Rechnerisches Lösungsverfahren: pq-Formel
Definition
Exakte Lösungen von quadratischen Gleichungen in der NormalformAnzahl der Lösungen
Der Term- Wenn
dann gibt es zwei Lösungen.
- Wenn
dann gibt es eine Lösung.
- Wenn
dann gibt es keine Lösung.
Herleitung der Formel
Anwenden der quadratischen Ergänzung auf eine beliebige quadratische Gleichung in Normalform ergibt:
1
Löse die Gleichung rechnerisch.
a)
b)
c)
d)
2
Gib einen Wert der Variablen 
an, sodass die Gleichung 
...
a)
... zwei Lösungen besitzt.
b)
... genau eine Lösung besitzt.
c)
... keine Lösung besitzt.
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1
a)
Einsetzen von 
und 
in die 
-Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{(-6)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8} \\[5pt]
x_{1;2}&=& 3 \pm \sqrt{1} \\[5pt]
x_1&=& 2&\\[5pt]
x_2&=& 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/daf32d872a51d1ab36e5159c07fd6c17609d612ef0484d711936d7dcc2166c51?color=5a5a5a)
b)
Einsetzen von 
und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{(-2)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-24)} \\[5pt]
x_{1;2}&=& 1 \pm \sqrt{25} \\[5pt]
x_1&=& -4& \\[5pt]
x_2&=& 6
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d6de83dc7ac51feb1c29493ff0ae21b487e291c7467188e33e4ed57d6cc1938b?color=5a5a5a)
c)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x^2+4 x&=& -3 &\mid\; +3\\[5pt]
x^2+4x+3 &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5e3d80a4a13191dee72a14190234fc09ba22d1306647fb46b27812d523f6e52f?color=5a5a5a)
Einsetzen von 
und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-3} \\[5pt]
x_{1;2}&=& -2 \pm \sqrt{1} \\[5pt]
x_1&=& -3& \\[5pt]
x_2&=&-1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3711a5157491d693b099062b7179355f01734d1dc3a776303c4616972a75ca40?color=5a5a5a)
d)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
4 x^2+16 x&=& 84 &\mid\; -84 \\[5pt]
4 x^2+16 x -84&=& 0 &\mid\; :4 \\[5pt]
x^2+4x-21 &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1cf3f2496c03d59ee7be255436feae8065781c7ac6979681e06fe547baf19744?color=5a5a5a)
Einsetzen von und 
in die -Formel ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
x_{1;2}&=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-21)} \\[5pt]
x_{1;2}&=& -2 \pm \sqrt{25} \\[5pt]
x_1&=& -7& \\[5pt]
x_2&=& 3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ccdabcf18624bdec4845753c59789042c5b21def38e28d58a457a1f189c8d83b?color=5a5a5a)
2
a)
Für die gegebene Gleichung gilt mit und 
Die Gleichung besitzt genau dann zwei Lösungen, wenn die Diskriminante größer als Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&\gt& 0& \\[5pt]
4-a &\gt& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&\gt & a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4566f15a797575559f8fcaff50139372af9f4700d04c5ce90fb6d73baac2aedc?color=5a5a5a)
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für 
genau zwei Lösungen.
b)
Die Gleichung besitzt genau dann nur eine Lösung, wenn die Diskriminante Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&=& 0& \\[5pt]
4-a &=& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&= & a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/90737d95ce151d03e02733a18bfd867486b91c61f06098e442440409c5387e5a?color=5a5a5a)
Somit besitzt die Gleichung für 
genau eine Lösung.
c)
Die Gleichung besitzt genau dann keine Lösungen, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, also wenn gilt:
![\(\begin{array}[t]{rlll}
\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-a&\lt& 0& \\[5pt]
4-a &\lt& 0&\mid\; +a \\[5pt]
4&\lt & a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1472cc03a906a3059b7cd7b7a4a35891a45f88030cb644456999f6573cc0bae2?color=5a5a5a)
Somit besitzt die Gleichung beispielsweise für 
keine Lösung.