Wahlpflichtaufgaben

Aufgabe 1 – Sport

Gabriel geht 10-mal pro Monat joggen. Seine Trainingsstrecke ist $12,5\,\text{km}$ lang.
Wie viele Kilometer joggt er in einem Vierteljahr?

(2 Pkt.)

Die Skizze zeigt den Verlauf von Onurs Schwimmstrecke.
Wie lang ist seine zurückgelegte Strecke insgesamt?

hauptschulabschluss mathe 2015 baden-württemberg

Zeichnung nicht maßstabsgetreu!

(2 Pkt.)

Das Bild zeigt zwei Laufwege von Sportlern in einem Leichtathletikstadion.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu!

Der Laufweg der Innenbahn ist $400\,\text{m}$ lang.
Um wie viel Meter ist der Laufweg der Außenbahn länger?

(2 Pkt.)

Aufgabe 2 – Kochen

Spaghetti Carbonara
Rezept für 4 Personen

$400\,\text{g}$ Spaghetti
$250\,\text{g}$ Schinken
$4$ Eigelb
$60\,\text{g}$ Butter

Antonia möchte die genaue Zutatenmenge für 7 Personen berechnen.
Wie viel braucht sie von den einzelnen Zutaten?

(2 Pkt.)

Antonias Eltern möchten eine neue Küche für $10\,500\,€$ kaufen.
Sie entschließen sich für einen Ratenkauf (Laufzeit 36 Monate).
Dafür verlangt das Küchenstudio einen Aufschlag von $5\,\%$ auf den Kaufpreis.

Wie viel müssen Antonias Eltern monatlich bezahlen?

(2 Pkt.)

Welchen Durchmesser muss ein $16\,\text{cm}$ hoher zylinderförmiger Kochtopf mindestens haben, damit 5 Liter Wasser hineinpassen?
Runde auf ganze Zentimeter.

(2 Pkt.)

Aufgabe 3 – Smartphones

Diese Grafik zeigt die Verteilung der Smartphones auf die 5 größten Hersteller.

Wie viel Prozent der Smartphones entfallen auf den Hersteller C?

(2 Pkt.)

Bei einer Internetseite kann man seine eigene App erstellen.

Gestalte das Startbild deiner App selbst

Wähle jeweils aus...

... 2 Formen
... 4 Farben
... 3 Bildern

eine Möglichkeit aus.

Wie viele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt es?
Die Firma möchte 72 Kombinationsmöglichkeiten anbieten.
Wie viele Bilder, Formen und Farben könnten jetzt zur Auswahl stehen?

(2 Pkt.)

Im Jahr 2012 besaßen 87 Prozent der über 14-Jährigen ein Handy.
40 Prozent dieser Handys waren Smartphones.
Wie viele Smartphones besaßen die über 14-Jährigen?

Bevölkerung in Deutschland 2012:

Alter	Anzahl in Millionen
0 - 14	$10,64$
15 - 24	$8,78$
25 - 64	$44,41$
65 und älter	$16,69$

(2 Pkt.)

Aufgabe 4 – Schwimmbad

Wie viele Sekunden rutscht man mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ ?
Runde auf ganze Sekunden.

Superrutsche!
$180\,\text{m}$ Rutschspaß

(2 Pkt.)

Ein Schwimmbecken hat folgende Maße:

Zeichnung nicht maßstabsgetreu!

Wie viel $\text{m}^3$ Wasser passen in dieses Becken, wenn es bis zum Rand gefüllt ist?

(2 Pkt.)

Ein Schwimmbecken wurde renoviert und muss neu befüllt werden.
Insgesamt werden $2\,000\,000$ Liter Wasser benötigt.

Pumpe 1 läuft 5 Tage, dann wird zur Unterstützung auch noch Pumpe 2 eingesetzt. Beide Pumpen laufen ohne Unterbrechung.

Wie viele Tage dauert das Befüllen des Schwimmbeckens insgesamt?
Runde auf ganze Tage.

Leistung der Pumpe

Pumpe: $3\,500\,\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$
Pumpe: $2\,500\,\frac{\text{Liter}}{\text{Stunde}}$

(2 Pkt.)

