsteuersatzes verschob sie den Kauf auf Juli 2020.
Berechne, wie viel Euro Frau Müller beim Kauf im Juli 2020 gegenüber einem Kauf im Juni 2020 gespart hat.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

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Lösung 6.1

Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} 3x-(5+x)&=&5(x-9)-x \\[5pt] 3x-5-x&=&5x-45-x \\[5pt] 2x-5&=&4x-45 &\quad \scriptsize \mid\;-4x \\[5pt] -2x-5&=&-45 &\quad \scriptsize \mid\;+5\\[5pt] -2x&=&-40 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2)\\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 20}} \end{array}$

Probe durchführen

$\begin{array}[t]{rll} 3x-(5+x)&=&5(x-9)-x &\quad \scriptsize \\[5pt] 3\cdot 20-(5+20)&=&5(20-9)-20 &\quad \scriptsize ? \\[5pt] 3\cdot 20-25&=&5\cdot 11-20 &\quad \scriptsize ? \\[5pt] 60-25&=&55-20 &\quad \scriptsize ? \\[5pt] 35&=&35 &\quad \scriptsize \text{wahr} \\[5pt] \end{array}$

Lösung $\boldsymbol{x}$ angeben

$\begin{array}[t]{rll} 4+n\cdot x &=&16 \\[5pt] 4+24\cdot x &=&16&\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] 24\cdot x &=&12&\quad \scriptsize \mid\;:24 \\[5pt] x &=&\underline{\underline{ 0,5}} \end{array}$

Wenn $n=24$ ist, lautet die Lösung $x=0,5.$

Alle natürlichen Zahlen ermitteln, die für $\boldsymbol{n}$ eingesetzt werden können

Gleichung nach $x$ umstellen:

$\begin{array}[t]{rll} 4+n\cdot x &=&16 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] n\cdot x &=&12 &\quad \scriptsize \mid\;:n \\[5pt] x &=&\dfrac{12}{n} \end{array}$

Damit $x$ eine natürliche Zahl ist, muss $n$ also ein Teiler der Zahl $12$ sein.

Zudem muss $x$ eine gerade Zahl sein:

$\color{#ffffff}{x}$	$\color{#ffffff}{x=\dfrac{12}{n}}$	Ist $\color{#ffffff}{x}$ eine gerade Zahl?
$1$	$x=\dfrac{12}{1}=12$	Ja
$2$	$x=\dfrac{12}{2}=6$	Ja
$3$	$x=\dfrac{12}{3}=4$	Ja
$4$	$x=\dfrac{12}{4}=3$	Nein
$6$	$x=\dfrac{12}{6}=2$	Ja
$12$	$x=\dfrac{12}{12}=1$	Nein

Damit $x$ eine gerade Zahl wird, können für $n$ die Zahlen 1, 2, 3 und 6 eingesetzt werden.

Es gilt:

Gewinn für den ersten Spieler: $x$
Gewinn für den zweiten Spieler: $2x$
Gewinn für den dritten Spieler: $1,5\cdot 2x=3x$

Gewinn für den ersten Spieler berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x+2x+3x&=& 8\,400\,€\\[5pt] 6x&=& 8\,400\,€&\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] x&=& \underline{\underline{ 1\,400\,€}} \end{array}$

Gewinn für den zweiten Spieler berechnen

$2x=2\cdot 1\,400\,€=\underline{\underline{ 2\,800\,€}}$

Gewinn für den dritten Spieler berechnen

$3x=3\cdot 1\,400\,€=\underline{\underline{ 4\,200\,€}}$

Der erste Spieler gewinnt $1\,400\,€,$ der zweite Spieler $2\,800\,€$ und der dritte Spieler $4\,200\,€.$

Lösung 6.2

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:2
$20,0\,\text{cm}$	$20,0\,\text{cm}:2=10,0\,\text{cm}$
$8,0\,\text{cm}$	$8,0\,\text{cm}:2=4,0\,\text{cm}$
$4,0\,\text{cm}$	$4,0\,\text{cm}:2=2,0\,\text{cm}$
$16,5\,\text{cm}$	$16,5\,\text{cm}:2=8,25\,\text{cm}$
$11,5\,\text{cm}$	$11,5\,\text{cm}:2=5,75\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben kann die Grundfläche des Prismas gezeichnet werden:

Flächeninhalt des Rechtecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&20\,\text{cm}\cdot 11,5\,\text{cm} \\[5pt] A_R&=&230\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt des Trapezes berechnen

