LC-Schwingkreis

Einführung

Vergleichbar mit den mechanischen Schwingungen eines Federpendels können auch in einem Schaltkreis elektrische Schwingungen auftreten.

Aufbau eines Schwingkreises

Um elektrische Schwingungen zu erzeugen, ist ein Schaltkreis mit einer Spule und einem parallel geschalteten Kondensator notwendig.

Einen möglichen Aufbau zeigt die nebenstehende Abbildung. $U_0$ bezeichnet dabei die Spannungsquelle, $C$ einen Kondensator und $L$ eine Spule. $(1)$ und $(2)$ bezeichnen mögliche Positionen des Schalters.

Aufladen des Kondensators

Befindet sich der Schalter in Position $(1)$ , ist nur der linke Kreislauf geschlossen. Durch Anlegen der Spannung $U_0$ wird der Kondensator aufgeladen. Der Kondensator hat nun die Ladung $Q$ gespeichert:

$\boldsymbol{Q=C\cdot{U_0}}$

$C$ ist dabei die Kapazität des Kondensators. Diese gibt an, welche Ladung der Kondensator speichern kann. Sie hängt von der Fläche $A$ der Kondensatorplatten und vom Abstand $d$ der Platten zueinander ab.

Genauere Informationen zum Aufbau und zur Kapazität eines Kondensators findest du in den entsprechenden Skripten zum Thema „Elektrisches Feld“.

Entladen des Kondensators

Wird der Schalter nun auf Position (2) umgelegt, ist der rechte Schaltkreis mit Spule und Kondensator geschlossen.

Die Spannung in diesem Stromkreis kommt durch die im Kondensator gespeicherte Energie zu Stande.

Es gilt:

$\boldsymbol{U_C=\dfrac{Q(t)}{C}}$

Nachdem der Kondensator von der Stromquelle $U_0$ getrennt wurde, entlädt sich der Kondensator, da die Elektronen zur positiv geladenen Kondensatorplatte fließen. Nach der obigen Formel nimmt mit der Ladung $Q$ auch die Spannung $U_C$ ab.
Nach dem Energieerhaltungssatz kann die Energie, die zuvor im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert war, beim Entladen nicht verloren gehen. Stattdessen wird die elektrische Energie $W_{el}$ des elektrischen Feldes umgewandelt:

Beim Entladen des Kondensators beginnen sich die Ladungsträger zur positiven Kondensatorplatte zu bewegen. Da Strom nichts anderes ist als bewegte Ladungen, steigt die Stromstärke im Schaltkreis, je mehr Ladungsträger durch ihn fließen. Da nun auch Strom durch die Spule fließt, wird in ihr ein Magnetfeld induziert. In diesem Feld wird die „verlorengehende“ elektrische Energie in Form von magnetische Energie $W_{mag}$ gespeichert.

Ein elektromagnetischer Schwingkreis beruht auf dem Prinzip, dass ständig elektrische Energie $W_{el}$ (gespeichert im elektrischen Feld eines Kondensators) in magnetische Energie $W_{mag}$ (gespeichert im Magnetfeld einer Spule) und umgekehrt umgewandelt wird.

Idealer Schwingkreis und Dämpfung

Um das Funktionsprinzip eines Schwingkreises zu verstehen, verwendet man einen so genannten „idealen Schwingkreis“. In diesem Schwingkreis wird stets die gesamte elektrische Energie in magnetische Energie und umgekehrt umgewandelt.

Tatsächlich wird der Schwingkreis - wie eine mechanische Schwingung - jedoch gedämpft.

Durch den Leiter des Schaltkreises fließen beim Be- und Entladen des Kondensators Elektronen als Ladungsträger hin- und her. Immer wieder kommt es vor, dass die Elektronen dabei an die Atome des Leiters stoßen und dadurch gebremst werden. Durch den Zusammenstoß geht elektrische Energie „verloren“. In Wirklichkeit geht die Energie natürlich nicht verloren! Sie wird nur in - für uns unnutzbare - Wärmeenergie umgewandelt, die über den Leiter an die Umgebung abgegeben wird.

Diese „Behinderung“ der Ladungsträger durch den Stromleiter nennt man in der Physik Widerstand $R$ .

Beschreibung einer Schwingungsperiode

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{t=0\,T}$

Unmittelbar nach dem Umlegen des Schalters auf Position $(2)$ , befindet sich noch die gesamte Ladung $Q=Q_{max}$ auf dem Kondensator. Da die Ladung maximal ist, ist auch die Spannung $U_C$ maximal.

Die gesamte Energie des Systems ist zu diesem Zeitpunkt im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert.

Diese Energie berechnest du mit folgender Formel:

$\boldsymbol{W_{el}=\dfrac{1}{2}\,C\cdot{U_C^2}}$

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{0 < t < \frac{T}{4}}$

Mit der Zeit entlädt sich der Kondensator, die Ladung $Q$ nimmt ab, dadurch sinkt auch die Spannung $U_C$ , denn es gilt:

$\boldsymbol{U_C=\dfrac{Q(t)}{C}}$

Die Energie des elektrischen Feldes nimmt durch den Spannungsabfall ebenfalls ab und wird in magnetische Energie, die im Magnetfeld der Spule gespeichert wird, umgewandelt. Das Magnetfeld der Spule entsteht folgendermaßen.

Nach dem Energieerhaltungssatz wird im idealen Schwingkreis die komplette elektrische Energie in magnetische Energie umgewandelt. Es gilt also:

$W_{el}+W_{mag}$	=	$\text{const.}$
$\dfrac{1}{2}\,CU^2+\dfrac{1}{2}\,LI^2$	=	$\text{const.}$

An dieser Beziehung kannst du erkennen, dass die Stromstärke im Schwingkreis zunimmt, wenn die Spannung abfällt.

Durch die steigende Stromstärke wird in der Spule ein Magnetfeld induziert. In diesem Feld ist die Energie $W_{mag}$ gespeichert.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{t=\frac{T}{4}}$

Zum Zeitpunkt $t=\frac{T}{4}$ ist der Kondensator komplett entladen, die gesamte Energie des Systems ist im Magnetfeld der Spule in Form von magnetischer Energie $W_{mag}$ gespeichert. Ist $W_{mag}=W_{max}$ , so ist auch $I=I_{max}$ , denn es gilt

$\boldsymbol{W_{mag}=\dfrac{1}{2}\,L\cdot{I^2}}$

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{\frac{T}{4} < t < \frac{T}{2}}$

Auch wenn für die Spannung im Stromkreis gilt $U=0\,\text{V}$ , fließt der Strom dennoch weiter, da er sich nicht abrupt ändern kann. Durch den Stromfluss wird der Kondensator erneut aufgeladen, diesmal allerdings in Gegenrichtung. Plus- und Minuspol sind also im Vergleich zum Anfang vertauscht. Die Spannung, sowie die Ladung am Kondensator nehmen wieder zu, die Stromstärke sinkt. Das magnetische Feld wird ab-, das elektrische Feld wieder aufgebaut. $W_{mag}$ wird in $W_{el}$ umgewandelt.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{t=\frac{T}{2}}$

Nun liegen die selben Bedingungen wie zum Zeitpunkt $t=0\,T$ vor:

Die Spannung ist maximal und die Stromstärke minimal. Die gesamte Energie des Schwingkreises liegt in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators vor.

Nun beginnt der beschriebene Ablauf von Neuem.

Verlauf von Ladung, Stromstärken und Spannung

Misst man in einem Versuchsaufbau Ladung, Stromstärke und Spannung und überträgt die gemessene Werte in ein Koordinatensystem, erhält man in etwa folgende Verlaufskurven der verschiedenen Größen:

$\blacktriangleright$ Ladung $\boldsymbol{Q}$

$\blacktriangleright$ Spannung $\boldsymbol{U_C}$

$\blacktriangleright$ Stromstärke $\boldsymbol{I}$

Die Kurven von Ladung und Spannung verlaufen parallel. Dies kannst du mit der Formel erklären, die du zu Beginn dieses Skriptes gelernt hast:

$\boldsymbol{U_C=\dfrac{Q(t)}{C}}$

Die Kurven von Spannung und Stromstärke verlaufen entgegengesetzt zueinander. Dies liegt daran, dass beim Entladen des Kondensators Teilchen anfangen zu fließen. Die Spannung wird reduziert, da die Ladungsdifferenz zwischen den Platten nicht mehr so groß ist. Die vom Kondensator „weggeflossenen“ Teilchen erzeugen den Strom. Je mehr Ladungsträger also am Kondensator fehlen, je geringer also $Q$ ist, desto mehr Teilchen fließen durch den Leiter und desto größer ist die Stromstärke.

Berechnung der maximalen Stromstärken

In vielen Aufgaben sollst du die maximale Stromstärke ermitteln, die in einem Schwingkreis vorkommen kann.
Bei einer solchen Aufgabenstellung gehst du folgendermaßen vor:
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt in einem (idealen) Schwingkreis folgender Zusammenhang:

$W_{mag}$	=	$W_{el}$
$\dfrac{1}{2}\,LI_{max}^2$	=	$\dfrac{1}{2}\,CU_0^2$	$\mid\; \cdot2$ $\mid\; :L$
$I_{max}^2$	=	$\dfrac{CU_0^2}{L}\,$	$\mid\; \sqrt{\quad}$
$I_{max}$	=	$\sqrt{\dfrac{CU_0^2}{L}}$

Frequenz und Schwingungsdauer

Die Frequenz gibt an, wie viele Schwingungen pro Sekunde stattfinden.
Die Frequenz eines Schwingkreises wird durch folgende Formel berechnet:

$\boldsymbol{\omega=\sqrt{\dfrac{1}{L\cdot{C}}}}$

Daraus ergibt sich für die Schwingungsdauer $T$ :

$\boldsymbol{T=2\pi\sqrt{L\cdot{C}}}$