Pflichtaufgabe 1 – Ohne Hilfsmittel

Ordne den Gleichungen die passende Lösungsmenge zu.
$L_1=\{1\},$ $L_2=\{-1;1\},$ $L_3=\{-2;1\},$ $L_4=\{-1;2\},\,L_5=\{4\}$

Gleichung	Lösungsmenge
$x^4=1$
$(x-1)\cdot(x+2)=0$
$2^x+10=26$

(3 BE)

Berechne.

$3^{-2}\cdot \log_2 8=$

(2 BE)

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ durch $f(x)=x^3+1$ und $g(x)=-2x+4$ mit $x\in\mathbb{R}.$
Ermittle zeichnerisch den Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $g$ .

(3 BE)

Gib eine Gleichung einer Sinusfunktion mit folgenden beiden Eigenschaften an:

Die kleinste Periode ist $\pi$ .
Der Wertebereich ist $-3\leq y\leq 3$ .

(2 BE)

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $ABC.$ Die Basis hat eine Länge von $c=8\,\text{cm}$ und die Höhe auf der Basis hat eine Länge von $h_c=5\,\text{cm}.$

Zeichne das Dreieck $ABC$ und berechne die Länge der Schenkel dieses Dreiecks.

(3 BE)

Vervollständige die Gleichungen für dieses Dreieck $ABC.$

$\tan(\sphericalangle BAC)=$

$\sin\left(\dfrac{\sphericalangle ACB}{2}\right)=$

(2 BE)

Ein idealer Würfel mit den Augenzahlen $7,\,8,\,8,\,9,\,9,\,9$ wird zweimal geworfen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse.
$A:=$ „Die Summe der Augenzahlen beträgt $19.$ “
$B:=$ „Die Summe der Augenzahlen ist größer als $16.$ “

(3 BE)

Das Glücksrad soll so vervollständigt werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Pfeil auf einen schwarzen Sektor zeigt, $\frac{5}{12}$ beträgt.
Erläutere ein mögliches Vorgehen.

(2 BE)

Gleichung	Lösungsmenge
$x^4=1$	$L_2=\{-1;1\}$
$(x-1)\cdot(x+2)=0$	$L_3=\{-2;1\}$
$2^x+10=26$	$L_5=\{4\}$

Bei der Gleichung $x^4=1$ kommen aufgrund des geraden Exponenten sowohl $x=1$ als auch $x=-1$ infrage.

Die Gleichung $(x-1)\cdot(x+2)=0$ ist erfüllt, wenn eines der beiden Produkte gleich null ist. Das ist für $x=1$ und $x=-2$ der Fall.

Die Lösungsmenge der Gleichung $2^x+10=26$ lässt sich durch Umformen ermitteln:

$\begin{array}[t]{rll} 2^x+10&=& 26 \quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] 2^x&=& 16 \\[5pt] 2^x&=& 2^4 \\[5pt] x&=& 4 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 3^{-2}\cdot \log_2 8&=& \dfrac{1}{3^2}\cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9}\cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich im Punkt $S(1\mid 2).$

Die Parameter der Funktion $f(x)=a\cdot \sin(bx)$ sollen so gewählt werden, dass die Funktion die gegebenen Eigenschaften erfüllt.

Der Wertebereich $-3\leq y \leq 3$ kann durch den Faktor $a=3$ erreicht werden.

Für die kleiste Periode soll $\dfrac{2\pi}{b}=\pi$ gelten. Daraus folgt $b=2.$

Eine mögliche Funktion mit den gewünschten Eigenschaften ist also gegeben durch $f(x)=3\cdot\sin(2x).$

Dreieck zeichnen

Länge der Schenkel berechnen

Die Länge der Schenkel kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& \left(\dfrac{1}{2}c\right)^2+(h_c)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] s &=& \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}c\right)^2+(h_c)^2}\\[5pt] s &=& \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\cdot 8\,\text{cm}\right)^2+(5\,\text{cm})^2}\\[5pt] s &=& \sqrt{41}\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Die Schenkel des Dreiecks sind $\sqrt{41}\,\text{cm}$ lang.

$\tan(\sphericalangle BAC)=\tan(\sphericalangle MAC)=\dfrac{\overline{MC}}{\overline{AM}}=\dfrac{5}{4}$

$\sin\left(\dfrac{\sphericalangle ACB}{2}\right)=\sin(\sphericalangle ACM)=\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AC}}=\dfrac{4}{\sqrt{41}}$

Die höchste Summe, die erreicht werden kann, ist $9+9=18.$ Daher kann das Ereignis $A$ nicht eintreten.

$P(A)=0$

Eine Augensumme höher als 16 kann durch die Ereignisse $(8;9),$ $(9;9)$ und $(9;8)$ erreicht werden.

$P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{12}$

Das Glücksrad könnte in 12 gleich große Sektoren eingeteilt werden, von denen 5 schwarz eingefärbt werden. Ein Sektor hätte dann einen Zentriwinkel von $\dfrac{360°}{12}=30°.$