Lösung 1

Wie oft geht Gabriel in einem Vierteljahr joggen?
Ein Vierteljahr hat $3$ Monate: $3\cdot 10=30$

Wie viele Kilometer joggt er in einem Vierteljahr?
$30\cdot 12,5\,\text{km}=375\,\text{km}$

Gabriel joggt in einem Vierteljahr also $375\,\text{km}.$

Die fehlende Streckenlänge $a$ kann mithilfe des Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;-b^2 \\[5pt] a^2&=&c^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] a&=&\sqrt{c^2-b^2} \\[5pt] a&=&\sqrt{(375\,\text{m})^2-(225\,\text{m})^2} \\[5pt] a&=&300\,\text{m} \end{array}$

Gesamtlänge der Strecke: $225\,\text{m}+375\,\text{m}+300\,\text{m}=900\,\text{m}$

Onurs Schwimmstrecke hat eine Länge von $900\,\text{m}.$

Der Laufweg setzt sich zusammen aus dem Laufweg oben, Laufweg unten und den beiden Halbkreisen links und rechts (= ein ganzer Kreis).

Kreisumfang berechnen

Die beiden Halbkreise entsprechen dem Umfang eines Kreises.
Dafür wird zunächst der Radius benötigt: $r=8,5\,\text{m}+36,5\,\text{m}=45\,\text{m}$

Damit folgt für den Umfang:
$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\pi\cdot r \\[5pt] u&=&2\pi\cdot 45\,\text{m} \\[5pt] u&\approx&283\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Länge des Laufwegs der Außenbahn berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s_{\text{außen}}&=& 85\,\text{m}+85\,\text{m}+283\,\text{m} \\[5pt] s_{\text{außen}}&=& 453\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Um wie viel Meter ist der Laufweg der Außenbahn länger?

$s_{\text{außen}}-s_{\text{innen}}=453\,\text{m}-400\,\text{m}=53\,\text{m}$

Der Laufweg der Außenbahn ist um $53\,\text{m}$ länger.

Lösung 2

Dreisatz für die Spaghetti

$:4$

$\cdot 7$

$\begin{array}{rcl} 4\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 400\,\text{g}\\[5pt] 1\,\text{Person} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\text{g}\\[5pt] 7\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 700\,\text{g}\\[5pt] \end{array}$

$:4$

$\cdot 7$

Dreisatz für den Schinken

$:4$

$\cdot 7$

$\begin{array}{rcl} 4\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 250\,\text{g}\\[5pt] 1\,\text{Person} & \mathrel{\widehat{=}}& 62,5\,\text{g}\\[5pt] 7\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 437,5\,\text{g}\\[5pt] \end{array}$

$:4$

$\cdot 7$

Dreisatz für das Eigelb

$:4$

$\cdot 7$

$\begin{array}{rcl} 4\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 4\\[5pt] 1\,\text{Person} & \mathrel{\widehat{=}}& 1\\[5pt] 7\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 7\\[5pt] \end{array}$

$:4$

$\cdot 7$

Dreisatz für die Butter

$:4$

$\cdot 7$

$\begin{array}{rcl} 4\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 60\,\text{g}\\[5pt] 1\,\text{Person} & \mathrel{\widehat{=}}& 15\,\text{g}\\[5pt] 7\,\text{Personen} & \mathrel{\widehat{=}}& 105\,\text{g}\\[5pt] \end{array}$

$:4$

$\cdot 7$

Antonia braucht für $7$ Personen:

$700\,\text{g}$ Spaghetti
$437,5\,\text{g}$ Schinken
$7$ Eigelb
$105\,\text{g}$ Butter

Küchenpreis mit Aufschlag berechnen

$:100$

$\cdot 105$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\%& \mathrel{\widehat{=}}&10\,500\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 105\,€\\[5pt] 105\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 11\,025\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 105$

Monatliche Rate berechnen

$11\,025\,€:36=306,25\,€$

Antonias Eltern müssen monatlich $306,25\,€$ bezahlen.

