Einführung in lineare Funktionen

Eine Funktion ordnet jedem $x$ -Wert genau einen $y$ -Wert, auch Funktionswert genannt, zu. Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung die folgende Form hat:

y = mx+b

Lineare Funktionen Erklärung

Was ist eine lineare Funktion? Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, also sozusagen eine „durchgehende Linie“. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist also eine Geradengleichung. Den Koeffizienten $m$ von $x$ nennt man Steigung oder Steigungswert. Der Wert $b$ gibt den y-Achsenabschnitt an, also den Funktionswert an der Stelle $x=0.$ Gilt für den y-Achsenabschnitt $b=0,$ so nennt man die lineare Funktion eine Ursprungsgerade.

Eigenschaften linearer Funktionen

Eine lineare Funktion hat immer höchstens Grad 1. Das bedeutet, dass in einer linearen Funktion immer nur $x$ steht, was gleichbedeutend mit $x^1$ ist. Ausdrücke wie $x^2,$ $x^3$ oder andere Potenzen sind also nicht erlaubt. Daher nennt man lineare Funktionen auch Funktionen ersten Grades. Bei Funktionen dieser Art ist die Ab- bzw. Zunahme immer gleichmäßig.

Steigung einer linearen Funktion

Die Steigung $m$ gibt an, wie steil die Gerade ansteigt oder abfällt. Ist $m$ negativ, so fällt die Gerade, ist $m$ positiv, so steigt sie.
Die Steigung einer linearen Funktion kann graphisch durch ein Steigungsdreieck bestimmt werden:

Steigungsdreieck

Die Abbildung zeigt den Graphen der linearen Funktion $y=0,5x+0,5$ im Koordinatensystem. Um die Steigung ablesen zu können, werden zwei Punkte $P_1(x_1\mid y_1)$ und $P_2(x_2\mid y_2)$ auf dem Graphen gewählt, die möglichst einfach abgelesen werden können. Dann wird das durch die beiden Punkte und die lineare Funktion eindeutig festgelegte rechtwinklige Dreieck eingezeichnet. Die Steigung kann nun mit folgender Formel für lineare Funktionen berechnet werden:

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

In obigem Beispiel gilt für die Steigung $m=\dfrac{2-1}{3-1}=\dfrac{1}{2}=0,5.$ Da der y-Achsenabschnitt $b=0,5$ direkt aus dem Schaubild entnommen werden kann, ergibt sich direkt die Funktionsgleichung $y=0,5\cdot x +0,5.$

Sind statt einem Schaubild nur zwei Punkte einer linearen Funkion bekannt, so kann die Steigung analog mit obiger Formel berechnet werden. Ist nicht nur die Steigung einer linearen Funktion, sondern ihre ganze Funktionsgleichung gesucht, so setzt man den berechneten Wert für die Steigung und die Koordinaten einer der beiden gegebenen Punkte in die Geradengleichung ein und stellt die so erhaltene Gleichung nach $b$ um. In obigem Beispiel gilt also (für die Koordinaten von $P_2$ ):

$\begin{array}[t]{rll} 2&=& 0,5\cdot 3+b \\[5pt] 2&=& 1,5+b \quad \scriptsize \mid\;-1,5 \\[5pt] 0,5&=&b \end{array}$

Damit sind alle Parameter der Funktionsgleichung bekannt und es ergibt sich auch hier $y=0,5\cdot x+0,5.$

Lineare Funktionen zeichnen

Es gibt unterschiedliche Angaben, mit denen man lineare Funktionen zeichnen kann:

zwei Punkte gegeben
Funktionsgleichung gegeben

Im ersten Fall werden beide Punkte in das Koordinatensystem eingezeichnet und zu einer Gerade verbunden.

Im zweiten Fall kann wie folgt vorgegangen werden:
Aus der Funktionsgleichung kann sofort der y-Achsenabschnitt $b$ abgelesen werden. Mithilfe des Steigungsdreiecks kann ausgehend von diesem Punkt die Gerade eingezeichnet werden. Beispielsweise kann man eine Einheit in positive $x$ -Richtung gehen und anschließend den Wert der Steigung in $y$ -Richtung gehen. Durch den so erhaltenen Punkt und den y-Achsenabschnitt wird nun die Gerade gezeichnet.

Alternativ kann mit der Funktionsgleichung eine Wertetabelle erstellt werden. Diese Wertetabelle besteht aus den $x$ -Werten und dem jeweils zugehörigen Funktionswert, der durch Einsetzten des $x$ -Werts in die Funktionsgleichung ermittelt werden kann. Mithilfe der Wertetabelle können dann die Punkte der linearen Funktion in das Koordinatensystem eingetragen werden und daraus schließlich der Graph der linearen Funktion gezeichnet werden.

