Modelle der Quantenphysik

Einführung

Abb. 1: Wie die Würfel fallen, hängt in der klassischen Physik nur von den Gegebenheiten ab und kann theoretisch vollständig berechnet werden.

Existiert auf der Welt eigentlich ein echter Zufall? Fallen die Würfel im Casino wirklich immer zufällig oder könnte man die gewinnbringenden Zahlen vielleicht im Voraus berechnen? Oder sind Zufallszahlen eines Computers wirklich zufällig?
Zufallszahlen eines Computers sind trotz des Namens nicht zufällig, da sie schlichtweg von einem Rechenalgorithmus berechnet werden. Und die Augenzahlen eines Würfels? Die klassische Physik geht davon aus, dass wenn man die Anfangsposition des Würfels, die Drehung der Hand, Luftbewegung und -widerstand sowie alle anderen Einflussfaktoren nur schnell genug berechnen könnte, so könnte man die Augenzahl des Würfels noch während der Würfel fällt vorhersagen. Diese Eigenschaft der klassischen Physik nennt man deterministisch.

Doch gilt dies auf für Experimente der Quantenphysik? Könnte man theoretisch vorhersagen, durch welchen Spalt ein Photon beim Doppelspaltversuch fliegt?

Der Zufall in der Quantenphysik

Ein Strahlteiler teilt Strahlen von Photonen, Elektronen oder anderen Quantenobjekten, indem sie teilweise durchgelassen oder reflektiert werden. Hinter dem Strahlteiler können die Objekte schließlich auf beiden Wegen nachgewiesen werden. Ein solcher Strahlteiler ist beispielsweise eine Fensterscheibe. An ihr wird ein Teil des Lichts reflektiert und ein anderer Teil wird durchgelassen. Wenn die Scheibe in geeignetem Maße verspiegelt ist, so geht genau die Hälfte des Lichts durch und die andere Hälfte wird zurück geworfen. Wir nennen so etwas einen 50 %-Strahlteiler.

Abb. 2: Das Quantenobjekt wird am Strahlteiler entweder durchgelassen oder reflektiert

Betrachten wir das in Abbildung 2 dargestellte Experiment, bei dem einzelne Quantenobjekte auf einen solchen 50 %-Strahlteiler treffen. Die Quanten gehen entweder durch den Strahlteiler hindurch oder werden an ihm in eine andere Richtung reflektiert. Am Ende dieser beiden Wege sind zwei Detektoren zum Nachweis der Quantenobjekte angebracht.
Bei der Durchführung des Experiments kannst du feststellen, dass die Quantenobjekte immer nur von einem Detektor und nie von beiden gleichzeitig nachgewiesen werden.

Führst du das Experiment mit genügend Quanten durch, so kannst du feststellen, dass etwa die Hälfte der Quantenobjekte von Detektor $A$ bzw. Detektor $B$ registriert werden. Welcher Detektor allerdings anspricht ist völlig zufällig. Ob ein einzelnes Quant also durch den Strahlteiler geht oder an ihm reflektiert wird, entscheidet der Zufall.
Versuchsergebnisse in der Quantenphysik werden vom Zufall bestimmt. Das ist vergleichbar mit dem Münzwurf. Hier ist ebenfalls nicht vorhersagbar, ob „Kopf“ oder „Zahl“ fallen wird. Die Wahrscheinlichkeit für beide ist jeweils 50 %. Quantenobjekte verhalten sich also stochastisch. Es gilt also für die Wahrscheinlichkeit $P$ ein Quantenobjekt an einem der beiden Detektoren anzutreffen:

$P(A) = P(B) = 0,5$

Abb. 3: Das Quantenobjekt trifft auf zwei Strahlteiler

Um einen solchen Strahlteiler mit dem Teilchenmodell zu erklären, könnte man annehmen, dass das unteilbare Quant mit 50 %-iger Wahrscheinlichkeit durchgelassen oder reflektiert wird. Das durchgelassene Quant müsste demnach eine Eigenschaft „Ich werde durchgelassen!“ tragen und in unserem zweiten Experiment mit zwei Strahlteilern, wie in Abbildung 3 dargestellt, auch durch den Weiteren gehen. Demnach würden alle Quanten die am ersten Strahlteiler durchgelassen werden auch durch den zweiten gehen und am Detektor $C$ würde kein Quant ankommen.

Es müsste also gelten:

$P(A) = P(B) = 0,5$ und $P(C)=0$

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du allerdings in Wirklichkeit nicht beobachten. Sondern das Messergebnis kann folgendermaßen angegeben werden:

$P(B) = 0,5$ und $P(A)=P(C)=0,25$

Dies bedeutet also, dass ein Quant keine Eigenschaft „Ich werde durchgelassen!“ trägt, sondern an jedem Strahlteiler der Zufall entscheidet, ob das Quantenobjekt durchgelassen oder reflektiert wird.

Mach-Zehnder-Interferometer

Erweitern wir die Versuchsanordnung aus Abbildung 2 um zwei Spiegel, so kreuzen sich die möglichen Wege zu den Detektoren zwar, aber das Versuchsergebnis bleibt das gleiche. Durch Hinzufügen eines weiteren Strahlenteilers erhalten wir ein so genanntes Mach-Zehnder-Interferometer, das in Abbildung 4 dargestellt wird. Was erwartest du bei einem solchen Versuch?

Abb. 4: Das Quantenobjekt in einem Mach-Zehnder-Interferometer

Am 1. Strahlteiler $St\,1$ werden jeweils 50 % der Quantenobjekte durchgelassen bzw. reflektiert. Die durchgelassenen Quanten werden schließlich am 1. Spiegel $S\,1$ reflektiert am 2. Strahlteiler $St\,2$ erneut geteilt. Damit erreichen jeweils 25 % der Quantenobjekte die Detektoren $A$ und $B$ über den roten Weg. Gleiches scheint für den blauen Weg der Quanten zu gelten. Damit müssten also die Detektoren mit je 50 %-iger Wahrscheinlichkeit die Quantenobjekte nachweisen und es müsste gelten:

$P(A)=P(B)=0,5$

In Wahrheit sieht das Messergebnis allerdings anders aus. Alle Quantenobjekte kommen am Detektor $A$ an und es folgt damit:

$P(A)=1$ und $P(B)=0$

Dies lässt sich damit erklären, dass Reflexion an Spiegeln, wie im Skript Reflexion bei Querwellen erklärt, einen Phasensprung um $\boldsymbol\pi$ erzeugen. Bei der Reflexion an Strahlteilern hängt der Phasensprung von der Orientierung der Beschichtung ab. Trifft ein Quantenobjekt auf die Beschichtung (schwarz markiert) wird ebenfalls ein Phasensprung um $\pi$ erzeugt, trifft er hingegen auf die weiße Seite, so erfolgt kein Phasensprung. Betrachten wir mit diesem Wissen die Wege zu den Detektoren getrennt:

Zum Detektor $\boldsymbol{A}$ gelangen wir entweder durch Reflexion an $S\,1$ und $St\,2$ oder durch Reflexion an $St\,1$ und $S\,2$ . Für beide Wege erfolgt also jeweils ein Phasensprung um $2\,\pi$ :

1. Weg (rot): St 1 $\rightarrow$ S 1 $\rightarrow$ St 2
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l}\varphi_1=&0&+&\pi&+&\pi&=&2\pi\end{array}$

2.Weg (blau): St 1 $\rightarrow$ S 2 $\rightarrow$ St 2
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l}\varphi_2=&\pi&+&\pi&+&0&=&2\,\pi\end{array}$

$\begin{array}{r@{\qquad}*{8}{cccccccl}r@{\qquad}l} &&&&&&&&\;\;\;\,\,\delta&=&0 \end{array}$

Für beide Wege ergibt sich ein identischer Phasensprung und daher herrscht bei $A$ kein Gangunterschied und es kommt zu konstruktiver Interferenz. Für den Weg zum Detektor $\boldsymbol{B}$ ergibt sich jedoch folgendes:

1. Weg (rot): St 1 $\rightarrow$ S 1 $\rightarrow$ St 2
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l}\varphi_1=&0&+&\pi&+&0&=&\pi\end{array}$

2.Weg (blau): St 1 $\rightarrow$ S 2 $\rightarrow$ St 2
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l}\varphi_2=&\pi&+&\pi&+&0&=&2\,\pi\end{array}$

$\begin{array}{r@{\qquad}*{8}{cccccccl}r@{\qquad}l} &&&&&&&&\;\;\;\,\,\delta&=&\pi \end{array}$

Wir erhalten für die Wege zum Detektor $B$ keinen einheitlichen Phasensprung, sondern einen Gangunterschied von $\delta=\pi$ und damit kommt es zu destruktiver Interferenz.
Die Zustände interferieren also konstruktiv für den Detektor $A$ und destruktiv für $B$ . Demzufolge kommen alle Quanten am Detektor $A$ an.

Unterschiedliche Darstellung von Quantenobjekten

Quantenobjekte sind weder Kugeln, noch Wellen, noch Wolken, noch irgendetwas das wir aus der Erfahrung unseres Alltags kennen. Es gibt also kein Bild oder Modell mit dem wir sie uns mit allen ihren Eigenschaften bildlich vorstellen können. Daher wäre es am konsequentesten, wenn wir würden uns überhaupt kein Bild von Quantenobjekten machen. Da wir uns aber alle die Quanten in unseren Köpfen vorstellen, werden dir hier drei verschiedene Darstellungen vorgestellt, die je nachdem, welche Experimente beschrieben werden, unterschiedliche Stärken haben.

$\blacktriangleright$ Teilchenmodell

Abb. 5: Das Teilchenmodell

Das Teilchenmodell ist immer dann sinnvoll, wenn das Körnige von Quanten im Vordergrund steht. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn der äußere photoelektrische Effekt oder die Messung in einem Detektor beschrieben werden soll. Auch der Nachweis von Radioaktivität als „Klicks“ in einem Zählrohr wird am besten über den Teilchencharakter beschrieben.

$\blacktriangleright$ Wolke

Abb. 6: Das Wolkenmodell

Die Farbe und damit die Dichte der Wolke an einem bestimmten Ort ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich es ist, das Quantenobjekt an diesem Ort $x$ anzutreffen.
Die Dichte der Wolke bezeichnet damit auch, stellvertretend für die Bornschen Deutung, das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsfunktion.

$\blacktriangleright$ Wellenpakete

Abb. 7: Das abgewandelte Wellenmodell

Soll bei der Beschreibung eines Experiments das Wellenartige eines Quantenobjekts im Vordergrund stehen, so kannst du dir das Quantenobjekt als Wolke mit eingeschriebenem Wellenpaket vorstellen. Dieses kann mit anderen interferieren und somit die typischen wellenartigen Phänomene der Quantenphysik hervorrufen.

Stellst du dir also ein Quantenobjekt als Wolke vor, die sich ausbreiten, reflektiert und geteilt werden kann, so besitzt sie aber auch zwei Eigenschaften, die eine normale Wolke nicht aufweist:

Wird das Quantenobjekt nachgewiesen, etwa mithilfe eines Detektors, so zieht sich die Wolke schlagartig auf Detektorgröße zusammen.
Treffen die Teile einer vorher aufgeteilten Wolke wieder aufeinander und durchdringen sich, so kann es zu Verdichtungen und Verdünnungen, also Interferenz, kommen.

Nichtlokalität

Teilt sich ein Quantenobjekt an einem Strahlteiler, so bewegt sich die eine Hälfte der Wolke in die Richtung von Detektor $A$ und die andere Hälfte in Richtung Detektor $B$ . Trotz der Teilung bildet das Quantenobjekt nach wie vor noch eine Einheit. Dies wird deutlich, wenn das Objekt in einem Detektor registriert wird. Dabei ziehen sich beide Hälfte auf die Größe des Detektors zusammen, da es sich ja in dessen Raum mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit befindet. Es wird also immer nur als Ganzes von Detektor $A$ oder $B$ nachgewiesen. Von welchem der beiden bleibt jedoch, wie wir bereits gelernt haben, völlig zufällig.

Der Ort eines Quantenobjektes ist also nur bei dessen Entstehung und dessen Nachweis bekannt. Dazwischen ist das Quant delokalisiert. Du kannst nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit sagen, wo es sich befinden könnte. Da sich diese Wahrscheinlichkeit, als Wolke dargestellt, aufteilen kann, kann das Quant in deutlich voneinander getrennte Raumbereiche verfrachtet werden und über große Distanzen delokalisiert sein. Es ist also, anders als ein kleines Kügelchen, nicht nur an einem bestimmten Ort zu finden.

Abb. 8: Das Quantenobjekt ist delokalisiert bis es sich beim Nachweis im Detektor zusammenzieht.

Verhalten bei der Messung

Abb. 9: Die Messung mit einem Thermometer verändert die zu messende Temperatur ganz leicht.

Misst man mit einem Thermometer die Lufttemperatur in einem abgeschlossenen Raum, so wird etwas Wärme der Luft auf das Thermometer abgegeben. Diese Wärme wird dazu benutzt, die Flüssigkeit des Thermometers zu erwärmen, wodurch diese sich ausdehnt und die Lufttemperatur anzeigt. Dadurch, dass die Luft etwas Wärme an das Temperatur abgibt, sinkt die Lufttemperatur ganz leicht. Die Temperaturmessung an sich hat also eine Auswirkung auf den zu messenden Stoff. Dennoch ist es in der klassischen Physik meist möglich die Auswirkungen einer solchen Messung beliebig klein zu machen. In unserem Beispiel könnte man beispielsweise die Temperatur der Luft auch anhand der Wärmestrahlung messen. Dies hätte keine Auswirkung auf die Lufttemperatur selbst.

In der Quantenphysik hingegen hat der Messvorgang eine gravierende Auswirkung auf den Zustand des Quantenobjekts. Bewegt sich ein delokalisiertes Quantenobjekt durch eine Messapparatur, ohne dass eine Messung an ihm vorgenommen wird, so ist die zeitliche Entwicklung der Wolke so eindeutig bestimmt, wie eine Bewegung in der klassischen Mechanik. Ihre Bewegung lässt sich mit den klassischen Gesetzen beschreiben. Dies gilt auch dann, wenn die Wolke an einem Strahlteiler geteilt wird. Beide Wolken beschreiben mit ihren Dichten die Wahrscheinlichkeit, das Quantenobjekt an einem Ort $x$ anzutreffen.

Abb. 10: Bei der Ortsmessung zieht sich das Quant zusammen

Misst du das vormals delokalisierte Quantenobjekt nun in einem Detektor, so zieht sich dieses auf Detektorgröße zusammen, da es sich mit 100 %-iger Wahrscheinlichkeit in diesem aufhält. Es ist nun nicht mehr delokalisiert und sein Zustand hat sich schlagartig und stark geändert. Von welchem Detektor das Quantenobjekt jedoch registriert wird ist zufällig.

Komplementarität und Quantenradierer

Abb. 11: Ein Quantenobjekt interferiert am Doppelspalt mit sich selbst

Trifft ein Quantenobjekt auf einen Doppelspalt, so stellen wir uns vor, dass sich die Wolke des Quantenobjekts mit eingeschriebenem Wellenpaket in zwei Teilwolken halbiert. Diese verdeutlichen zwei verschiedene Zustände des Objekts. Die eingeschriebenen Wellenpakete der Wolken interferieren im Raum zwischen Spalt und Schirm. Man spricht auch davon, dass das Quantenobjekt mit sich selbst interferiert. Daraufhin trifft es scheinbar wahllos am Schirm auf. Erst wenn genug andere Quanten auf den Schirm treffen, entsteht das berühmte Interferenzbild aus Abbildung 11.

In dieser Versuchsanordnung ist es unmöglich zu wissen, welchen Spalt das Quantenobjekt passiert hat. Für jeden Spalt liegt die Wahrscheinlichkeit bei 50 %. Doch wäre es auch möglich zu erfahren, welchen Spalt das Quantenobjekt genommen hat? Lässt es sich markieren?

Viele Interferenzversuche kann man so abwandeln, dass die zu den Detektoren bzw. zum Schirm führenden Wege unterschieden werden können. Man erhält dadurch eine sogenannte „Welcher-Weg-Information“, also eine Information darüber welchen Weg das Quantenobjekt genommen hat. Ein solche Information kann man mithilfe von drehbaren Polarisationsfiltern erhalten. Die eingeschriebene Wellenfunktion des Quants wird, je nachdem welchen Spalt es passiert, unterschiedlich polarisiert.

Abb. 12: Versuch mit parallel eingestellten Polarisationsfiltern

Sind die Polarisationsfilter hinter jedem Spalt parallel eingestellt, so kannst du durch Messung der Polarisation nicht herausfinden, welchen Spalt das Quantenobjekt passiert hat. Die beiden Zustände des Quants interferieren erneut mit sich selbst und es entsteht das bekannte Intensitätsmuster des Doppelspalts.

Abb. 13: Versuch mit senkrecht eingestellten Polarisationsfiltern

Stellst du nun einen der beiden Filter senkrecht zum anderen, also um $90^\circ$ verdreht, ein, könntest du durch eine Messung der Polarisationsrichtung eindeutig feststellen, welches Quantenobjekt, welchen Weg zurück gelegt hat. Die Quanten erhalten dabei eine „Welcher-Weg-Information“. Man musst hierzu nicht einmal die Messung wirklich durchführen. Allein die Tatsache, dass die „Welcher-Weg-Information“ im Versuchsaufbau vorhanden ist, verändert hiermit den eigentlichen Zustand der Quantenobjekte. Dies führt dazu, dass es nicht mehr zu einer Interferenz der Wellenfunktionen kommt und du am Schirm die Summe der Intensitätsmuster der jeweiligen Einzelspalte erkennen kannst. Manche Physiker sprechen dabei von einem „Kollaps der Wellenfunktion“, doch quantenmechanisch ist dieses Phänomen bis heute noch nicht richtig verstanden.

