Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen
Wenn zwei lineare Gleichungen mit gemeinsamen Variablen gelöst werden sollen, entsteht ein lineares Gleichungssystem. Jedes Zahlenpaar, das beide Gleichungen des Systems erfüllt, ist eine Lösung dieses Gleichungssystems.
Verfahren zum grafischen Lösen eines LGS
- Beide Gleichungen nach
umstellen, sodass die zugehörigen Graphen gezeichnet werden können.
- Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem einzeichnen.
- Die Koordinatenpaare aller Punkte, die auf beiden Graphen liegen, sind Lösungen des linearen Gleichungssystems.
Lösungsmengen von LGS
Für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen in beiden Gleichungen gibt es die folgenden drei Fälle:-
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn beide Geraden die gleiche Steigung, aber einen unterschiedlichen
-
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn beide Geraden unterschiedliche Steigungen haben. Die Lösungsmenge besteht aus dem Koordinatenpaar des einzigen Schnittpunkts.
-
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn beide Geraden die gleiche Steigung und den gleichen
1
Forme die Gleichungen geeignet um und gib an, wie viele Lösungen das lineare Gleichungssystem hat.
Bestimme gegebenenfalls zeichnerisch die Lösungsmenge.
![\(\begin{array}[t]{rlll}
& \text{I:} & 2x+3y &=& 7 & \\[5pt]
& \text{II:} & 4x+2y&=& 10
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7ba855788b5f5e262bbdf2722eee06e784515eb999a78800853bfa891fd86074?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
& \text{I:} & -2x+4y &=& -2 & \\[5pt]
& \text{II:} & 2x-4y&=& -2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a05fc361e452167f84aaf5e83c45a6bd9471af92ac42d8dd9bb656a9390aceb6?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rlll}
& \text{I:} & 4x-2y &=& 8 & \\[5pt]
& \text{II:} &2x-y&=& 4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ab3bf0ef637702d35b4dbf24959a1f8a4167c5b39430e52f6a82844dade910fd?color=5a5a5a)
Bestimme gegebenenfalls zeichnerisch die Lösungsmenge.
a)
b)
c)
2
Gib zur Gleichung 
eine weitere Gleichung an, sodass das lineare Gleichungssystem
a)
keine Lösung hat.
b)
genau eine Lösung hat.
c)
unendlich viele Lösungen hat.
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a)
Umformen beider Gleichungen nach ergibt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I:} \quad 2x+3y&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; -2x \\[5pt]
3y&=& 7-2x &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt]
y&=& \dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3}x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/88196ddc83bfec1a4373d96451ed77809c850d73fa99b128fdd40509b2f3cfeb?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\text{II:} \quad 4x+2y&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt]
2y&=& 10-4x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt]
y&=& 5-2x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a30c468e213c46f7268ac63cd061f66a95f862cd5eee4433b0d048faea3e3728?color=5a5a5a)
Da die beiden Geradengleichungen unterschiedliche Steigungen haben, besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung.
Einzeichnen der beiden Geraden in ein entsprechendes Koordinatensystem ergibt:
Es gilt also: 
b)
c)
2
a)
Das lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung, wenn die beiden Geraden die gleiche Steigung aber unterschiedliche -Achsenabschnitte haben.
Eine mögliche zweite Gleichung ist beispielsweise:
b)
Das lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung, wenn die beiden Geraden unterschiedliche Steigungen haben.
Eine mögliche zweite Gleichung ist beispielsweise:
c)
Das lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn die beiden Geraden identisch sind, also die gleiche Steigung und den gleichen -Achsenabschnitt haben.
Eine mögliche zweite Gleichung ist beispielsweise:
