Einführung

Auch wenn wir es häufig nicht bemerken, so kommen Schwingungen in unserer Alltagserfahrung doch ständig vor. Ob es dabei das Auf- und Abschwingen eines Kolbens im Familienauto, der Generator im Musikinstrument oder die Helligkeit im 24 Stunden Rhythmus ist.

Abb. 1: Mit Schwingungen macht man Musik
(hier zum Nachweis)

Abb. 2: Tag und Nacht kommen auch periodisch

Abb. 3: Ohne Schwingungen kein Smartphone

Schwingungen können ferner in allen Dimensionen und allen Zeitskalen vorkommen. Vom kleinsten Atom, in dem die Elektronen Schwingungen in Sekunden durchführen, über Konjunkturzyklen und den Ladungszustand eines Handyakkus, bis hin zur Veränderung der Erdumlaufbahn in tausenden von Jahren, sind Schwingungen elementar für alle Lebensbereiche des Menschen. Daher besitzen sie auch eine große Relevanz in der Physik.

Definitionen

Im Folgenden werden die grundlegenden Begriffe der mechanischen Schwingung vorgestellt.

Schwingung

Als Schwingung werden mehr oder weniger exakte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet.

Sei $x$ eine Zustandsgröße wie ein Winkel, eine Länge, eine Geschwindigkeit oder ähnliches, so interessiert uns in der Physik besonders die Veränderung dieser Zustandsgröße nach der Zeit: $x(t)$ .
Am wichtigsten sind dabei die periodischen Vorgänge, bei denen sich der Wert der Zustandsgröße in regelmäßigen Abständen wiederholt und man durch Beobachtung bzw. Berechnung die weitere Verhaltensweise der Zustandsgröße vorhersagen kann.

Die Veränderung wird dabei durch folgende Gleichung beschrieben:

$x(t)=x(t+T)$

Als physikalische Zustandsgröße hat besonders die Auslenkung aus einer Gleichgewichtslage Relevanz. Diese ist gerade der Mittelwert aus den beiden größten Auslenkungen.

Periodendauer

Bei obiger Gleichung beschreibt $T$ einen festen Wert, den wir Periodendauer nennen.

Sie beschreibt die Zeit, die verstreichen muss, damit die beobachtete Zustandsgröße wieder ihren ursprünglichen Wert annimmt. Die Periodendauer wird daher in der Dimension Zeit angegeben.
In SI-Einheiten also die Sekunde:

T in $\left[s\right]$

In einem Kreis mit rotierendem Zeiger ist die Periodendauer also gerade die Zeit, die benötigt wird, damit der Zeiger genau wieder in die ursprüngliche Richtung zeigt:

Frequenz

Die Frequenz $f$ ist gerade der reziproke Wert der Periodendauer:

$f=\dfrac{1}{T}$

Sie bezeichnet damit also die Anzahl der gleichen Werte der Zustandsgröße in einem bestimmten Zeitabschnitt. Manchmal wird sie auch mit dem Buchstaben $\nu$ (sprich: nü) bezeichnet. Die Einheit der Frequenz ist das Hertz:

f in $\left[Hz\right] = \left[s^{-1}\right] =\left[\dfrac{1}{s}\right]$

Winkelgeschwindigkeit/ Kreisfrequenz

Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist eine vektorielle Größe, die angibt, wie schnell sich ein Winkel ( $\boldsymbol{\varphi}$ ) pro Zeit ändert.
Dieser Winkel $\varphi$ wird bei Schwingungsvorgängen gerade Phasenwinkel $\boldsymbol{\varphi}$ genannt.

In Kreisbewegungen wird die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ auch häufig als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet.

Darüber hinaus wird auch die Kreisfrequenz mit $\omega$ bezeichnet. Sie beschreibt die Änderung des Winkels $\varphi$ pro Zeit im Zeigermodell und ist eine Konstante.

Eine Geschwindigkeit ist definiert als die in der Zeit $t$ zurückgelegte Strecke $x$ .
Im Vollkreis ist diese zurückgelegte Strecke gerade der Winkel des Vollkreises, also $360^\circ=2\pi$ . Da die Periodendauer $T$ als Zeit, die benötigt wird, um die $2\pi$ zu überstreichen, definiert ist, folgt für die Kreisfrequenz gerade die Formel:

$\begin{array}{rll} \omega&=\dfrac{x}{t}&=\dfrac{\varphi}{t}\\ &=\dfrac{2\pi}{T}&=2\pi \cdot f\\ \end{array}$

Im Folgenden werden wir allerdings zwischen Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz keine größeren Unterscheidungen machen.
Da Winkel in Radiant ( $rad$ ) angegeben werden und der Vollkreis gerade 1 Radiant ist, stehen beide in der folgenden Einheit:

$\omega$ in $\left[\dfrac{rad}{s}\right]=\left[\dfrac{1}{s}\right]=\left[s^{-1}\right]$

Elongation

Die Elongation $x(t)$ beschreibt den momentanen Wert der Zustandsgröße und damit bei Schwingungen die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage:

Amplitude

Die Amplitude $\widehat{x}$ bezeichnet den betragsmäßig größtmöglichen Wert der Zustandsgröße. Also gerade die maximale Auslenkung $x_{max}(t)$ aus der Gleichgewichtslage einer Schwingung.

Harmonische Schwingung

Der Begriff harmonisch bezeichnet eine Schwingung die weder gedämpft, noch gestaucht ist. Die Amplitude und die Frequenz bleiben also über die Zeit hinweg konstant.

Der zeitliche Verlauf einer solche harmonische Schwingung kann durch eine Sinusschwingung approximiert werden:

Allgemein gilt hier:

$\begin{array}{rl} \boldsymbol{x(t)}&=\boldsymbol{\widehat{x}\cdot \sin(\varphi)} \\ &=\boldsymbol{\widehat{x}\cdot \sin(\omega \cdot t + \varphi_0)} \\ \end{array}$

Hierbei bezeichnet $\varphi$ den Phasenwinkel des Schwingungsvorgangs und $\varphi_0$ den Nullphasenwinkel zu Beginn der Schwingung.

Zeigermodell

Das Zeigermodell ist ein hilfreiches Konzept, was auf Schwingungen, Wellen, Wechselstromlehre und Quantenmechanik anwendbar ist. Auf Grund dieser vielen Anwendungen besitzt es eine große Bedeutung.

Wie oben beim Kapitel Winkelgeschwindigkeit/Kreisfrequenz beschrieben handelt es sich dabei um einen Zeiger, der sich gegen den Uhrzeigersinn im Kreis dreht. Die Rotationsfrequenz des Zeigers entspricht der Frequenz des schwingenden Teilchens.
In der folgenden Abbildung kannst du dir ein Bild davon machen, wie der Zusammenhang zwischen Zeigermodell und der Momentanauslenkung der Sinusfunktion ist.

Bildnachweise [nach oben]

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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stratocaster_detail_DSC06937.jpg Szczepan1990 CC-BY-SA

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