Demnach gilt in der Quantenmechanik das sogenannte Komplementaritätsprinzip:

Je mehr „Welcher-Weg-Information“ das Experiment enthält, desto schwächer ist das
Interferenzmuster und umgekehrt.

Bringst du folglich einen weiteren Polarisationsfilter, welcher um $45^\circ$ gedreht ist, hinter die zwei anderen Filter ein, so wird die Information, welchen Weg das Quantenobjekt genommen hat „ausradiert“ und es entsteht wieder das Intensitätsmuster des Doppelspalts.
Eine solche experimentelle Anordnung nennt man auch „Quantenradierer“.

Abb. 14: Beim „Quantenradierer“-Experiment wird die „Welcher-Weg-Information“ aus dem Versuchsaufbau entfernt.

Heisenbergsche Unschärferelation

Abb. 15: Werner Heisenberg

Werner Heisenberg verallgemeinerte das oben genannte Komplementaritätsprinzip auf die Messung von Ort und Impuls eines Quantenobjekts und stellte damit seine berühmte Heisenbergsche Unschärfe- bzw. Unbestimmtheitsrelation auf. Sie ist bis heute eine der fundamentalen Aussagen der Quantenmechanik.
Diese möchten wir uns im Folgenden stark vereinfacht herleiten.

Hierzu betrachten wir den in Abbildung 16 dargestellten Versuch an einem Einzelspalt.

Abb. 16: Trifft das Quantenobjekt auf einen Einzelspalt geringer Breite, so gibt die Beugung den Quanten unbestimmte Richtungen bzw. erzeugt die Querimpulse $p_y$ .

Zunächst besitzt ein einzelnes Quantenobjekte den Impulsbetrag $p_y$ und dessen Wahrscheinlichkeitswolke bewegt sich auf den Einzelspalt zu. An diesem wird die Wolke auf den Ort $\Delta x$ eingeengt und gebeugt. Die Quantenobjekte erhalten durch die Beugung eine unbestimmte Richtung bzw. eine Unschärfe im Querimpuls $p_y$ , welche nun abgeschätzt werden soll. Hierzu nutzen wir die Formeln des Einzelspalts.

Für das Minimum 1. Ordnung gilt am Einzelspalt der Spaltbreite $\Delta x$ :

$\sin(\alpha)=\dfrac{\lambda}{\Delta x}$

Für den Zusammenhang von Gegenkathete $\left(\Delta p_y\right)$ und Ankathete $\left(p_y\right)$ folgt:

$\tan(\alpha)=\dfrac{\Delta p_x}{p_y}$

Für kleine Winkel $\left(<5^\circ\right)$ gilt die Näherung $\sin(\alpha)=\tan(\alpha)$ . Setzt du also obige Formeln gleich, erhältst du:

$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \tan(\alpha)\approx&\sin(\alpha)\\ \dfrac{\Delta p_x}{p_y}\approx&\dfrac{\lambda}{\Delta x}\\ \Delta p_x \cdot \Delta x\approx& \lambda \cdot p_y\ \end{array}$

Für die Wellenlänge $\lambda$ des Quantenobjekts gilt nach der Beziehung der de-Broglie-Wellenlänge:

$\lambda= \dfrac{h}{p_y}$

Setzt du diese in obige Gleichung ein, erhältst du:

$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \Delta p_x \cdot \Delta x\approx& \lambda \cdot p_y \\ \Delta p_x \cdot \Delta x\approx& \dfrac{h}{\color{orange}{p_y}} \cdot \color{orange}{p_y}\\ \end{array}$

Die von uns hergeleitete Gleichung entspricht der auf der Briefmarke angegebenen Heisenbergschen Unschärferelation:

$\Delta p_x \cdot \Delta x\approx h$

Für die rechte Seite der Gleichung wirst du, je nach Quelle, häufig andere Werte finden. Dies ist allerdings nicht entscheidend. Wichtig ist nur, dass das Produkt aus den Unschärfen von Ort und Impuls nicht beliebig klein werden kann. Das bedeutet wiederum, dass du Ort und Impuls nicht gleichzeitig beliebig genau messen kannst. Denn je genauer du z.B. den Ort messen willst, also je kleiner die Ortsunschärfe sein soll, desto größer wird die Impulsunschärfe.

Mit anderen Worten kann man auch sagen, dass die gleichzeitige Bestimmung von Ort und Impuls eines Teilchens nur dann möglich ist, wenn für beide Größen eine bestimmte Unschärfe akzeptiert wird.
Diese Unschärfe wird häufig mit folgender Ungleichung quantifiziert:

$\Delta x \cdot \Delta p_x \geq \dfrac{h}{4\,\pi}$

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