Federpendel

Einführung

Abb. 1: Bungee-Jumping.

Wärst du mutig genug für einen Bungee-Sprung? Oder hast du gar schon einen gemacht?
Wenn ja, hast du dir auch schon einmal Gedanken über die physikalischen Gegebenheiten einer solchen Freizeitgestaltung gemacht? Wieso wirst du nach einer Weile abgebremst und was sorgt dafür, dass alle Springer wieder heil am Boden ankommen? Springt man in den Abgrund, so fliegt man erst einmal eine Weile, um schließlich vom Bungee-Seil abgefangen und gebremst zu werden. Dieses Bremsen resultiert aus der Dehnung des Seils und der damit zusammenhängenden rücktreibenden Kraft. Diese sorgt ebenfalls dafür, dass du im unteren Umkehrpunkt wieder nach oben geschleudert wirst.

Du fliegst danach also wieder nach oben, bis zum oberen Umkehrpunkt, wo dich die Erdanziehung dann wieder nach unten fliegen lässt. Bei einem Bungee-Sprung vollführt dein ganzer Körper also eine Schwingung. Diese lässt sich im Prinzip mit einem physikalischen Federpendel vergleichen. Im folgenden Abschnitt werden dir also die nötigen Formeln als Werkzeuge gegeben, damit du vor dem nächsten Bungee-Sprung berechnen könntest, wie der Sprung abläuft und ob alles gut gehen wird.

Das Federpendel

Das sogenannte Federpendel umfasst eine im Schwerefeld der Erde aufgehängte Feder, an deren unterem Ende ein Körper befestigt wird. Vor dem Befestigen des Körpers hängt die Feder noch entspannt an ihrer Aufhängung. Wird ein Körper an die Feder gehängt, dehnt sich die Feder je nachdem wie groß die Gewichtskraft ist, die auf den Körper wirkt.

Abb. 2.

Hängt der Körper in Ruhe an der Feder, wird keine Bewegung ausgeführt. Das bedeutet, dass ein Kräftegleichgewicht herrscht. Die zwei Kräfte, die dabei wirken, sind die Gewichtskraft, die nach unten wirkt und die Federkraft der Feder, die nach oben wirkt. Der Körper befindet sich in der Gleichgewichtslage.

Wird der Körper leicht angehoben oder nach unten gezogen und wieder losgelassen, beginnt der Körper nach oben und unten zu schwingen. Es handelt sich dabei um eine harmonische Schwingung, also um die zuvor beschriebene Gleichgewichtslage.

Abb. 3.

Die Gewichtskraft, die auf den Körper wirkt, ist während der Schwingung konstant. Sie ist von der Masse des Körpers und dem Ortsfaktor abhängig.

$F_G=m\cdot g.$

Die Federkraft ist nicht konstant. Sie ist proportional zur Auslenkung und wirkt der Auslenkung entgegen. Das bedeutet, je weiter die Feder gestreckt wird, desto größer ist die Kraft, die die Feder auf den Körper ausübt. Die Proportionalitätskonstante ist $D$ . $D$ wird auch als Federkonstante bezeichnet. Je größer $D$ ist, desto "härter" ist die Feder. Diesen Zusammenhang beschreibt das Hookesche Gesetz:

$F_{\text{Feder}}=-D\cdot \Delta s$

Um die Schwingung beschreiben zu können, verwendest du das 2. Newtonsche Gesetz. Es besagt, dass die Änderung der Bewegung proportional zur Kraft ist. Als Formel ausgeschrieben sieht das Gesetz so aus:

$F=m\cdot a$

$m$ beschreibt die Masse des Körpers, der in Bewegung ist. $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Orts nach der Zeit und kann deshalb auch als $a(t)=\ddot{s}(t)$ geschrieben werden.

Setzt du die Federkraft in die Formel ein, erhältst du eine Bewegungsgleichung für die Schwingung.