Beispiel: $y=-\dfrac{1}{3}x+1$

Wertetabelle:

x	y
-3	2
-2	$\dfrac{5}{3}$
-1	$\dfrac{4}{3}$
0	1
1	$\dfrac{2}{3}$
2	$\dfrac{1}{3}$
3	0

Lineare Funktion mit Wertetabelle

Schnittpunkt linearer Funktionen berechnen

Um den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen zu berechnen, müssen ihre beiden Geradengleichungen gleichgesetzt werden. Die daraus resultierende lineare Gleichung wird anschließend nach $x$ aufgelöst. Um den zugehörigen Funktionswert zu ermitteln, wird der berechnete $x$ -Wert in eine der beiden Geradengleichungen eingesetzt. Es existiert immer ein eindeutiger Schnittpunkt, wenn die beiden linearen Funktionen nicht parallel oder identisch sind. Sind die Geraden parallel, so haben die sie die gleiche Steigung und es existiert kein Schnittpunt. Sind die Geraden identsich, so existieren quasi undendlich viele Schnittpunkte.

Ist speziell der Schnittpunkt von linearen Funktionen mit einer der Koordinatenachsen gesucht, so kann man wie folgt vorgehen:
Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist gerade die Nullstelle der linearen Funktion. Um diesen zu berechnen, muss die Funktionsgleichung der linearen Funktion gleich Null gesetzt werden. Anschließend wird nach $x$ aufgelöst und der zugehörige Funktionswert berechnet.
Der Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist durch den y-Achsenabschnitt $b$ gegeben.

Lineare Funktionen Übersicht

Die Steigung einer linearen Funktion kann unendlich viele Werte annehmen. Es gibt jedoch auch zwei Spezialfälle, wie eine lineare Funktion verlaufen kann.

$y=b:$ In diesem Fall verläuft die lineare Funktion waagrecht und hat die Steigung null.
$x=c:$ In diesem Fall werden einer $x$ -Koordinate alle $y$ -Werte zugeordnet, die Gerade verläuft also senkrecht. Die Steigung ist dann sozusagen unendlich.

In allen anderen Fällen hat die Gerade entweder positive oder negative Steigung, sie steigt oder fällt also.

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Verschiedene Steigungen linearer Funktionen

Lineare Funktionen Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1

Gib die Geradengleichung der linearen Funktion $y$ an.

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Graph von y

Berechne die Funktionsgleichung der linearen Funktion, die durch die Punkte $P_1(1\mid 4)$ und $P_2(3\mid 2)$ verläuft.

Aufgabe 2

Zeichne den Graphen der linearen Funktion durch die Punkte $P_1(1\mid -1)$ und $P_2(2\mid 3).$

Zeichne den Graphen der linearen Funktion $y=2 x -1.$

Aufgabe 3

Berechne den Schnittpunkt der beiden linearen Funktionen $y_1=-2x+3$ und $y_2=x-1.$

Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $y=-3x+5.$

Lösung 1

Der Funktionswert der linearen Funktion an der Stelle $x=0$ kann direkt aus dem Schaubild abgelesen werden. Für den y-Achsenabschnitt gilt also $b=-1.$

Die Steigung lässt sich mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks berechnen. Wähle hierfür beispielsweise die beiden Punkte $P_1(0\mid -1)$ und $P_2(1\mid 0,5),$ die beide auf dem Graphen von $y$ liegen. Mit der oben gegebenen Formel, mit der man für lineare Funktionen m berechnen kann, gilt:
$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{0,5-(-1)}{1-0}=1,5$

Damit lautet die gesuchte Geradengleichung für die lineare Funktion $y=1,5 x-1.$

Mit obiger Formel, mit der man für lineare Funktionen die Steigung berechnen kann, folgt $m=\dfrac{2-4}{3-1}=-1.$

Der y-Achsenabschnitt lässt sich nun wie oben beschrieben wie folgt berechnen (für die Koordinaten von $P_1$ ):

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& -1 \cdot 1+b \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 5&=& b \end{array}$

Insgesamt ergibt sich also die Funktionsgleichung $y=-x+5.$

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Skizze (nicht gefordert)

Lösung 2

Die beiden Punkte werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und mit einer Gerade verbunden. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:

Für den y-Achsenabschnitt gilt $b=-1.$ Von dem Punkt $(0\mid -1)$ kann nun die Gerade mit der Steigung $m=2$ eingezeichnet werden, indem eine Einheit in postitve $x$ -Richtung und zwei Einheiten in positive $y$ -Richtung gegangen wird. Durch den so erhaltenen Punkt und den y-Achsenabschnitt wird nun die Gerade gezeichnet.

Alternativ kann auch eine Wertetabelle angelegt werden, mithilfe derer Werte die Gerade gezeichnet werden kann.

x	y
-1	-3
0	-1
1	1
2	3

Lösung 3

Um den Schnittpunkt der beiden Funktionen zu berechnen, müssen zunächst die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

$\begin{array}[t]{rll} -2x+3&=& x-1\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] -2x+4 &=& x\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 4 &=& 3x \quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] \dfrac{4}{3}&=& x \end{array}$

Der Schnittpunkt befindet sich also an der Stelle $x=\dfrac{4}{3}.$ Um den $y$ -Wert des Schnittpunktes zu ermitteln, wird der berechnete $x$ -Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt.

$y_2=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}$

Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten $S\left(\dfrac{4}{3}\mid \dfrac{1}{3}\right).$

Um bei einer linearen Funktion die Nullstelle zu berechnen, muss die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden.

$\begin{array}[t]{rll} -3x+5&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;+3x \\[5pt] 5&=& 3x \quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] \dfrac{5}{3}&=& x \end{array}$

Die Nullstelle befindet sich also an der Stelle $x=\dfrac{5}{3}.$

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