Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt das Eingangsgebäude zu einer U-Bahn-Haltestelle. Auf dem Foto schaut man frontal auf eine ebene Glasfläche, die sich unter dem geschwungenen Dach befindet.
Eine Längeneinheit in dem eingezeichneten Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ .
Der höchste Punkt der Dachoberkante befindet sich in diesem Koordinatensystem bei $H (0 \mid5,0)$ und der tiefste Punkt bei $Q (7,3 \mid 3,3)$ . Auch die Punkte $D ( -4 \mid 4)$ und $E ( -2 \mid 4,75)$ liegen auf der Dachoberkante. Der Punkt $A$ liegt an der Stelle $x=2,7$ .
Die Profillinie der Dachoberkante hat eine geschwungene Form, die im Folgenden durch eine ganzrationale Funktion modelliert werden soll.

(1)

Die Profillinie hat im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ näherungsweise die Form einer Parabel $2.$ Grades.
Bestimme eine Gleichung dieser Parabel mit dem Hochpunkt $H$ , die durch den Punkt $D$ verläuft.
[Zur Kontrolle: $p(x)= - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 5$ .]

(2P)

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(2)

Begründe anhand der Abbildung 1, warum eine ganzrationale Funktion, die zur Modellierung der gesamten Profillinie der Dachoberkante geeignet sein könnte, mindestens $3.$ Grades sein muss.

(3P)

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(3)

Gib die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion $3.$ Grades an.
Ermittle aus den Informationen über die Punkte $H$ und $Q$ vier Bedingungen, mit denen alle Koeffizienten des Funktionsterms bestimmt werden können.
Gib die Funktionsgleichung an.

(9P)

Um den Verlauf der gesamten Profillinie der Dachoberkante im Bereich von $-4,5 \leq x \leq 10,5$ zu modellieren, wird im Folgenden die Parabelgleichung aus a) (1) erweitert auf eine ganzrationale Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^4 - \dfrac {1}{16} \cdot x^2 + 5$ , $a\gt 0$ .

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(1)

Begründe, warum durch diese Erweiterung die bei der Parabel vorhandene Symmetrie erhalten bleibt.

(2P)

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(2)

Abbildung 2 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a=0,0002$ , $a=0,0004$ und $a=0,0006$ .
Gib an, welcher Parameterwert zu welchem Graphen gehört.

Abb. 2

(3P)

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(3)

Bestimme den Tiefpunkt $T_a$ des Graphen von $f_a$ (mit $x\geq 0$ ) in Abhängigkeit von $a$ .
[Kontrollergebnis: $T_a \left(\sqrt{\dfrac{1}{32 \cdot a}} \bigg| 5- \dfrac{1}{32^2 \cdot a} \right)$ ]

(4P)

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(4)

Ermittle in Abhängigkeit von $a$ die Anzahl der Nullstellen, die der Graph von $f_a$ für $x\geq0$ besitzt.

(3P)

$\,$

(5)

Damit der Graph von $f_a$ ein Modell für die Dachoberkante darstellt, wird gefordert, dass im Bereich $x \geq 0$ der $y$ -Wert des Tiefpunkts $T_a$ mindestens $3,3$ betragen und der $x$ -Wert des Wendepunkts mindestens $4$ sein soll.
Bestimme den Bereich für $a$ , in welchem beide Bedingungen erfüllt sind.

(5P)

Im Folgenden wird die Profillinie der Dachoberkante im Bereich $-4,5 \leq x \leq 10,5$ durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 +5$ modelliert.
Das Eingangsgebäude ist mit Glas verkleidet. Die eingezeichnete Oberkante der Glasfläche wird im Koordinatensystem von Abbildung 1 im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = 0,0006 \cdot x^4 - \dfrac{1}{16} \cdot x^2 + 4,5$ modelliert.

Gehe vereinfachend davon aus, dass es sich bei der in Abbildung 1 umrahmten Glasfläche um eine durchgehende ebene Fläche handelt, die nicht durch Rahmen und Streben unterbrochen wird.

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(1)

Berechne den Inhalt der Glasfläche von der $y$ -Achse bis zur eingezeichneten Kante durch den Punkt $Q$ in der Ansicht aus Abbildung 1.

(4P)

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(2)

Beschreibe eine mögliche Lösungsidee zur Bestimmung des Inhalts der umrahmten Glasfläche links von der $y$ -Achse. Gib dabei alle nötigen Ansätze an, die Berechnung konkreter Werte wird hingegen nicht erwartet.

(5P)

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(3)

Begründe, dass die Fläche zwischen der Oberkante der Glasfläche und der Dachoberkante im Bereich von $-4 \leq x \leq 7,3$ inhaltsgleich ist zur Fläche eines Rechtecks der Länge $11,3$ und der Höhe $0,5$ .

(4P)

Oberhalb des Daches sind geradlinig verlaufende Stahlseile angebracht. Gehe vereinfachend davon aus, dass das Stahlseil von $A (2,7 \mid f (2,7))$ nach $P(6,7 \mid 7,2)$ verläuft.
Das Stahlseil wird für $2,7 \leq x \leq 6,7$ durch eine Gerade $g$ modelliert.
Bestimme rechnerisch die Größe des Winkels, den die Gerade $g$ mit der Tangente an den Graphen von $f$ in $A$ einschließt.

(6P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]