Wahlaufgabe 2

Das Schwimmbecken eines Freibades hat die Form eines geraden Prismas und ist bis zum Rand mit Wasser gefüllt.
(Hinweis: In der Darstellung liegt die Grundfläche dieses Prismas in der $xy$ -Ebene.)

Skizze nicht maßstäblich

Die Vorderkante des Bodens im Flachwasserbereich kann durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)= -\frac{1}{50}\cdot x-\frac{1}{5}$ mathematisch beschrieben werden.
Zeige, dass die Wassertiefe im Flachwasserbereich von 20 cm auf 50 cm steigt.
Untersuche, ob du bei der Wassertiefe $t$ noch stehen kannst.

(4 BE)

Das Schwimmbecken wird zur Reinigung vollständig geleert.
Pro Minute fließen 1 000 Liter Wasser ab.
Berechne die dazu benötigte Zeit.

(3 BE)

Weise nach, dass der Boden im Schwimmerbereich dreimal so stark abfällt wie der im Flachwasserbereich.

(2 BE)

Ein Kinderpool hat die Form eines Dreiecks mit angesetzten Halbkreisen.
Zeige, dass man den Flächeninhalt dieses Pools mit $A= \dfrac{a^2}{2}\cdot (\pi+1)$ berechnen kann.
Ermittle $a$ so, dass dieser Flächeninhalt $100\,\text{m}^2$ beträgt.

(3 BE)

Bei einem Spiel darf man für einen Einsatz von $k$ Euro zwei ideale Würfel genau einmal werfen. Ergibt das Produkt der Augenzahlen 36, erhält man 100 Euro, ist das Produkt der Augenzahlen durch fünf teilbar, erhält man 4 Euro. Bei allen anderen Produkten erhält man nichts.
Berechne den Einsatz $k,$ für den das Spiel fair ist.
Hinweis: Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist.

(3 BE)

Steigung der Wassertiefe zeigen

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& -\dfrac{1}{50}\cdot 0 -\dfrac{1}{5}\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{5} \\[5pt] &=& -0,2\\[10pt] f(15) &=& -\dfrac{1}{50}\cdot 15 -\dfrac{1}{5}\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& -0,5\\[10pt] \end{array}$

Zu Beginn des Flachwasserbereichs beträgt die Wassertiefe $20\,\text{cm},$ zum Ende beträgt sie $50\,\text{cm}.$ Die Wassertiefe steigt also im Flachwasserbereich von $20\,\text{cm}$ auf $50\,\text{cm}.$

Untersuche, ob du noch stehen kannst

Geradengleichung aufstellen

Die Vorderkante des Bodens im Schwimmerbereich kann durch eine Gerade $g$ beschrieben werden. Aus der obigen Rechnung ergibt sich, dass der Punkt $P(15\mid -0,5)$ auf dieser Gerade liegen muss. Aus der Abbildung lässt sich außerdem ablesen, dass $Q(45\mid -2,3)$ auf $g$ liegt.

Mithilfe des Differenzenquotienten lässt sich die Steigung von $g$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P} \\[5pt] &=& \dfrac{-2,3-(-0,5)}{45-15} \\[5pt] &=& \dfrac{-1,8 }{30} \\[5pt] &=& -0,06 \end{array}$

Die Geradengleichung ist also von der Form $g(x)=-0,06\cdot x+n.$ Einsetzen der Koordinaten von $P$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& -0,06\cdot x +n \quad \scriptsize \mid\; P(15\mid -0,5) \\[5pt] -0,5 &=& -0,06\cdot 15 +n \\[5pt] -0,5 &=& -0,9 +n \quad \scriptsize \mid\; +0,9\\[5pt] 0,4 &=& n \end{array}$

Die Vorderkante des Bodens im Schwimmerbereich kann also durch $g(x)= -0,06x+0,4$ beschrieben werden.

Wassertiefe berechnen

$\begin{array}[t]{rll} g(30)&=& -0,06\cdot 30+0,4 \\[5pt] &=& -1,4 \\[5pt] \end{array}$

Die Wassertiefe $t$ beträgt $1,4\,\text{m}.$ Vergleiche diesen Wert mit deiner Körpergröße, um herauszufinden, ob du an dieser Stelle noch stehen kannst.

Das Schwimmbecken hat die Form eines Prismas, dessen Grundfläche wie folgt in zwei Trapeze aufgeteilt werden kann. Für die Beschriftung der Seitenlängen werden die Ergebnisse aus der letzten Teilaufgabe verwendet.