Für die Länge von $a$ gilt: $a=(20\,\text{cm}-8\,\text{cm}):2=6\,\text{cm}$

Für die Höhe $h$ gilt: $h=(16,5\,\text{cm}-11,5\,\text{cm}):2=2,5\,\text{cm}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_T&=&\dfrac{a+c}{2}\cdot h\\[5pt] A_T&=&\dfrac{6\,\text{cm}+4\,\text{cm}}{2}\cdot 2,5\,\text{cm}\\[5pt] A_T&=&12,5\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt der Grundfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=&A_R+4\cdot A_T \\[5pt] A_G&=&230\,\text{cm}^2+4\cdot 12,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_G&=&\underline{\underline{ 280\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Volumen der Steine berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \rho&=&\dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] \rho\cdot V&=&m&\quad \scriptsize \mid\;:\rho \\[5pt] V&=&\dfrac{m}{\rho}&\quad \scriptsize \mid\;:\rho \\[5pt] V&=&\dfrac{135\,\text{kg}}{2,25\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}} \\[5pt] V&=&\dfrac{0,135\,\text{t}}{2,25\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}} \\[5pt] V&=&0,06\,\text{m}^3 \end{array}$

Höhe eines Steines berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&A_G\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:A_G \\[5pt] \dfrac{V}{A_G}&=& h \\[5pt] h&=&\dfrac{V}{A_G} \\[5pt] h&=&\dfrac{0,06\,\text{m}^3}{1\,\text{m}^2} \\[5pt] h&=&0,06\,\text{m} =\underline{\underline{ 6\,\text{cm}}} \end{array}$

Die Höhe eines Steines beträgt $6\,\text{cm}.$

Lösung 6.3

Lösungsweg über den Dreisatz

$:30,3$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 30,3\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&243\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{243}{30,3}\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{243\cdot 100}{30,3} \end{array}$

$:30,3$

$\cdot 100$

$100\,\% \mathrel{\widehat{=}}\underline{\underline{ 802}}$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{100\,\%}&=& \dfrac{243}{30,3\,\%}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] x&=& \dfrac{243}{30,3\,\%}\cdot 100\,\%& \\[5pt] x&\approx& \underline{\underline{802}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{W\cdot 100}{p} \\[5pt] G&=&\dfrac{243 \cdot 100}{30,3} \\[5pt] G&\approx& \underline{\underline{802}} \\[5pt] \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$\dfrac{243}{30,3\,\%}=\dfrac{243}{0,303}\approx\underline{\underline{ 802}}$

Die Steuereinnahmen Deutschlands betrugen im Jahr 2019 etwa 802 Milliarden Euro.

Paul muss $690,20\,€-595,00\,€=95,20\,€$ Mehrwertsteuer bezahlen.

Ob der Prozentwert von $95,20\,€$ einem Prozentsatz von $19\,\%$ oder $16\,\%$ entspricht, kann über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:595$

$\cdot 95,20$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 595,00\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{595}\,\%\\[5pt] 95,20\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{595}\cdot 95,20\,\% \end{array}$

$:595$

$\cdot 95,20$

$95,20\,€ \mathrel{\widehat{=}}16\,\%$

Da der Mehrwertsteuersatz $16\,\%$ betrug, hat Paul sein Handy im 2. Halbjahr 2020 gekauft.

Der Bruttopreis mit ermäßigtem Mehrwertsteuersatz wurde von $107\,\%$ auf $105\,\%$ gesenkt.
Gesucht ist also der Prozentwert zum Prozentsatz $2\,\%.$

Auch hier kann der Prozenzwert wieder über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 2$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 37,00\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{37,00}{100}\,€\\[5pt] 2\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{37,00}{100}\cdot 2\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 2$

$2\,\% \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{ 0,74\,€}}$

Der gesparte Betrag beträgt $0,74\,€.$

Nettopreis des Autos berechnen

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:119$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 119\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 7\,616\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{7\,616}{119}\,€\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{7\,616}{119}\cdot 100\,€ \end{array}$

$:119$

$\cdot 100$

$100\,\% \mathrel{\widehat{=}}6\,400\,€$

Bruttopreis des Autos im 2. Halbjahr berechnen

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 116$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 6\,400\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{6\,400}{100}\,€\\[5pt] 116\,\% & \mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{6\,400}{100}\cdot 116\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 116$

$116\,\% \mathrel{\widehat{=}}7\,424\,€$

Ersparnis berechnen

$7\,616,00\,€-7\,424,00\,€=\underline{\underline{ 192\,€}}$

Frau Müller hat $192\,€$ gespart.

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