Damit mit der Volumen-Angabe gerechnet werden kann, wird diese in Kubikzentimeter umgerechnet:

$5\,\text{l}=5\,\text{dm}^3=5\,000\,\text{cm}^3$

Um den Durchmesser des Kochtopfs zu berechnen, wird die Formel zur Berechnung des Volumens nach $r$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&r^2\cdot \pi\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{V}{\pi}&=&r^2\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:h \\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot h}&=&r^2& \\[5pt] r^2&=&\dfrac{V}{\pi\cdot h}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{V}{\pi\cdot h}} \\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{5\,000\,\text{cm}^3}{\pi\cdot 16\,\text{cm}}} \\[5pt] r&\approx&10,0\,\text{cm} \end{array}$

Daraus folgt für den Durchmesser: $d=2\cdot r=2\cdot 10\,\text{cm} =20\,\text{cm}$

Der Topf muss also einen Durchmesser von $20\,\text{cm}$ haben.

Lösung 3

Die Grafik zeigt insgesamt $25$ Kästchen. Davon stehen $6$ Kästchen für den Hersteller C.

Damit lässt sich der Prozentsatz berechnen: $\dfrac{6}{25}=0,24=24\,\%$

$24\,\%$ der Smartphones entfallen auf den Hersteller C.

Wie viele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten gibt es?

Um den Überblick über alle möglichen Kombinationen zu bewahren, hilft das Erstellen eines Baumdiagramms:

Zu jeder Farbe gehören drei Bild-Pfade. Aus Platzgründen sind in dem Baumdiagramm nur $6$ Bild-Pfade eingezeichnet.

Um die Anzahl aller Möglichkeiten zu ermitteln, müssen alle Bild-Pfade gezählt werden: Es gibt also $2\cdot 4\cdot 3=24$ Möglichkeiten.

Wie viele Bilder, Formen und Farben könnten jetzt zur Auswahl stehen?

Lösungsweg 1: Die Anzahl der Formen wird verändert

Die Unbekannte $x$ steht für die neue Anzahl der Formen:
$\begin{array}[t]{rll} x\cdot 4\cdot 3&=&72 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] x\cdot 3&=&18 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] x&=&6 \end{array}$

Für 72 Kombinationsmöglichkeiten könnten 6 Formen, 4 Farben und 3 Bilder zur Verfügung stehen.

Lösungsweg 2: Die Anzahl der Farben wird verändert

Die Unbekannte $y$ steht für die neue Anzahl der Farben:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot y\cdot 3&=&72 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] y\cdot 3&=&36 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] y&=&12 \end{array}$

Für 72 Kombinationsmöglichkeiten könnten 2 Formen, 12 Farben und 3 Bilder zur Verfügung stehen.

Lösungsweg 3: Die Anzahl der Bilder wird verändert

Die Unbekannte $z$ steht für die neue Anzahl der Bilder:
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 4\cdot z&=&72 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 4\cdot z&=&36 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] z&=&9 \end{array}$

Für 72 Kombinationsmöglichkeiten könnten 2 Formen, 4 Farben und 9 Bilder zur Verfügung stehen.

Hinweis: Bei Lösungsweg 1, 2 und 3 wurde jeweils eine der drei Komponenten geändert. Es können auch mehrere Komponenten geändert werden, um auf 72 Kombinationsmöglichkeiten zu kommen.

Anzahl aller über 14-Jährigen im Jahr 2020 berechnen

$8,78\,\text{Mio.}+44,41\,\text{Mio.}+16,69\,\text{Mio.}=69,88\,\text{Mio.}$

Anzahl der Handys berechnen

Lösung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 87$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 69,88\,\text{Mio.}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{69,88}{100}\,\text{Mio.}\\[5pt] 87\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{69,88}{100}\cdot 87\,\text{Mio.}\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 87$

$\dfrac{69,88}{100}\cdot 87\,\text{Mio.}=60,7956\,\text{Mio.}$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{69,88\,\text{Mio.}\cdot 87}{100} \\[5pt] P&=&60,7956\,\text{Mio.} \\[5pt] \end{array}$