$\begin{array}[t]{rll} F_{\text{Feder}}&=&m\cdot \ddot{s}(t)\\[5pt] -D \cdot s(t)&=& m \cdot \ddot{s}(t) &\quad\mid\; :-D\\[5pt] s(t)&=&-\dfrac{m}{D} \cdot \ddot{s}(t)\\[5pt] \end{array}$

Als Ansatz zur Lösung der Bewegungsgleichung kannst du $s(t)=\hat{s}\cdot \sin(\omega \cdot t)$ , $s(t)=\hat{s} \cdot \cos(\omega \cdot t)$ oder die Kombination beider Lösungen verwenden. Welchen Ansatz du verwendest ist abhängig von der Lage des Gewichts zum Anfangszeitpunkt $t=0$ . $\omega$ ist die Kreisfrequenz der Schwingung, $\hat{s}$ ist die maximale Auslenkung oder Amplitude der Schwingung

Bilde zunächst die zweite Ableitung von $s(t)$ und setze dann in die Bewegungsgleichung ein:

$$ s(t)=\hat{s} \cdot \sin(\omega \cdot t) $$ $$ ... $$

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Jetzt kannst du die Auslenkung der Schwingung durch die Funktion $s(t)=\hat{s}\cdot \sin\left(\sqrt{\dfrac{D}{m}}\cdot t\right)$ beschreiben.

Abb. 4.

Aus der Kreisfrequenz $\omega$ kannst du die Periodendauer der Schwingung bestimmen. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} T&=&\dfrac{2\pi}{\omega}\\[5pt] T&=&2\pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}}\\[5pt] \end{array}$

Außerdem kannst du die maximale Geschwindigkeit $\hat{v}$ bestimmen. Sie ergibt sich aus der Funktion $\dot{s}(t)=v(t)$ .

$\begin{array}[t]{rll} {s}(t)&=& \hat{s}\cdot \sin(\omega \cdot t)\\[5pt] \dot{s}(t)&=&\omega \cdot \hat{s} \cdot \cos(\omega \cdot t)\\[5pt] v(t)&=&\hat{v} \cdot \cos(\omega \cdot t)\\[5pt] \Rightarrow \hat{v}&=&\hat{s}\cdot \omega\\[5pt] &=&\hat{s}\cdot\sqrt{\dfrac{D}{m}}\\[5pt] \end{array}$

Energiebetrachtung

Bei der harmonischen Schwingung einer Feder kommt Energie in verschiedenen Formen vor. Dadurch, dass es Momente gibt, in denen die schwingende Masse an der Feder in Ruhe ist, gibt es Zustände, in denen die Energie nicht mehr in kinetischer Form vorliegen kann. Dies besagt die Formel der kinetischen Energie:

$E_{\text{kin}}=\dfrac{1}{2}\cdot m \cdot v^2$

Ist die Geschwindigkeit Null, so muss also zwingend auch die kinetische Energie Null sein. Allerdings besagt der Energieerhaltungssatz, dass Energie nicht einfach erzeugt oder vernichtet, sondern nur umgewandelt werden kann. Daher stellt sich die Frage, in welcher Form die Energie noch vorliegen kann? An den Umkehrpunkten ist die Kraft in Richtung der Ruhelage am größten. An diesen Punkten liegt nur potentielle Energie vor. Da an diesen Punkten die Auslenkung am größten ist, wird die Energie Auslenkungsenergie oder Elongationsenergie genannt.

Die Umwandlung der Energie erfolgt also folgendermaßen:

Abb. 5.

Wie du erkennen kannst, ist es möglich über den Energieerhaltungssatz die maximale Geschwindigkeit der Masse zu bestimmen. Doch für solch eine Betrachtung ist erst einmal eine Formel für die Auslenkungsenergie nötig. Diese erhältst du gerade durch das Kraft-Verlängerung-Schaubild (F-s-Schaubild):

Abb. 6.

Die Kraft $F$ steigt proportional zur Verlängerung $s$ der Feder, wobei $D$ die Steigung definiert. Da die zugehörige Energie die Fläche unter der Kurve beschreibt, ist die Auslenkungsenergie auch dadurch deutbar, dass die Fläche gerade $E_{Auslenk}=\frac{1}{2}\cdot F \cdot s$ ist. Setzt du in diese Gleichung in die Federkraft $F_{Feder}=D \cdot s$ ein, erhältst du für die Auslenkungsenergie:

$E_{\text{Auslenk}}=\dfrac{1}{2}\cdot D \cdot s^2$

Bildnachweise [nach oben]

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http://commons.wikimedia.org/wiki/File: Bungeejump_begin_Scheveningen_31_mei_ 2004.JPG - Ellywa, CC BY-SA.

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