Pflichtteil A2

Die Löwin ist im Maßstab 1:40 dargestellt.
Wie hoch ist sie in Wirklichkeit?

hauptschulabschluss mathe 2020 baden-württemberg

(2 Pkt.)

Leo möchte sich alle Teile der Basketballbekleidung kaufen.

In welchem Geschäft muss er weniger bezahlen?
Begründe rechnerisch.
Wie viel Prozent hat er in Geschäft B zum ursprünglichen Preis gespart?

(2 Pkt)

Die internationale Raumstation ISS umkreist die Erde.
Eine Umdrehung um die Erde dauert 91 Minuten.
Die ISS befindet sich dabei in durchschnittlich 365 Kilometer Höhe (h) über der Erdoberfläche.
Die Erde hat einen mittleren Radius (r) von 6371 Kilometern.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Welchen Weg legt die ISS in $60$ Minuten zurück?

(2 Pkt.)

Eine kleine Windkraftanlage wird wie im Bild mit zwei Seilen gesichert.

Zeichnung nicht maßstabsgetreu

Wie viel Meter Seil wird mindestens benötigt?

(2 Pkt.)

Auf einer Party treffen sich sechs Personen.
Jeder schüttelt jedem nur einmal die Hand.

Wie oft werden insgesamt Hände geschüttelt?

(2 Pkt.)

Löwin am Pfeil abmessen: $2,9\,\text{cm}$
Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Der Maßstand 1:40 bedeutet, dass $1\,\text{cm}$ in der Zeichnung in Wirklichkeit $40\,\text{cm}$ entspricht.
Somit muss die gemessene Höhe mit $40$ multipliziert werden: $40\cdot 2,9\,\text{cm}=116\,\text{cm}$

Die Löwin ist in Wirklichkeit $116\,\text{cm}$ hoch.

In welchem Geschäft muss er weniger bezahlen?

Gesamtpreis in Geschäft A

Preis ohne Rabatt: $80\,€+40\,€+20\,€=140\,€$
Preis mit Rabatt:

Rechnung über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 25$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 140\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1,4\,€\\[5pt] 25\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 35\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 25$

$140\,€-35\,€=\boldsymbol{105\,€}$

Rechnung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] P&=&\dfrac{140\,€\cdot 25}{100} \\[5pt] P&=&35\,€ \end{array}$

$140\,€-35\,€=\boldsymbol{105\,€}$

In Geschäft A kostet die Fußballbekleidung $105\,€.$

Gesamtpreis in Geschäft B

$60\,€+25\,€+15\,€=\boldsymbol{100\,€}$

In Geschäft B kostet die Fußballbekleidung $100\,€.$

Somit muss Leo in Geschäft B weniger zahlen.

Wie viel Prozent hat er in Geschäft B zum ursprünglichen Preis gespart?

Ursprünglicher Preis: $80\,€+40\,€+20\,€=140\,€$

Rechnung über den Dreisatz

$:140$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 140\,€\\[5pt] \dfrac{100}{140}\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,€\\[5pt] \dfrac{100}{140}\,\%\cdot 100 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,€ \end{array}$

$:140$

$\cdot 100$

$\dfrac{100}{140}\,\%\cdot 100\approx 71,4\,\%$

$100\,\%-71,4\,\%=\boldsymbol{28,6\,\%}$

Rechnung über die Formel

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=&\dfrac{P\cdot 100}{G}\,\% \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{100\,€ \cdot 100}{140\,€}\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx&71,4\,\% \end{array}$

$100\,\%-71,4\,\%=\boldsymbol{28,6\,\%}$

Leo hat $28,6\,\%$ gespart.

Zuerst wird die Strecke berechnet, die die ISS bei einer ganzen Drehung um die Erde zurücklegt. Diese Strecke entspricht dem Umfang des Kreises.

Dafür muss der Radius dieses Kreises berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} r_{\text{Kreis}}&=& r+h \\[5pt] r_{\text{Kreis}}&=& 6\,371\,\text{km}+365\,\text{km} \\[5pt] r_{\text{Kreis}}&=& 6\,736\,\text{km} \end{array}$

Damit lässt sich nun der Umfang des Kreises berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} u_{\text{Kreis}}&=&2\cdot \pi\cdot r_{\text{Kreis}} \\[5pt] u_{\text{Kreis}}&=&2\cdot \pi\cdot 6\,736\,\text{km} \\[5pt] u_{\text{Kreis}}&\approx&42\,323,5\,\text{km} \end{array}$

In 91 Minuten legt die ISS also eine Strecke von $42\,323,5\,\text{km}$ zurück.

Mit dem Dreisatz lässt sich berechnen, welchen Weg die ISS in 60 Minuten zurücklegt:

$:91$

$\cdot 60$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 91\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& 42\,323,5\,\text{km}\\[5pt] 1\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{42\,323,5\,\text{km}}{91}\\[5pt] 60\,\text{min} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{42\,323,5\,\text{km}}{91}\cdot 60 \end{array}$

$:91$

$\cdot 60$

$\dfrac{42\,323,5\,\text{km}}{91}\cdot 60\approx 27\,906\,\text{km}$

Die ISS legt in 60 Minuten $27\,906\,\text{km}$ zurück.

Die Länge eines Seils lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dabei entspricht die gesuchte Länge jeweils der Hypotenuse.

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] c^2&=&(490\,\text{cm})^2+(1\,260\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt] c&=&\sqrt{(490\,\text{cm})^2+(1\,260\,\text{cm})^2} &\\[5pt] c&\approx&1\,351,92\,\text{cm} \end{array}$

Damit lässt sich die Länge von zwei Seilen berechnen: $2\cdot 1\,351,92\,\text{cm} =2\,703,84\,\text{cm}\approx27,04\,\text{m}$

Es werden mindestens $27,04\,\text{m}$ Seil benötigt.

Um bei dieser Aufgabe besser den Überblick zu behalten, werden die Personen z.B. mit A, B, C, D, E und F benannt.

Person A schüttelt 5 Personen die Hand (Person B, C, D, E, F).
Person B schüttelt 4 Personen die Hand (Person C, D, E, F).
Person C schüttelt 3 Personen die Hand (Person D, E, F).
Person D schüttelt 2 Personen die Hand (Person E, F).
Person E schüttelt 1 Personen die Hand (Person F).

$5+4+3+2+1=15$

Es werden 15-mal Hände geschüttelt.