Bruchgleichungen

Definition

Gleichungen, die Brüche beinhalten, bei denen die Variable im Nenner steht, werden Bruchgleichungen genannt. Die Werte von $x,$ für die der Nenner Null wird, müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

Bruchgleichungen können ohne CAS wie folgt gelöst werden:

Definitionsbereich angeben
Hauptnenner bestimmen
Bruchgleichung mit Hauptnenner multiplizieren
Gleichung lösen
Lösungen überprüfen

Beispiel

$x+\dfrac{3}{x}=4$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} x+\frac{3}{x}&=& 4 &\mid\; \cdot x\\[5pt] x^2+3&=& 4x &\mid\;-4x\\[5pt] x^2-4x+3&=& 0 &\mid\;-4x\\[5pt] \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3} \\[5pt] x_{1;2}&=& 2 \pm \sqrt{1} \\[5pt] x_1&=& 1 & \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{1; 3\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{5}{x}&=&x-4 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] 5&=&x^2-4x &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] 0&=&x^2-4x-5 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \\[5pt] x_{1;2}&=&2\pm 3\\[5pt] x_1&=&-1\\[5pt] x_2&=&5 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{-1; 5\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 10-x&=&\dfrac{9}{x} \quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] 10x-x^2&=&9 \,\,\quad \scriptsize \mid\;+x^2-10x \\[5pt] 0&=&x^2-10x+9 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-10}{2}\right)^2-9} \\[5pt] x_{1;2}&=&5\pm 4\\[5pt] x_1&=&1\\[5pt] x_2&=&9 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{1; 9\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $4x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 4-\dfrac{12}{x}&=&\dfrac{x}{4} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 4x \\[5pt] 16x-48&=&x^2 \,\,\quad \scriptsize \mid\;-16x+48 \\[5pt] 0&=&x^2-16x+48 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-16}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-16}{2}\right)^2-48} \\[5pt] x_{1;2}&=&8\pm 4\\[5pt] x_1&=&4\\[5pt] x_2&=& 12 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{4; 12\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $2x$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{x}{2}+\dfrac{3}{x}&=& 2,5 \quad \scriptsize \mid\;\cdot 2x \\[5pt] x^2+6x &=&5x \,\,\quad \scriptsize \mid\; -5x\\[5pt] x^2-5x+6x &=& 0 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-5)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2-6} \\[5pt] x_{1;2}&=& 2,5 \pm \sqrt{0,25}\\[5pt] x_1&=& 2\\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{2; 3\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $(x+2)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x}{x+2}&=&4x &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x+2) \\[5pt] 2x&=&4x(x+2)\\[5pt] 2x&=&4x^2+8x&\quad \scriptsize \mid\;-2x\\[5pt] 0&=&4x^2+6x\\[5pt] 0&=&2x(2x+3)\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ sowie:

$\begin{array}[t]{rlll} 2x_2+3&=& 0 &\mid\; -3 \\[5pt] 2x_2&=& -3 &\mid\; :2 \\[5pt] x_2 &=& -1,5 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{-1,5; 0\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $(x-2)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x+17}{x-2}&=& x+4 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-2) \\[5pt] 2x+17&=&(x+4)\cdot (x-2)\\[5pt] 2x+17&=& x^2-2x+4x-8\\[5pt] 2x+17&=& x^2+2x-8 &\quad \scriptsize \mid\;-2x-17\\[5pt] 0&=& x^2-25 &\quad \scriptsize \mid\; +25\\[5pt] 25&=& x^2\\[5pt] x^2&=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_1&=& -5\\[5pt] x_2&=& 5 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{-5; 5\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $(x-3)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2x-4}{x-3}&=&x-2 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-3) \\[5pt] 2x-4&=&(x-2)\cdot (x-3)\\[5pt] 2x-4&=&x^2-3x-2x+6\\[5pt] 0&=&x^2-7x+10\\[5pt] x^2-7x+10&=&0 \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7}{2}\right)^2-10} \\[5pt] x_{1;2}&=&3,5\pm 1,5\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=& 5 \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{2; 5\}$

Definitionsbereich: $D=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}$

Multiplizieren mit dem Hauptnenner $(x-1)\cdot (x+2)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{x+1}{x-1}-2&=& \frac{x-2}{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (x-1)\cdot (x+2) \\[5pt] (x+1)\cdot (x+2)-2\cdot (x-1)\cdot (x+2) &=& (x-2)\cdot (x-1)\\[5pt] x^2+1x+2x+2-2\cdot (x^2-1x+2x-2) &=& x^2-2x-1x+2\\[5pt] x^2+3x+2-2x^2 +2x -4&=& x^2-3x+2 &\quad \scriptsize \mid\; -(x^2-3x+2)\\[5pt] -2x^2+8x -4&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] x^2-4x +2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] \end{array}$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-4)}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-2} \\[5pt] x_1&=& 2 - \sqrt{2}\\[5pt] x_2&=& 2 + \sqrt{2} \end{array}$

Da beide Lösungen im Definitionsbereich liegen, ergibt sich die Lösungsmenge zu: $L=\{2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}\}$

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