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt für die beiden Trapeze:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \dfrac{0,2\,\text{m}+0,5\,\text{m}}{2}\cdot 15\,\text{m} \\[5pt] &=& 5,25\,\text{m}^2 \\[10pt] A_2&=& \dfrac{0,5\,\text{m}+2,3\,\text{m}}{2}\cdot 30\,\text{m} \\[5pt] &=& 42\,\text{m}^2 \\[10pt] \end{array}$

Die gesamte Grundfläche ist also $G=42\,\text{m}^2+5,25\,\text{m}^2= 47,25\,\text{m}^2$ groß. Die Höhe des Prismas entspricht der Breite des Schwimmbeckens und ist daher $h=20\,\text{m}.$ Für das Volumen folgt insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &=& 47,25\,\text{m}^2 \cdot 20\,\text{m} \\[5pt] &=& 945\,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 945\,000\,\ell \end{array}$

Da pro Minute $1\,000\,\ell$ Wasser abfließen, werden zum Leeren des Beckens 945 min = 15 h 45 min benötigt.

Der Verlauf der Bodenkante im Flachwasserbereich wird durch die Funktion $f$ beschrieben, der Verlauf der Bodenkante im Schwimmerbereich durch die Funktion $g$ aus Teilaufgabe a.

Die Gerade $f$ hat die Steigung $m_f=-\dfrac{1}{50},$ die Gerade $g$ hat die Steigung $m_g= -0,06= -\dfrac{3}{50}.$ Die Steigung von $g$ ist das dreifache der Steigung von $f.$

Da beide Steigungen negativ sind, fällt der Boden im Schwimmerbereich daher dreimal so stark ab wie im Flachwasserbereich.

Formel für den Flächeninhalt zeigen

Die Fläche des Pools setzt sich zusammen aus:

einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck mit Kathetenlänge $a$ und der Hypotenuse $b:$
$A_1 = \dfrac{a^2}{2}$
zwei Halbkreisen mit dem Durchmesser $a.$ Diese lassen sich zu einem Kreis zusammenfassen:
$A_2 = \pi \cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$
einem Halbkreis mit dem Durchmesser $b:$
$A_3 = \dfrac{1}{2}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{b}{2}\right)^2$

Die Seitenlänge $b$ kann mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von $a$ dargestellt werden:

$\begin{array}[t]{rll} a^2 + a^2 &=& b^2 \\[5pt] 2a^2 &=& b^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{2}a &=& b \end{array}$

Damit gilt für den Flächeninhalt des gesamten Pools:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_1 +A_2 +A_3\\[5pt] &=& \dfrac{a^2}{2}\cdot \left(\pi +1 \right) \end{array}$

Parameterwert berechnen

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $A=100\,\text{m}^2.$

$\begin{array}[t]{rll} A &=& 100\,\text{m}^2 \\[5pt] \dfrac{a^2}{2}\cdot \left(\pi +1 \right) &=& 100\,\text{m}^2 \quad \scriptsize \mid\;:\left(\pi +1 \right) \\[5pt] \dfrac{a^2}{2} &=& \dfrac{100\,\text{m}^2}{\pi +1} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] a^2 &=& \dfrac{200\,\text{m}^2}{\pi +1} \\[5pt] a &=& \sqrt{\dfrac{200\,\text{m}^2}{\pi +1} } \\[5pt] a &\approx& 6,9\,\text{m} \end{array}$

Mit $a\approx 6,9\,\text{m}$ beträgt der Flächeninhalt des Pools ca. $100\,\text{m}^2.$ Die negative Lösung der Gleichung ist im Sachzusammenhang zu vernachlässigen.

Es gibt drei verschiedene Fälle:

Eine Auszahlung von $100\,€,$ wenn das Produkt der Augenzahlen $36$ beträgt. Dies ist nur möglich, wenn beide Würfel die Augenzahl $6$ zeigen.
$P(100\,€) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$
Eine Auszahlung von $4\,€,$ wenn das Produkt der Augenzahlen durch $5$ teilbar ist. Dies ist möglich, wenn mindestens einer der beiden Würfel die Augenzahl $5$ zeigt.
$P(4\,€) = \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{36}$
Keine Auszahlung in allen anderen Fällen.

Der Erwartungswert des Gewinns lässt sich dann wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& 100\,€\cdot \dfrac{1}{36} + 4\,€\cdot \dfrac{11}{36} - k\\[5pt] &=& 4\,€ -k \\[5pt] \end{array}$

Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert gleich 0 sein.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 4\,€ -k &\quad \scriptsize \mid\;+k \\[5pt] k&=& 4\,€ \end{array}$

Bei einem Einsatz von $4\,€$ pro Spiel ist das Spiel fair.