Anzahl der Smartphones berechnen

Lösung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 40$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 60,7956\,\text{Mio.}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{60,7956}{100}\,\text{Mio.}\\[5pt] 40\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{60,7956}{100}\cdot 40\,\text{Mio.}\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 40$

$\dfrac{60,7956}{100}\cdot 40\,\text{Mio.}\approx 24,3\,\text{Mio.}$

Lösung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{60,7956\,\text{Mio.}\cdot 40}{100} \\[5pt] P&\approx& 24,3\,\text{Mio.} \\[5pt] \end{array}$

Etwa $24,3\,\text{Mio.}$ der über 14-Jährigen besaßen 2012 ein Smartphone.

Lösung 4

Um die Dauer zu berechnen, wird die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit nach $t$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{s}{t}\quad\quad\quad\quad\scriptsize \mid\;\cdot t \\[5pt] v\cdot t&=& s\quad\quad\quad\quad\quad\scriptsize \mid\;:v \\[5pt] t&=& \dfrac{s}{v}\\[5pt] t&=& \dfrac{0,18\,\text{km}}{15\dfrac{\text{km}}{\text{h}}}\\[5pt] t&=& 0,012\,\text{h}\\[5pt] t&=& 60\cdot 0,012\,\text{min}=0,72\,\text{min}\\[5pt] t&=& 60\cdot 0,72\,\text{sec}=43,2\,\text{sec}\approx 43\,\text{sec}\\[5pt] \end{array}$

Mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rutscht man etwa $43,2\,\text{sec}.$

Volumen des Quaders $Q_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{Q_1}&=&a\cdot b\cdot c \\[5pt] V_{Q_1}&=&35\,\text{m}\cdot 2\,\text{m}\cdot 12\,\text{m} \\[5pt] V_{Q_1}&=&840\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Volumen des Quaders $Q_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_{Q_2}&=&a\cdot b\cdot c \\[5pt] V_{Q_2}&=&15\,\text{m}\cdot 4\,\text{m}\cdot 12\,\text{m} \\[5pt] V_{Q_2}&=&720\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Volumen des Dreiecksprismas $D$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_D&=&G\cdot h_D \\[5pt] V_D&=&\dfrac{g\cdot h}{2}\cdot h_D \\[5pt] V_D&=&\dfrac{2\,\text{m}\cdot 15\,\text{m}}{2}\cdot 12\,\text{m} \\[5pt] V_D&=&180\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Volumen des gesamten Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&V_{Q_1}+V_{Q_2}+V_D \\[5pt] V_K&=&840\,\text{m}^3+720\,\text{m}^3+180\,\text{m}^3 \\[5pt] V_K&=&1\,740\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$

Gepumptes Wasser nach 5 Tagen: $5\cdot 24\,\text{h}\cdot 3\,500\,\frac{\text{l}}{\text{h}}=420\,000\,\text{l}$

Leistung der beiden Pumpen: $3\,500\,\frac{\text{l}}{\text{h}}+2\,500\,\frac{\text{l}}{\text{h}}=6\,000\,\frac{\text{l}}{\text{h}}$

Nach 5 Tagen werden noch $2\,000\,000-420\,000=1\,580\,000$ Liter Wasser benötigt.

Mit diesen Angaben kann eine Gleichung aufgestellt werden. Dabei steht die Unbekannte $x$ für die Anzahl der Tage, die die Pumpe nach Ablauf der 5 Tage noch laufen muss:

$\begin{array}[t]{rll} x\cdot 24\cdot 6\,000&=&1\,580\,000 &\quad \scriptsize \mid\;:24 \\[5pt] x\cdot 6\,000&=&\dfrac{1\,580\,000}{24} &\quad \scriptsize \mid\;:6\,000 \\[5pt] x&=&\dfrac{1\,580\,000}{24\cdot 6\,000\,} & \\[5pt] x&\approx&11 & \end{array}$

Es dauert also insgesamt $5+11=16$ Tage, das Schwimmbecken zu befüllen.